De dap an thi HSG Toan 11 nam 2012 Yen Bai

Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà độ dài các cạnh của tam giác đó lần lượt bằng độ dài các đoạn thẳng AM, NB, CP.. Tìm k để tam giác đó có diện tích nhỏ nhất.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH YÊN BÁI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 05 câu)

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 08/10/2012

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm)

Giải phương trình:

3tan 2

2 sin 2 1

x x

x 



Câu 2 (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình:

2

2

1

y

x y

x











   

  



Câu 3 (3,0 điểm)

Xác định các hàm số f x g x ,   biết

4 3 3 14 2 1

3

x













  

 x R

Câu 4 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC

1) Gọi O, r tương ứng là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Chứng minh rằng:

a) OA OB2. 3OB OC2. 3OC OA2. 396r5;

b) OA1005.OB1007OB1005.OC1007OC1005.OA1007 3.(2 )r 2012

2) Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

BM CN AP

k

BC CA AB  ( k > 0 )

Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà độ dài các cạnh của tam giác đó lần lượt

bằng độ dài các đoạn thẳng AM, NB, CP Tìm k để tam giác đó có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5 (4,0 điểm)

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.

Chứng minh:

3

2

y

xy yz xz yz xy xz     

Hết

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh Chữ kí giám thị số 1:

Số báo danh Chữ kí giám thị số 2: