SKKn 2014 Nguyen Thi Thu

Trong chương trình giải tích 12 ban cơ bản hiện nay, chương số phức được đưa vào ở dạng đại số,trong đó gồm các phần : khái niệm về số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức,phương trình b[r]

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lý do chọn đề tài

Trong các đề thi Tốt nghiệpTHPT- Cao đẳng-Đại học câu số phức thườngxuất hiện trong đề thi môn toán Số phức không phải là câu hỏi khó,đây là mộtbài toán “nhẹ nhàng”,học sinh có thể dễ dàng ghi điểm nếu đầu tư một chút vềvấn đề này.Song đây là dạng toán mới lạ với học sinh ,lớp 12 học sinh mớiđược tiếp cận số phức , đặc biệt nội dung này được phân phối thời lượng khôngnhiều (10 tiết học và 1 tiết kiểm tra trong chương trình cơ bản),và ở phần cuốicùng của chương trình giải tích lớp 12 Nên khi vận dụng học sinh bị ảnh hưởngtính chất của tập số thực (học sinh được học số thực từ lớp 7) ví dụ học sinh haynhầm môđun của số phức z là giá trị tuyệt đối của z,nhiều khi nhầm tưởng tínhchất của tập số thực cũng đúng trên tập số phức,nên lúng túng khi giải quyết bàitoán về số phức

Năm học 2013-2014 tôi được phân công giảng dạy các lớp:12A5,12A6,12A8.Phần lớn học sinh có đầu vào thấp,khả năng tư duy và tính toán còn hạnchế Song có một thuận lợi là 2 lớp 12A6,12A8 mỗi lớp có 1 tiết tự chọn và có

2 tiết phụ đạo trên tuần, học sinh ngoan ham học

Với tất cả những lý do trên,cùng với kinh nghiệm của bản thân sau một thờigian đã trực tiếp giảng dạy lớp 12 và luyện thi Tốt nghiệp THPT-Cao đẳng-Đạihọc Tôi mạnh dạn tổng hợp ,phân loại và viết thành đề tài “ MỘT SỐ DẠNGTOÁN VỀ SỐ PHỨC” để trao đổi với đồng nghiệp và làm tài liệu giúp các emhọc sinh ôn luyện trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT-Cao đẳng-Đại học

II Mục đích, yêu cầu.

Hình thành kỹ năng, kỹ xảo giải quyết bài tập số phức trong chương trình cơbản

Học sinh biết vận dụng kỹ năng, kỹ xảo trên làm công cụ giải quyết dạngtoán về số phức giúp các em có tâm thế tốt nhất, tự tin bước vào các kỳ thi và

“ghi điểm”

III.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khách thể: Học sinh 12A6,12A8 Trường THPT Hai Bà Trưng ThạchThất Hà Nội

Đối tượng: Các bài toán về số phức dạng đại số trong: Sách giáo khoa, tàiliệu tham khảo, các đề thi

IV.Nhiệm vụ nghiên cứu.

Hệ thống kiến thức về số phức dạng đại số

Phân loại và hướng dẫn học sinh giải bài tập số phức dạng đại số

V.Phương pháp nghiên cứu.

Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã sư dụng các phương pháp nghiên cứusau

Điều tra, quan sát thực tiễn

Nghiên cứu lý luận

Thực nghiệm sư phạm

Tổng kết kinh nghiệm

Lấy ý kiến đồng nghiệp.

Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

VI.Kế hoạch ,thời gian nghiên cứu.

