Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 - Trường THPT Phan Bội Châu

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU

ĐỀ THI HSG LỚP 12 MÔN TOÁN





 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại điểm

M cắt hai tiệm cận tại A và B Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M

a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Tính

thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

b) M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho MAN  450 Tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN

I 1 CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M 1,00

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

t   x   x  Dấu bằng có khi x= 4

Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có 2

' ' ' ' ' ' '

2 2 ' '

S

Vậy

3

3 max

3

3( 2 1) min

Bài 2 (5,0 điểm)

Giải các phương trình sau trên tập số thực R:

1/ cosx + 3(sin2x +sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos x + 2 02 

2/ x42x + x3  2(x2x) = 0

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C

1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp B.ACA’

2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất

3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách giữa AB và A’C

4x + 3 g(x) =

cosx + 2cos2x + 3.sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0

cosx(2cosx + 1)+ 3.sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0

(2cosx + 1)(cosx + 3.sinx –2.cos2x) = 0

A A’

1,0 0,75

0,75

- Ta có: . ' '

1.3

 ACA

B ACA

2

- Trong mp(AHB) kẻ HJ AB, suy ra HJ là đường vuông góc chung của AB và A’C

- Trong ta giác vuông AHB ta H ta có: 12 12 12

- Khi đó: MA + MB + MC = 3MG , G và  cố định (G không nằm trên ),

- Vậy MA + MB + MC nhỏ nhất khi 3MG nhỏ nhất, tức MG nhỏ nhất hay MG vuông góc với  Do đó M là giao điểm của  và đường thẳng d qua G và vuông góc với

x y

4

M

1 A -6 -2 O 1 5 x -1 G

C

2011 2011

C ; 2011

2011

m

C  là các số tự nhiên) Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m +

3 ĐỀ SỐ 3

Câu 1: (6 điểm)

1 Cho phương trình: 2 1 2sin  x  3.2 1 sin  x   m 4 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 0

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương

trình: x cos t  y sin t  sin t  2cos t   3 0(t là tham số) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

2 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2 a 5 và BAC  120 Gọi M là

trung điểm của CC1 Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BM)

C/M đường tròn ( C ) tiếp xúc (d) với mọi t 0.5

Vậy đường thẳng đã cho luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có phương trình :

    1

AA ' 2

Tọa độ điểm Mk1 được xác định:



 với m là tham số Chứng minh rằng  m 0, đồ thị hàm số luôn cắt đường

thẳng d y: 3x3m tại 2 điểm phân biệt A B, Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox Oy,lần lượt tại C D, sao cho diện tích OAB bằng 2 lần diện tích OCD

2 Cho hàm số

21

x y x



 có đồ thị (C) Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà qua đó kẻ

được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 2

Câu 2: (4 điểm)

1 Giải phương trình sau trên tập số thực: 15 5x x 5x127x23

2 Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 2 2

30

SAC Tính thể tích khối tứ diện theo a

2 Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn 1

24

là vế trái của (*)) nên dluôn cắt đồ thị tại 2 điểm A B, phân biệt  m 0

Ta có A x 1;3x13m B x , 2;3x23m với x x1, 2 là 2 nghiệm của (*) Kẻ

đường cao OH của OAB ta có  0; 3

Đường thẳng d đi qua M, có hệ số góc k có phương trình yk(xx )0 y0

d tiếp xúc (C ) khi hệ sau có nghiệm x1:

Thay vào (2) được

điểm) Phương trình đã cho 5 15x x527x23

Ta phải có 15x 5 0 và phương trình trên trở thành 27 23

Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau (c.c.c) nên MB = MC suy ra tam giác MBC cân tại M, do đó MNBC, ta cũng có MNSA (Ở đây N là trung điểm BC)

A lên mp( BCD) Khi đó VABCD 1S BCD.AH 1x.BK.AH

f (1)8

Nên ABCD 1V

8

 (đpcm) (Dấu bằng xảy ra khi hai tam giác ACD và BCD là hai tam giác đều có cạnh bằng 1 và H,K trùng với M Khi đó 3

1 2

2 điểm Theo bđt Cô-si ta có:

Từ đó 1

8

P và dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

0,5

5 ĐỀ SỐ 5

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a) Giải phương trình sau trên tập số thực: x   1 (2 x  1) x   1 2

b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2

8 12

c Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A     1;2 , B 4;3

Tìm trên trục hoành điểm M sao cho AMB  450

d Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6cm, trọng tâm là G Một đường thẳng  đi qua

G,  cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N sao cho 2 AM  3 AN Tính diện tích tam giác AMN

u v





 

Với 2

6

u v

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

m m

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí