Viết phương trình mặt cầu S có tâm trên đường thẳng d, đồng thời tiếp 1 2 −2 xúc với mặt phẳng Oxy và mặt phẳng P.. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của |z|.[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN VII NĂM 2014
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 ( 2,0 điểm )
Cho hàm số y = 2 x +1
x−1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác cân
Câu 2 ( 1,0 điểm )
Giải phương trình:
sinx
sin(π6+x)+sin(π6−x)=1+ tan(
x
2+
π
4)−tan(π4−
x
2)
Câu 3 ( 1,0 điểm )
Giải phương trình: 2log 2(1 + 4
√x ) = log3x
Câu 4 ( 1,0 điểm )
Tính tích phân I = ∫
0
π
2
x sinx dx
(1+cosx)2
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, có SA= a là đường cao, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B có AB = BC
= a, AD = 2a Tính thể tích khối chóp S.ACD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Câu 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng với các số x, y, z thuộc khoảng (0; 1), luôn có
(x – x2)(y – y2)(z – z2) ≥ (x – yz)(y – zx) (z – xy)
Câu 7 ( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(2; 2), điểm M(3; 6) thuộc
cạnh BC, điểm N(6; 4) thuộc cạnh CD Tìm tọa độ đỉnh C.
Câu 8 ( 1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x −¿ y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng
d: x−21 = y −3
z +2
−2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm trên đường thẳng d, đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) và mặt phẳng (P)
Câu 9 ( 1,0 điểm) Cho số phức z = cos2α + (sinα – cosα)i, với số α thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất của |z|.
.……… Hết………
Lưu ý: Câu 6 lấy lại từ câu 5 lần 7 – 2011 Khi đó đáp án sai Lần này đáp án lại sai tiếp!!!
Đính chính đáp án giúp:
Trước hết ta chứng minh trong ba nhân tử ở vế phải chỉ có tối đa một nhân tử âm Thật vậy, giả sử có hai nhân tử: a – bc & b – ca âm Khi đó: (a – bc )+(b – ca) < 0 ⇔ (a+b)(1 – c ) < 0 Vô lý!
TH1: Vế phải âm Bất đẳng thức hiển nhiên đúng!
TH2: Vế phải không âm Khi đó cả ba nhân tử a – bc, b – ca , c – ab đều không âm.
Ta có: (b – c) 2 ¿ 0 ⇒ a(b – c) 2 ¿ 0 ⇒ … ⇒ bc(1 – a) 2 ¿ (b – ca)(c – ab) ¿ 0 (1) Tương tự có: ca(1 – b) 2 ¿ ( c – ab)(a – bc) ¿ 0 (2)
ab(1 – c) 2 ¿ (a – bc)(b – ca) ¿ 0 (3)
Trang 2Nhân từng vế của (1),(2),(3) được: [abc(1 – a)(1 – b)(1 – c)] 2 ¿ [(a – bc)(b – ca)(c – ab)] 2 ⇒ BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Chú ý:*) Nếu a – bc < 0 thì hai nhân tử còn lại dương nên( a – bc)(b – ca)<0;( a – bc(c – ab )<0 do đó không thể có căn bặc hai cho các tích này Lỗi trong đáp án gốc của trường chuyên SPHN.
*) Với điều kiện cả hai vế của mỗi bất đẳng thức đều không âm thì khi nhân từng vế mới được BĐT cùng chiều.