Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình:.. b Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mpP.[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 2
ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA
LẦN 2 - NĂM 2015 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y=x3
− 3 x2+1 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3
−3 x2− 2 m=0 có 3 nghiệm phân biệt
Câu 2( 1,0 điểm ) a) Giải phương trình: log2( x −1) log3x=2 log4( x − 1)
b) Giải phương trình: 2 sin2
x −sin 2 x +cos x −sin x=0
Câu 3(1,0 điểm ) a) z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z2−3 z+5=0 trên tập số phức Tính
|z1|2+|z2|2
b) Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để một toa có 3 hành khách, một toa có 1 hành khách và hai toa
không có hành khách
Câu 4(1,0 điểm ) Tính tích phân: I=∫
1
e3
x(2+ln x
x2√ln x +1)dx
Câu 5(1,0 điểm ) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
d : x=1+t y=2 t
z =−1
¿
{ {
và mặt phẳng (P): 2 x + y −2 z − 1=0
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1 ;2;1) , song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P).
Câu 6( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S ABC. có tam giác ABC vuông tại A, ABAC a , I là trung điểm của
SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm Hcủa BC, mặt phẳng SABtạo với đáy
1 góc bằng 60 Tính thể tích khối chóp S ABC. và tính khoảng cách từ điểm Iđến mặt phẳng SAB
theo a.
Câu 7( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A, D là trung điểm cạnh AC K (1; 0) , E
(13;4) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ABD P (−1 ;6) , Q
(−9 ;2) lần lượt thuộc đường thẳng AC, BD Tìm tọa độ điểm A, B, C biết D có hoành độ dương.
Câu 8( 1,0 điểm ) Giải hệ phương trình:
¿
x+√x(x2−3 x +3)=√3 y+2+√y +3+1
3√x −1 −√x − 6 x+6=√3 y +2+1
¿{
¿
Câu 9(1,0 điểm ) Cho x, ,y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
P
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
y '=3 x2−6 x , y '=0⇔ x=0 hoặc x=2
0.25
lim y
x →− ∞
=− ∞ , lim y x →+∞ =+ ∞
0.25
0,25
Đồ thị
b.(1,0 điểm)
x3−3 x2− 2 m=0 ⇔ x3
− 3 x2+1=2m+1()
Từ (*) suy ra số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số
độ
−3<2 m+1<1 ⇔−2<m<0
0.25
Vậy giá trị cần tìm là −2<m<0
0,25
a,(0,5điểm)
Đk: x>1
log2( x −1) log3x=2 log4( x − 1) ⇔log2( x −1)(log3x − 1)=0
0.25
⇔ log2( x − 1)=0 hoặc log3x −1=0 ⇔ x=2 hoặc x=3
0 25
b,(0,5điểm)
x –∞ 0 2 +∞
y + ∞
Trang 32 sin2x −sin 2 x +cos x −sin x=0 ⇔ (sin x − cos x )(2 sin x −1)=0
⇔sin x − cos x=0 hoặc 2 sin x −1=0
⇔ tan x =1 hoặc sin x=1
2
⇔ x= π
x= π
6+k 2 π
¿
x= 5 π
6 +k 2 π
¿
¿
¿
¿
.
0.25
0.25
4
(1,0 điểm)
I=∫
1
e3
2 xdx+∫
1
e3
(ln x x√ln x+1)dx
1
e
2 xdx=x2
∨❑1e
3
=e6− 1
0.25
1
e3
ln x
x√ln x +1dx
Đặt
t=√ln x+1 ⇒
ln x=t2−1
1
xdx=2 tdt
¿{
Đổi cận
¿
x=1 ⇒t=1 x=e3⇒ t=2
¿{
¿
0.25
1
2
t2− 1
t 2 tdt=2∫
1
2
(t2−1)dt=2(13t
3
− t)¿12=8
a,(0,5điểm) Ta có: Δ=−31<0 ⇒ z1,2=3 ± i√31
Trang 4Khi đó: |z1|2+|z2|2=5
0.25
b,(0,5điểm) Mỗi hành khách có 4 cách chọn 1 toa để lên tàu nên số cách 4 hành
⇒n (Ω)=256 .
