De HSG Toan 8hay

Ghi chú : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.. - Phần hình học, [r]

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Năm học: 2012-2013 Môn: Toán 8

Thời gian làm bài 120 phút

Đề thi này gồm 01 trang.

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Câu 1: (2,5 điểm )

a) Phân tích đa thức a b c b c a2(  )  2(  )  c a b2(  ) thành nhân tử.

b) Cho các số nguyên a b c , , thoả mãn ( a b  )3  ( b c  )3  ( c a  )3  210 Tính giá trị của biểu thức A a b    b c   c a 

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2  y2   3 xy .

b) Giải phương trình: (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7)2  72

Câu 3: (2,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( x  2012)2  ( x  2013)2

b) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3 Chứng minh rằng:

2

x x y yz z  .

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC Từ C

vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.

c) KẻDH BC HBC Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

BH, DH Chứng minh CQPD.

====== HẾT ======

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh………SBD………

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT TAM

DƯƠNG

H ƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8

NĂM HỌC 2012-2013 HDC này gồm 2 trang

1

(2,5đ)

a) Ta có

2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( )

a b c   b c a   c a b   a b c   b c a   c b c c a   

(b c a)( c ) (c a b)( c ) (b c a c a c)( )( ) (c a b c b c)( )( )

              (b c a c a c b c)( )( ) (b c a c a b)( )( )

         

0,5 0,5 0,25

b) Đặt a b x  ; b c y;

c a z   x y z  0

( )

z x y

  

Ta có:

3 3 3 210 3 3 ( )3 210 3 ( ) 210

x y z   x y  x y    xy x y 

70

xyz

  Do x y z, , là số nguyên có tổng bằng 0 và

70 ( 2).( 5).7

xyz     nên

, , 2; 5;7

x y z    

14

A a b b c c a 

0,25 0,5 0,5

2

x y   xy

Ta có:

(x y )  0 x y 2xy 3 xy2xy xy1 Lại có:

(x y )  0 x y 2xy 3 xy2xy xy3

Suy ra  3 xy1 Mà

, 3; 2; 1;0;1

x y Z  xy    Lần lượt thử ta được

( , )x y  ( 2;1);(1; 2);(2; 1);( 1; 2);(1;1)  

là nghiệm của phương trình

0,25 0,5 0,5

b)

2 (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7)  72 Đặt 6x 7 t. Ta có

(t1)( 1)t t 72 (t 1)t 72 t  t  72 0

4 9 2 8 2 72 0 2( 2 9) 8( 2 9) 0 ( 2 9)( 2 8) 0

             

Mà t  2 8 0 nên

3

t    t    t x

hoặc

5 3

x 

0,5 0,5 0,25

PT có nghiệm là

2 5

;

3 3

x   

 

3

(2,5đ)

a) Ta có:

2

2

8100312,5 8100312,5 x Vậy Min P 8100312,5

1 2

x

 

0,5 0,5 0,25

b) Đặt

( 1) ( 1) ( 1)

P

x x y y z z x x y y z z

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

             

Áp dụng BĐT

1 1 1 9

a b c  a b c  và

1 1 1 1

4

a b a b

 

   

   với a b c, , dương, dấu bằng xảy ra

a b c

  

Ta có

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ; 1 ; 1

 

           

Bởi vậy

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P

                 

=

3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3

4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2

       

 

(ĐPCM)

0,25

0,25 0,5

0,25

I P

Q

H

E

D A

M

a) Chứng minh EA.EB = ED.EC

- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g)

- Từ đó suy ra

EA EB ED EC

0,25 0,25

b) Kẻ MI vuông góc với BC (

)

IBC Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g)

BM BI

BM BD BI BC

BC BD

(1) Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g)

CM CI

CM CA CI BC

BC CA

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

2

BM BD CM CA BI BC CI BC BC BI CI     BC

(không đổi)

0,5 0,25 0,25

c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g)

2 2

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c)

BDP DCQ

mà BDP PDC 90o

  90o

DCQ PDC

CQ PD

 

0,25 0,25 0,25 0,25

Ghi chú :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.

=====================