Đề tài được nghiên cứu từ tháng 9 năm 2013 đến tháng 5 năm 2014

Giai đoạn 1(từ tháng 9 đến tháng 10 năm 2013)

Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

Hoàn thành đề cương đề tài

Giai đoạn 2(từ tháng 11 năm 2013 đến tháng 4 năm 2014)

Điều tra, quan sát thực tiễn

Thực nghiệm sư phạm

Lấy ý kiến đồng nghiệp

Đánh máy bản thảo,hoàn thành sơ bộ đề tài

Giai đoạn 3( tháng 5 năm 2014)

Trong chương trình giải tích 12 (ban cơ bản) hiện nay, chương số phức đượcđưa vào ở dạng đại số,trong đó gồm các phần : khái niệm về số phức, cộng trừnhân chia hai số phức,phương trình bậc nhất với hệ số phức, phương trình bậchai với hệ số thực, chiếm vị trí khá quan trọng và thường có trong các đề thi tốtnghiệp ,Đại học và Cao đẳng Phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc phântích đề để tìm lời giải Chính vì thế mà tôi đã nghiên cứu, biên soạn đề tài nàynhằm giúp hình thành kỹ năng, kỹ xảo giải quyết bài tập số phức trong chươngtrình cơ bản Từ đó học sinh biết vận dụng kỹ năng, kỹ xảo trên làm công cụ giảiquyết dạng toán về số phức (học sinh đi đúng hướng và tìm ra lời giải ).Giúp các

em có tâm thế tốt nhất, tự tin bước vào các kỳ thi và “ghi điểm”phần này

B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ :

Đây là vấn đề mới đối với học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục đã chuyển tải nộidung này từ nội dung học đại học năm thứ nhất xuống lớp 12(bắt đầu từ nămhọc 2008-2009 đến này).Với thời lượng cho phép không nhiều (10 tiết học và 1tiết kiểm tra trong chương trình cơ bản), Chất lượng học sinh trong lớp khôngcao, các em hay nhầm lẫn các kiến thức của số thực và số phức song đa số cácngoan có ý thức vươn lên Nên để phát huy tính năng động và sáng tạo của họcsinh tôi đã phân loại bài tập này và sắp xếp thứ tự các bài tập từ dễ đến khó,nhằm giúp học sinh làm bài tốt phần số phức trong các kỳ thi sắp tới

- Số thuần ảo (hay số ảo ) là số phức có phần thực bằng 0

Kí hiệu: 0+bi hoặc: bi

- Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực, vừa là số ảo

- Đặc biệt i=0+1.i Suy ra số i gọi là đơn vị ảo

b

mặt phẳng Oxy là điểm M(a; b) Mặt phẳng tọa

độ Oxy với việc biểu diễn số phức như thế được

gọi là mặt phẳng phức: Gốc tọa độ O biểu diễn

số 0 Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các

số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực

Các điểm trên trục tung

Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo

Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó

Nếu z là số thuần ảo thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của phần ảo của

số thuần ảo đó

6 Số phức liên hợp

- Số phức z=a+bi có số phức liên hợp kí hiệu là: z

- Công thức: z =a–bi

- Trong mặt phẳng Oxy, điểm M(a; b) biểu diễn số

phức z và điểm M’(a; –b) biểu diễn số phức z , là

hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox

7 Phép cộng và phép trừ hai số phức

a) Định nghĩa: Phép cộng và phép trừ hai số phức được

thực hiện theo quy

tắc cộng, trừ hai đa thức

- Tổng quát: (a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d)i

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

- Trong mặt phẳng Oxy, điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi và ta

cũng coi mỗi vectơ u=(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi

- Như vậy điểm M biểu diễn số phức z thì véctơOM

cũng biểu diễn số phức đó

- Nếu véctơ u ,v theo thứ tự biểu diễn số phức z, z’ thì:

u + v biểu diễn số phức z + z’

u- v biểu diễn số phức z - z’

a x0

xa

M

y

b 0

8 Phép nhân hai số phức

a) Định nghĩa: Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân hai

đa thức, sau đó thay i2= –1 vào kết quả nhận được

- Tổng quát: (a+bi).(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

9.Tổng và tích của hai số phức liên hợp

- Với z = a + bi, ta có z = a – bi

- Ta có: z + z = 2a, hay tổng của số phức và số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó

z z = a2 + b2 = z , hay tích của số phức và số phức liên hợp của

nó bằng bình phương môđun của số phức đó

Vậy tổng và tích của số phức và số phức liên hợp của nó là một số thực

11 Phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.

- Cho phương trình bậc hai: az2 + bz + c = 0, (a, b, c R , a ≠ 0¿

Nhận xét: Trong tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm

( không nhất thiết phân biệt)

1.Với i là đơn vị ảoi 2 1 Chứng minh rằng1 i i2 i3 i4 i52 2i

Dạng 2 : Phép cộng , phép trừ và hai số phức.

Phương pháp: Sử dụng các công thức

(a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d)i

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

(a+bi).(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

= ac + adi + bci – bd

= (ac – bd) + (ad + bc) i

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy

tắc cộng, trừ hai đa thức

Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân hai

đa thức, sau đó thay i2= –1 vào kết quả nhận được

Ví dụ Hãy thực hiện các phép tính sau:

Ví dụ 1 Cho hai số phức: z1  3 5  i; z2  3  i Tính

1 2

z z

3) Giả sử

1 2

z z

z  Ta có z1 z z 2 , suy ra z1 z z 2 hay z

1 2

z z



z i



 f) z 1 i2 Lời giải:

a) Ta có: z 2i b)Ta có: z  2 3i c) Ta có: z  3 4i

d) Cách 1: Ta có

5 1

i z i







2 2

i z i

z

i i



 

Dạng 5: Tìm các đại lượng trong số phức (phần thực,phần ảo,môđun).

Phương pháp: Cần nhớ

- Đối với số phức z= a+bi ,trong đó a,b là các số thực, i2= –1

Ta nói a là phần thực, b là phần ảo của số phức

- Môđun số phức z= a+bi là số thực không âm kí hiệu

z = a +b

.

Ví dụ 1

z và

1 2

z z

i z

i







Dạng 6: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Phương pháp :+ Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y là các số thực và

y x

-Khi đó điều kiện: z 1 z1 4  MF1 MF2  4 và F F 1 2 2

Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng 2 3

Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:

Tập hợp các điểm thỏa mãn MF2  MF1  8 với F F 1 2 10 là Hypebol có hai tiêuđiểm thuộc trục Ox, độ dài trục thực là 4 và trục ảo là 3.

Phương trình Hypebol trong mặt phẳng tọa độ Oxy là  

Bài 1: Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ

thỏa mãn điều kiện : Z Z 3 4

Bài 2: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z a ai a R  ,  b)

1

z i là số ảo

ĐS: a) Đường thẳng y = x b) Trục ảo Oy trừ (i)

Bài 3: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :

b) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện : 2  2 1

- Phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.

Cho phương trình bậc hai: az2 + bz + c = 0, (a, b, c R , a ≠ 0¿

Ta có Δ=b2− 4ac

2a

Khi Δ>0 , phương trình có hai nghiệm thực z1,2 = -b±2a √Δ

phức z1,2 = -b± i2a√¿Δ∨¿

¿

.Chú ý :

- Việc giải các phương trình có bậc lớn hơn 2 thường sử dụng phươngpháp phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ… để chuyển về dạng bậc hai

- Việc giải các,phương trìnhtrên tập số phức tương tự trên tập số thực

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau trên tập số phức

- Với z=0 thì phương trình (2) có dạng 4=0 (vô lí)

-Với z 0, chia cả hai vế của (2) cho z2 ta được

Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z2 2z 10 0 

Tính giá trị của biểu thức A =

Hướng dẫn tóm tắt :

Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 nên:

2 2

2 2

z z

a b a b

Giải phương trình sau (ẩn z): z2z  1 5i2

Lời giải: Giả sử z a bi  ; z2z  1 5i2

z z

 

(2)+ Giải (1)  z2 z  1 0

Bài 4 Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3

Bài 5 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z2 2z 17 0 

Bài 6 Giải phương trình:

Có khá nhiều bài toán khó khăn(thậm chí rất khó khăn) trong việc tìm tòilời giải, đặc biệt là lời giải một cách tự nhiên nhất lại được giải quyết một cáchđơn giản bằng ứng dụng của số phức.Muốn làm tốt các bài tập, cần chú ý khaitriển nhị thức Newtơn

CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực bằng 3 ; Phần ảo bằng -2

Bài 16. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:(2 3 ) i z (4 i z) (1 3 ) i 2 Xác

định phần thực và phần ảo của z.

CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực bằng -2 ; Phần ảobằng 5

Bài 17. Cho số phức z thỏa mãn 1 2 i z z2  4i 20.Tính môđun của z

CĐ Khối A,B,D – 2012 (CB) Đáp số: Điểm biểu diễn của z là

CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực bằng 3 ; Phần ảo bằng -1

Bài 20. a/Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 2 z  10 0  Tính

giá trị của biểu thức A  | z 1 |2  | z 2 |2.

phức z thoả mãn điều kiện |z (3 4 ) | 2 i  .

ĐH Khối D – 2009 Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – 4 ),

phức z thoả mãn điều kiện |z i | | (1 i z) |.

z i

i z



 

 ,Tính môđun của số phức 2

w 1 z z  

ĐH Khối A – 2012(NC) Đáp số: w  13

Bài 33. Cho số phức z thỏa mãn  

PHẦN III KẾT LUẬN

Đứng trước yêu cầu:

Hình thành kỹ nănggiải quyết bài tập số phức trong chương trình cơ bản Học sinh biết vận dụng kỹ năng, kỹ xảo trên làm công cụ giải quyết dạngtoán về số phức giúp các em có tâm thế tốt nhất, tự tin bước vào các kỳ thi và

“ghi điểm”

Qua một số năm giảng dạy về số phức tôi tự đúc rút ra một số kinh nghiệmthể hiện qua đề tài này và thực tế khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy cho cáclớp 12a6,12a8 trong năm học 2013-2014 Kết quả thu được là:95% các em nắmđược phương pháp giải các dạng toán về số phức trong các kỳ thi và có 90% các

em lấy được điểm tối đa ở câu số phức trong các đề thi tốt nghiệp ,cao đẳng.80%các em lấy được điểm tối đa ở câu số phức trong các đề thi đại học Số học sinhkhông lấy được điểm tối đa ở câu số phức trong các đề thi chủ yếu do kỹ năngtính toán chưa tốt,nhầm lẫn khi tính toán

Với hy vọng bạn đọc sẽ thuận lợi hơn trong việc tìm hiểu, làm quen cũngnhư sử dụng số phức để giải quyết các bài toán phổ thông, từ đó bạn đọc có điềukiện để rèn luyện tư duy và học môn toán tốt hơn Dù tài liệu học còn ít ỏi vàchưa được đa dạng, những khai thác trong đề tài có thể chưa thật đầy đủ và các

ví dụ minh họa có thể chưa thật đại diện cho một dạng toán nhưng với nổ lựccủa mình tôi hy vọng qua đề tài này phần nào đó có thể giúp bạn đọc cảm thấyyêu thích số phức đồng thời thu được nhiều điều bổ ích

Mặc dù đã có sự dầu tư cả về thời gian và công sức của bản thân trongsáng kiến kinh nghiệm,song do trình độ còn hạn chế kinh nghiệm chưa nhiều,nên đề tài mà tôi nghiên cứu vẫn còn hạn chế,chắc chắn không tránh khỏi nhữngsai sót, rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo chân thành từ các bạn đọc nóichung và đặc biệt là các bạn đồng nghiệp nói riêng để đề tài được hoàn thiệnhơn

Tôi Xin chân thành cám ơn!

Nguyễn Thị Thư

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên)

Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất

Giải Tích 12, NXB Giáo Dục Việt Nam – 2008

2.Phan Huy Khải – Nguyễn Ngọc Thắng – Phan Doãn Thoại

Nâng cao và phát triển Giải Tích 12, NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010

3.Đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học

4.Báo toán học và tuổi trẻ

5.Phân dạng và phương pháp giải toán số phức ( Lê Hoành Phò - NXB Đại họcquốc gia Hà Nội - xuất bản 2008)

Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cấp trường

Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cấp trên