0.25
Gọi biến cố A” 4 hành khách từ sân ga lên tàu sao cho một toa có ba hành
khách, 1 toa có một hành khách và 2 toa không có hành khách”
+ Chọn 3 hành khách từ 4 hành khách và xếp 3 hành khách vừa chọn lên 1 trong 4 toa
tàu có C34 4=16 (cách)
+ Xếp hành khách còn lại lên 1 trong 3 toa tàu còn lại có 3(cách)
⇒n(A)=16 3=48
Vậy P ( A )= n ( A )
n (Ω)=
48
3
16
0.25
a,(0,5điểm) Vì
¿
Δ // ( P) Δ⊥ d
⇒
¿⃗u Δ ⊥ ⃗ n P
⃗
u Δ ⊥⃗ u d
⇒⃗ u Δ=[⃗n P , ⃗ u d]=(4 ;− 2;3)
¿{
¿
0,25
Trang 5Vậy PT đường thẳng đi qua M (1 ;2;1 ) là
Δ:
x =1+4 t y=2 −2 t
z =1+3t
¿{{
0,25
b,(0,5điểm) Vì tâm mặt cầu là I ∈ d nên I(1+t ;2 t ;−1)
Vì mặt cầu có tâm I , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp(P) nên
d(I,(P))=3
⇔|2 (1+t)+2 t − 2(−1 )−1|
√4 +1+4 =3⇔|4 t+3|=9⇔
4 t +3=9
¿
4 t +3=− 9
¿
t=3
2
¿
t=−3
¿
¿
¿
⇔¿
¿
¿
¿
0.25
2⇒ I(52;3 ;−1)⇒ (S ):(x −5
2)2+(y −3 )2+ (z +1)2=32
+ t=−3 ⇒ I(− 2 ;− 6 ;−1)⇒(S):(x+2)2+(y +6)2+(z+1)2=32
Vậy (S ) :(x −5
2)2+(y − 3)2+(z+1)2=32
0.25
j
A
S
H K M
Gọi K là trung điểm của AB
HK AB
giữa SK và HK và bằng ∠SKH❑ =600
Ta có SH=HK tan∠SKH= a√3
2
0.25
Vậy
3
S ABC ABC
a
Trang 6Ta có 2 2 2 2
3
HM HK SH a
3 4
a HM
4
a
G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh AB.
MG
ME
1
3⇒EG // CD ⇒ EG ⊥ KD Mà ABC là tam giác cân nên
KG⊥ MD⇒ G là trực tâm tam giác EKD nên KE⊥ GD ⇒KE⊥ BD 0,25
Suy ra BD :
x+6 y+21=0 ⇒ D(t ; t +21
6 ), t>0 ⃗DP=(−t − 1; −t +15
6 ),⃗DK=(−t +1; −t − 21
(−t − 1)(− t +1)+(− t+156 )(−t − 216 )=0⇔
t=3
¿
t= − 117
37
¿
⇒ D (3 ;4 )
¿
¿
¿
0,25
AC đi qua D và P ⇒ AC: x +2 y − 11=0
AK qua K và vuông góc với DE nên KA : x −1=0 ⇒ A (1;5) Kết hợp D là trung
8.
(1,0 điểm)
¿
x+√x(x2−3 x +3)=√3 y+2+√y +3+1 (1)
3√x −1 −√x − 6 x+6=3
√y +2+1 (2)
¿{
¿
Trang 7Đk:
x(x2− 3 x+3)≥ 0
y +3 ≥ 0
x −1 ≥ 0
x2− 6 x +6 ≥ 0
⇒
x ≥ 3+√3
¿
1 ≤ x ≤ 3−√3
¿
¿
¿y ≥− 3
¿
( )
¿
¿
¿ ¿
√( x −1)3+1+( x − 1)=√a3+1+a (3 ) Xét hàm số f (t )=√t3
+1+t , t ≥− 1 .
f '(t)= 3 t2
2√t3+1+1>0 ,∀ t ⇒f(t) là hàm đồng biến trên R Khi đó
(3)⇔ f ( x −1)=f (a) ⇔ x −1=a
0,5
¿3√x −1 − x ≥ 0(** )
x2−6 x +6=9 ( x − 1)+ x2−6 x√x −1 (3)
¿
(3)⇔2 x√x − 1=5 ( x −1) ⇔
√x − 1=0
¿
5√x − 1=2 x
¿
⇔
¿
¿
¿
x ≥ 0
¿
4 x2− 25 x +25=0
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
¿
¿
¿
¿
x ≥ 0
¿
¿ ¿
0,5
Ta có
x xy xyz x x y x y z
Trang 8x x y z x y z
2
t x y z t
P f t
t t
0,25
3 2
P
tại t=1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
16 21 1
4
21
21
x
x y z
z
0,25