de thi chuyen de nang cao toan 7

Xét tam giác DCH vuông tại H có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD nên MH = MC tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.[r]

Đề thi chuyên đề nâng cao Môn Toán 7 năm học 2013-2014

( Thời gian 120 phút)

Giáo viên ra đề: Lê Thị Lợi

Đề bài: Bài 1: (2 điểm) a) Thực hiện phép tính a) A=

0 , 75 −0,6+3

7+

3 13

2 , 75− 2,2+11

7 +

11 13

b M = 1+1

2(1+2)+

1

3(1+2+3)+

1

4(1+2+3+4)+ +

1

16 (1+2+3+ +16)

Bài 2: ( 3,0 điểm) a)Tìm x biết







b)Cho đa thức : P(x) = 2x 6  2x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P(x) c) Cho hai đa thức:P (x) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 và Q (x) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2

Tìm m biết P (1) = Q (-1)

Bài 3 (3điểm): Nhà trường dự định chia vở viết cho ba lớp 7A,7B và 7C tỷ

lệ theo số học sinh là 7: 6: 5 Nhưng sau đó vì có học sinh thuyên chuyển giữa ba lớp nên phải chia lại theo tỷ lệ 6:5:4 Như vậy có lớp đã nhận được

ít hơn theo dự định là 12 quyển vở Tính số vở mỗi lớp nhận được

Bài 4 (8 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Trên tia đối

của tia AH lấy điểm D sao cho AD = AH Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng HC, F là giao điểm của DE và AC

a) Chứng minh rằng: Ba điểm H,F và trung điểm M của DC thẳng hàng b) Chứng minh HF =

1

3DC

c) Chứng minh rằng: ME//DH

d) Cho ABC 60 ;0 AB6cm Tính chu vi tam giác ABC

Câu 5: (4 điểm) a)Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 3 3 4 9 10

b)Chứng minh rằng: M= x

x+ y +z+

y

x + y +t+

z

y +z+t+

t

x +z +t có giá trị không phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N❑ )

B.ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM.

Bài 1:

(2 điểm) a) A=

0 , 75 −0,6+3

7+

3 13

2 , 75− 2,2+11

7 +

11 13 A=

3

4−

3

5+

3

7+

3 13 11

4 −

11

5 +

11

7 +

11 13

A ¿

3 (1

4−

1

5+

1

7+

1

13) 11.(1

4−

1

5+

1

7+

1

13)

A = 3

11 b) M = 1+1

2.

2 3

2 +

1

3.

3 4

2 +

1 4

4 5

2 + .+

1 16

16 17 2 ¿ 2

2+

3

2.+

4

2+

5

2+ .+

17 2 ¿ 1

2(1+ 2+ 3+ +17 −1) ¿ 1

2(17 182 −1)=76

0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

Bài 2

2

x 3 27





x 3 9

   hoặc x 3   9

+) x 3    9 x  6

b)Ta có :P(x) = 2x 6 2x 2  6 2x 2x 2  6 2x2x 2 4

Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi ( 6 – 2x)(2x+2)  0

x

KTM



Vậy GTNN của P(x) là 8 khi 1  x 3

b) Ta có : P(1) = 12 + 2m.1 + m2

= m2 + 2m + 1

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2

= m2 – 2m

Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m

⇔

4m = -1 ⇔ m =

1 4



0,25 0,25

Bài 3

3 điểm

Gọi số vở ba lớp 7A,7B,7C nhận được theo dự định tương

ứng là x,y,z và số vở ba lớp nhận được trong thực tế là a,b,c

( Điều kiện : x,y,z,a,b,c, N* )

Theo đề bài ta có x: y: z = 7: 6: 5 hay 7 6 5 18

x y z x y z 

a: b: c = 6: 5: 4 hay 6 5 4 15

a b c a b c 

  

Suy ra

a

à

v

Do số học sinh thuyên chuyển giữa các lớp nên tổng số học sinh

không đổi,kéo theo tổng số vở cũng không đổi nên

x + y+ z = a + b + c và ta có

35 30 25 36 30 24

k

Từ dãy tỷ số bằng nhau trên, ta nhận xét 35 36



do đó x<a nên

số vở lớp 7A nhận được nhiều hơn so với dự định.Tương tự số

vở lớp 7B nhận được không đổi và số vở lớp 7C nhận được ít

hơn so với dự định

Suy ra: k = 25 24 12

z c



 Vậy : Lớp 7A nhận được số quyển vở là : a = 12 36 = 432

Lớp 7B nhận được số quyển vở là: b = 12 30 = 360

Lớp 7C nhận được số quyển vở là: c = 12 24 = 288

Đối chiếu với điều kiện x,y,z,a,b,c, N* ta có số quyển vở mỗi

lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt là : 432; 360 ; 288 ( quyển

vở)

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0.25 0,5

Bài 4

8 điểm

F M

E

H

B A

C

a) Vì AD= AH; EC= EH ( gt) CA và DE là hai trung tuyến

Xét CDH có CA và DE là hai trung tuyến  F là trọng tâm của

CDH



Mà M là trung điểm của CD nên đường trung tuyến HM đi qua

trọng tâm F, hay ba điểm H,F,M thẳng hàng

0,5 0,5 0,5 0,5 b) Vì F là trọng tâm của CDH ( chứng minh trên)

2 3

( tính chất của trọng tâm) (1) Mặt khác, vì HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác

CDH vuông tại H nên HM =

1

2CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra HF=

.

3HM 3 2CD3CD( đpcm)

0,5 0,5 1,0

c) Xét tam giác DCH vuông tại H có HM là đường trung tuyến ứng

với cạnh huyền CD nên MH = MC ( tính chất đường trung tuyến

trong tam giác vuông) Suy ra MCH cân tại M

Mặt khác E là trung điểm của CH ( gt)  MECH( tính chất

đường cao trong tam giác cân)

Vì C,E,B thẳng hàng nên MECB ME DH// ( DHCB) ( đpcm)

0,5

0,5 1,0

d) Vì tam giác ABC vuông tại A và ABC 60 0 ( gt) nên tam giác ABC

là nửa tam giác đều

Suy ra : BC = 2 AB = 2 6 = 12cm ( tính chất nửa tam giác đều)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC ta được:

CA AB CB

2 144 36 108

108

0,5 0,5

0,5

Vậy chu vi của tam giác ABC là : AB+BC+CA = 6+12+6 3

=18 +6 3 ( cm)

0,5

Bài 5

a)

 232  252  272   219 2 A

1 2 2 3 3 4 9 10

A=

A=

2

1

A = 1-

10

Vì 2

1

10   A

0,5

0,5 0,5 0,5

b) Ta có: x + y +z+t x < x

x+ y+z<

x

x + y

x + y +z+t y < y

x+ y+t<

y

x + y

z

x y z t   

z

y z t  

z

z t

x + y +z+t t < t

x+z +t<

t

z +t ⇒ x + y +z +t

x + y +z +t<M <¿ (

x

x + y+

y

x + y)+(

z

z +t+

t

z +t) hay: 1 < M < 2

Vì 1 và 2 là hai số tự nhiên liên tiếp nên M có giá trị không phải

là số tự nhiên

1,0

0,5 0,25 0,25

Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.

Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm điểm.