Gọi P, Q là các trung điểm tương ứng của HB và BK, xác định vị trí của đường kính EF để tứn giác EFQP có chu vi nhỏ nhất..[r]
Trang 1Họ và tên:……….………
Lớp:………SBD……….
Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút
Ngày kiểm tra: 07/06/2014
Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phương trình sau: x2 +6x + 5 =0
b) Giải hệ phương trình:
2
a b
a b
Câu 2: (2 điểm)
Cho biểu thức P =
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 3+ 2 2
Câu 3: (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= 2x - a2 và parabol
(P): y = ax2 ,(trong đó a là tham số dương)
a) Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Chứng minh rằng khi
đó A, B có hoành độ dương
b) Gọi xA và xB là hoành độ của A và B Tìm a để thỏa mãn biểu thức sau:
.
A B A B
x x x x = 3
Câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có dây MN cố định (MN < 2R) P là một điểm trên cung lớn MN sao cho tam giác MNP có 3 góc nhọn Các đường cao ME, NK
của tam giác MNP cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác PKHE nội tiếp được đường tròn
b) Kéo dài PO cắt đường tròn tại Q Chứng minh MQ//NK và KNM NPQ
c) Chứng minh rằng khi P thay đổi trên đường tròn (O) thì độ dài đoạn PH không đổi
Câu 5: (1 điểm)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1
Chứng minh rằng: 2x2xy2y2 + 2y2yz2z2 + 2z2zx2x2 5
Hết
Trang 2-Câu Nội dung Điểm
b) Giải hệ phương trình:
2
a b
a b
a b
a b
Vậy: hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
1 1
a b
0.75
0.25 2
a)Cho biểu thức P =
+Điều kiện: x >0 và x 1
+Rút gọn biểu thức P
P =
=
= x( x1) (2 x1) 2( x1)
= x - x + 1
Vậy P = x - x + 1
0.25
0.75
0.25
b)Với x = 3+ 2 2, ta thấy x >0 và x 1
Ta có x = 3+ 2 2 = ( 2+1)2
Suy ra x= 2+1
Thay vao biểu thức P= x - x + 1, ta được:
P= 3+ 2 2 -( 2+1) +1
= 2+ 3
Vậy với x = 3+ 2 2 thì P= 2+ 3
0.25 0.25
0.25
3 a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
ax2 – 2x +a2 = 0 (1)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm
0
' 1
a
a a
Khi đó nếu ta gọi xA và xB là hoành độ của A và B thì theo định lí
Viet cho pt (1) ta có:
2
a
Suy ra xA >0 và xB >0
Vậy điểm A,B có hoành độ dương
0.25
0.5
0.25
Trang 3b) Theo câu a), ta có: 2a + a = 3, với 0 a 1
2a2 – 3a + 1 = 0
1 1 2
a a
Ta thấy a= 1 không t/m đ/k
Vậy a= ½
0.25
0.25
4
H
O
P
E K
Q I
a)Ta có NK MP (gt) ⇒ HKP=900
ME PN(gt) ⇒ HEP=900
⇒ HKP + HEP=1800 ⇒ Tứ giác PKHE có tổng số đo hai góc
đối diện bằng 1800 nên nội tiếp được đường tròn
Hình vẽ
0.5 0.5
b)Ta có PMQ=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ QM
MP
Mà NK MP ⇒ MQ//NK (cùng vuông góc với MP)
Do MQ//NK ⇒ ∠ KNM= ∠ NMQ (slt)
Mặt khác ∠ NMQ= ∠ NPQ (hai góc nội tiếp cùng chắn 1
cung)
Từ đó suy ra ∠ KNM= ∠ NPQ
0.5 0.5
c) Ta có tứ giác HNQM là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối
song song) Gọi I là giao điểm của MN và HQ thì I là trung điểm
của MNvà HQ
Do I là trung điểm MN nên OI MN (quan hệ vuông góc giữa
đường kính và dây)
⇒ OI là khoảng cách từ tâm O đến dây MN cố định nên OI
không đổi
Mặt khác OI là đường trung bình của tam giác QPH nên PH=2OI
do đó Khi P
0.25
0.25 0.25 0.25
5 Ta có: 4( 2x2 + xy + 2y2 ) = 5(x+ y)2 + 3(x- y)2 5(x+ y)2
Vì x, y > 0 nên suy ra:
2
x xy y x y
Trang 4Chứng minh tương tự ta có: 2y yz2z 2 (y z )
2
z zx x z x
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
2x xy 2y + 2y2yz2z2 + 2z2zx2x2 5(x y z )
Do x+ y+ z = 1, suy ra:
2x xy 2y + 2y2yz2z2 + 2z2zx2x2 5
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB cố định và một đường kính EF bất kì ( E khác A và B) Tiếp tuyến tại B với đường tròn cắt tia AE, AF lần lượt tại H và K Từ A kẻ đườn thẳng vuông góc với EF cắt HK tại M
a) Chứng minh các tứ giác AEBF ; EFKH là tứ giác nội tiếp
b) chứng minh AM là dường trung tuyến của tam giác AHK
c) Gọi P, Q là các trung điểm tương ứng của HB và BK, xác định vị trí của đường kính EF để tứn giác EFQP có chu vi nhỏ nhất