Bài 19, Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.. Bài 23- Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ:..[r]
Trang 1111Equation Chapter 1 Section 1
DẠNG TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1 Phân tích đa thức thành nhân tử :
a x2− x−12
b x2+8 x+15
c x2−6 x−16
d x3− x2+ x+3
2 Phân tích đa thức thành nhân tử :
( x2− x )2−2 ( x2− x ) −15 .
3 Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz
4 Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14
5 Cho a +| b + c + d = 0
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd)
6 Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì :
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
7 Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
là số chính phương
8 Biết a - b = 7 Tính giá trị của biểu thức sau:
a2( a+1)−b2( b−1)+ab−3ab (a−b+1)
9 Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:
x + y + z=1
x2 +y2 +z2 =1
x3+y3+z3=1
¿
{ ¿ { ¿ ¿ ¿
¿ Hãy tính giá trị biếu thức
P = ( x−1 )17+ ( y−1 )9+ ( z−1 )1997 .
10
a.Tính 12−22+32−42+ .+992−1002+1012 .
b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53
Tính ab + bc + ca
11 Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007
12 Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện :
1
a +
1
b +
1
c =
1
a+b+c
Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008)
Trang 2DẠNG TOÁN CHIA HẾT
1 Chứng minh rằng
a n3+ 6 n2+ 8 n⋮48 với n chẳn
b n4−10 n2+9⋮384 với n lẻ
2 Chứng minh rằng : n6+ n4− 2n2⋮ 72 với n nguyên
3 CMR với mọi số nguyên a biểu thức sau:
a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho 6.
b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7.
c) (a2 + a + 1)2 – 1 chia hết cho 24
d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn)
5 CMR với mọi số tự nhiên n thì biểu thức:
a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho 6
b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho 8.
DẠNG TOÁN PHỐI HỢP HAI DẠNG CHIA HẾT VÀ PHÂN TÍCH NHÂN TỬ
Chứng minh : Với n là số tự nhiên thì:
1. (52 n+1+2n+4+2n+1)⋮23
2 11 + 12 ⋮ 133
3. ( 5n+2+26 5n+82 n+1) ⋮ 59
4 ( 22 n+1+ 33 n+1) ⋮ 5
5. ( 22 n+2+24 n+14 ) ⋮ 18
DẠNG TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ
1 Tính giá trị của biểu thức:
1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 3.
2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy
3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy.
4/ Cho x + y = m và x.y = n.Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
5/ Cho x + y = m và x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m và n.
6/ a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4.
b) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị của bt: a4 + b4 + c4.
DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CO SI
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1. a2 + 4b2 + 4c2 ¿ 4ab - 4ac + 8bc
2. a2+ b2+ c2+ d2+ e2≥ a ( b +c +d +e )
3. ( x−1) ( x−3 ) (x−4 )( x−6) +10≥1
4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 ¿ 0
6. a2 + 9b2 + c2 +
19
2 > 2a + 12b + 4c
Trang 37. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 ¿ 4
8. x2 – xy + y2 ¿ 0
9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 ¿ 0
10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 ¿ 0
11. x4 + x3y + xy3 +y4 ¿ 0
12. x5 + x4y + xy4 +y5 ¿ 0 với x + y ¿ 0
13. a4 + b4 +c4 ¿ a2b2 + b2c2 + c2a2
14. (a2 + b2).(a2 + 1) ¿ 4a2b
15. ac +bd ¿ bc + ad với ( a ¿ b ; c ¿ d )
16.
a2+ b2
2 ≥ ( a+b 2 )2
17.
a2+ b2+ c2
3 ≥ ( a+b +c 3 )2
18.
a
b +
b
c +
c
a ≤
b
a +
a
c +
c
b (với a ¿ b c > 0)
19. a+b≥ 12 ab
9+ab ( Với a,b > 0)
20.
a
bc +
b
ca +
c
ab ≥
1
a +
1
b +
1
c (Với a,b,c >o )
DẠNG TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
1 Tìm GTNN A x 2 5 2008x
2 Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2
3 Tìm GTLN D = 2007 x2 5x
4. Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
5 Tìm GTNN của G = x410x325x212
6 Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y.
7 Tìm GTNN C = ( 3 x−1 )2− 4|3 x−1|+5
8 Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3)
9 Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y
CO SI VÀ GIÁ TRỊ
1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng (a+b +c ) ( 1 a +
1
b +
1
c ) ≥9
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1 Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8
3. Cho các số a,b biết a + b = 1 Chứng minh rằng
a) a + b \f(1,2 b) a + b \f(1,8
4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1 Chứng minh: \f(1,a + \f(1,b + \f(1,c 9
5. Cho x , y , z 0và x + y + z 3 Chứng minh rằng:
\f(x,1+x + \f(y,1+y + \f(z,1+z \f(3,2 \f(1,1+x + \f(1,1+y + \f(1,1+z
6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
a \f(1,ab + \f(1,a+b 6
b \f(2,ab + \f(3,a+b 14
7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
(a + \f(1,b ) + (b + \f(1,a ) \f(25,2
Trang 48. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0
1
a+3 b+
1
b+3 c+
1
c +3 a≥
1
a+2 b+c+
1
b+2 c+ a+
1
c+2 a+b ,
9. Cho a,b,c là 3 số dương
Chứng minh : a bc+
b
ac+
c
ab≥
1
a+
1
b+
1
c .
10. Cho a,b,c là 3 số dương
Chứng minh rằng :
a2 b+c +
b2 a+ c +
c2 b+ a ≥
a+b+c
11. Chứng minh: a + b \f(1,8 với a + b 1
12. Chứng minh:
a b+c +
b
c +a +
c a+b ≥
3
2 Với a,b,c > 0
13. Chứng minh: a4+ b4+ c4≥ abc ( a+b+c )
14. Bài 28: Cho x≥0; y≥0; z≥0;
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz
15. Cho A =
1
n+1 +
1
n+2 + +
1
1
2n+2 + +
1
3 n+1 Chứng minh rằng A >1
DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BIỂU THỨC
Bài 1 Chứng minh rằng Biếu thức
P =
(x2+a)(1+ a)+a2x2+1
(x2−a)(1−a)+ a2x2+1 không phụ thuộc vào x
Bài 2 , Cho biểu thức M =
x5−2 x4+2 x3−4 x2−3 x+6
a Tìm tập xác định của M
b Tính giá trị của x để M = 0
c Rút gọn M
Bài 3 , Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau Chứng minh rằng :
b−c
(a−b) (a−c)+
c−a
(b−a) (b−c)+
a−b
(c−a)(c −b)=
2
a−b+
2
b−c+
2
c−a
Bài 4 , Cho biểu thức : B =
|x+10|
x4+9 x3−9 x2+9 x−10 Rút gọn B
Bài 5 , Chứng minh rằng : (n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 ) ⋮ 16 với n ¿ Z
Bài 6 , Rút gọn biểu thức : A=
2 x +3 y
xy+2 x−3 y−6−
6−xy
xy+2 x+3 y +6−
x2+9
x2−9 với x ¿ -3
; x ¿ 3; y ¿ - 2
Bài 7 , Cho Biếu thức : A = (2−x 2+x−
4 x2
x2−4−
2−x 2+x): x2−3 x
2 x2−x3
a Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A
b Tìm giá trị của x để A > 0
c Tìm giá trị của A trong trường hợp | x−7|=4 .
Trang 5Bài 8 Thực hiện phép tính:
.A =
1
1
1+ x+
2
1+ x2+
4
1+ x4+
8
1+ x8+
16
1+ x16
Bài 9, Rút gọn C =
1
1
1
−9+
1
+9
−a2+9
Bài 10 , Cho a,b,c là 3 số ¿ nhau đôi một
Tính S =
ab
( b−c) ( c−a) +
bc
(a−b )(c−a ) +
ac
( b−c ) (a−b ) Bài 11, Tính giá trị của biểu thức :
2a−b
3 a−b+
5 b−a
3 a+b−3 biết:
10 a2−3 b2−5 ab=0∧9 a2−b2≠0
Bài 12 , Cho a + b + c = 1 và a2+b2+c2=1 .
a Nếu
x
a =
y
b =
z
c Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.
b Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tính giá trị của a,b,c
Bài 13 , Cho Biếu thức : A=
2 a−1
3 a−1+
5−a
3 a+1
a Tính giá trị của A khi a = -0,5
b Tính giá trị của A khi : 10a2 + 5a = 3
Bài 14 , Chứng minh nếu xyz = 1 thì:
1
1+x +xy +
1
1+ y + yz +
1
1+z+zx =1 .
Bài 15, Chứng minh đẳng thức sau:
a2+3 ab
2 a2−5 ab−3 b2
6 ab−a2−9 b2 =
3 bn−a2−an+3 ab
Bài 16 Thực hiện phép tính: (1− 1
22)(1− 1
32)(1− 1
42) (1− 1
20082) .
Bài 17 , Tính tổng : S(n) =
1
2 5 +
1
5 8 + +
1 ( 3 n−1 )( 3 n+2 ) . Bài 18 , Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
A =
2 a3−12 a2+17 a−2
Biết a là nghiệm của Phương trình : | a 2 −3a+1|=1 .
Bài 19, Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: (1+b
a)(1+c
b)(1+a
c)=8 Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
B20- Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì :
a
b3−1−
b
a3−1=
2(b−a)
a2b2+3 B21 , Thực hiện phép tính:
A =
x2− yz
( x + y ) ( x+z) +
y2− xz
( x + y ) ( y +z ) +
z2− xy
( y +z)( x +z)
Bài 22- Rút gọn biểu thức : A =
a3+ b3+ c3−3 abc
Bài 23- Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ:
Trang 6B =
(1−x2)2
1+x2 :[ (1−x 1−x3+x)(1+ x 1+x3−x) ] Bài 24- Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007
A =
x( x+5)+ y( y+5 )+2( xy−3 ) x( x+6 )+ y( y+6)+2 xy .
Bài 25- Cho 3 số a,b,c ¿ 0 thỏa mãn đẳng thức:
a+b−c
a+c−b
b+c−a
Tính giá trị biểu thức P =
(a+b )(b+ c )(c +a )
Bài 26 - Cho biểu thức : A= 4 xy−z
2
xy+2 z2.
4 yz−x2
yz+2 x2.
4 zx− y2
xz+2 y2 Chứng minh rằng nếu :
x + y + z = 0 thì A = 1
Bµi tËp: Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau…
1 (7.35 - 34 + 36) : 34
2 (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2
3 (x3y3 -
1
2 x2y3 - x3y2) :
1
3 x2y2
4 [5(a−b )3+2( a−b )2] : (b-a)2
5 (x3 +8y3) : (x + 2y)
D¹ng T×m x biÕt:
a) 2x(x-5)-x(3+2x)=26
b) 5x(x-1) = x-1
c) 2(x+5) - x2-5x = 0
d) (2x-3)2-(x+5)2=0
e) 3x3 - 48x = 0
f) x3 + x2 - 4x = 4
Bæ xung Chøng minh r»ng biÓu thøc:
A = x(x - 6) + 10 lu«n lu«n d¬ng víi mäi x.
B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A, B, C vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc D, E:
A = x2 - 4x + 1
B = 4x2 + 4x + 11
C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6)
D = 5 - 8x - x2
E = 4x - x2 +1
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a) x2 - y2 - 2x + 2y
b)2x + 2y - x2 - xy
Trang 7c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy
e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f)x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x)
m) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 n)xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12