Tài liệu Bài giảng tuyến tính pptx

Miền liên thông D là ñơn liên nếu D ñược giới hạn bởi 1 ñường cong kín Hình a; ña liên nếu ñược giới hạn bởi nhiều ñường cong kín rời nhau từng ñôi một Hình b.. Hàm số fx, y liên tục t

TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC Tài liệu tham khảo:

Chương 1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 ðịnh nghĩa

( , )x y ֏z= f x y( , )

duy nhất, ñược gọi là hàm số 2 biến x và y

• Tập D ñược gọi là MXð của hàm số và

f D = ∈z ℝz= f x y ∀ x y ∈D là miền giá trị

ℝ sao cho

f(M) có nghĩa, thường là tập liên thông (Tập liên thông D

là tồn tại ñường cong nối 2 ñiểm bất kỳ trong D nằm hoàn

toàn trong D)

ℝ sao cho

f(M) có nghĩa, thường là miền liên thông (nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 ñường nối M với N nằm hoàn toàn trong D thì D là liên thông-Hình a))

ñường cong kín D∂ (biên) hoặc không Miền liên thông D

là ñơn liên nếu D ñược giới hạn bởi 1 ñường cong kín (Hình

a); ña liên nếu ñược giới hạn bởi nhiều ñường cong kín rời

nhau từng ñôi một (Hình b)

Chú ý

• Khi cho hàm số f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hiểu

MXð D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa

• Hàm số n biến f(x1, x2,…, xn) ñược ñịnh nghĩa tương tự

VD 1

Hàm số z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác ñịnh trên 2

ℝ

VD 2 Hàm số z= f x y( , )= 4− −x2 y2 có MXð là hình tròn ñóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2

VD 3 Hàm số z= f x y( , )=ln(4−x2−y2) có MXð là hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2

VD 4 Hàm số z= f x y( , )=ln(2x+ −y 3) có MXð là nửa

mp mở biên d: 2x + y – 3 không chứa O(0; 0)

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục

• Dãy ñiểm Mn(xn; yn) dần ñến ñiểm M0(x0; y0) trong 2

ℝ ,

ký hiệu M n→M0 hay (x y n; n)→(x y0; 0), khi n→ +∞

• Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trong miền D (có thể không

dần ñến M0 thì lim ( n, n)

n

f x y L

Ký hiệu:

( , )lim( , ) ( , ) lim ( )

x y x y f x y M M f M L

Nhận xét

{f(xn, yn)} có hai giới hạn khác nhau thì

0

lim ( )

→

VD 5 Cho

2

2

( , )

3

f x y

xy

− −

=

+ , tính ( , )lim(1, 1) ( , )

VD 6 Cho

2 2

f x y

x y

= + , tính ( , )lim(0,0) ( , )

x y f x y

VD 7 Cho hàm số f x y( , ) 23xy 2

x y

=

Chứng tỏ

( , )lim(0,0) ( , )

x y f x y

liên tục tại M0 nếu tồn tại

0 0

( , )lim( , ) ( , )

x y x y f x y

0 0

0 0 ( , )lim( , ) ( , ) ( , )

x y x y f x y f x y

• Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi ñiểm

M thuộc D Hàm số f(x, y) liên tục trong miền ñóng giới nội

D thì ñạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D

VD 8 Xét tính liên tục của hàm số:

( , )

0, ( , ) (0, 0)

xy

x y

x y

f x y

x y



≠



+

=



Trang 2

§2 ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

2.1 ðạo hàm riêng

a) ðạo hàm riêng cấp 1

• Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trên D chứa M0(x0, y0) Nếu

hàm số 1 biến f(x, y0) (y0 là hằng số) có ñạo hàm tại x = x0

thì ta gọi ñạo hàm ñó là ñạo hàm riêng theo biến x của f(x,

y) tại (x0, y0)

Ký hiệu: f x y x( 0, 0) hay /

0 0

x

x

∂

0 0

0

( , ) lim

x

x

f x y

x

∆ →

=

• Tương tự ta có ñạo hàm riêng theo y tại (x0, y0) là:

( , ) lim

f x y

y

∆ →

+ ∆ −

=

VD 1 Tính các ñạo hàm riêng của z = x4 – 3x3y2 + 2y3 – 3xy tại (–1; 2)

VD 2 Tính các ñạo hàm riêng của f(x, y) = xy (x > 0)

VD 3 Tính các ñạo hàm riêng của z cosx

y

• Với hàm n biến ta có ñịnh nghĩa tương tự

VD 4 Tính các ñạo hàm riêng của f x y z( , , )=e x y2 sinz

b) ðạo hàm riêng cấp cao

• Các hàm số fx, fy có các ñạo hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y,

(fy)x ñược gọi là các ñạo hàm riêng cấp hai của f

2 / /

2

2 / /

2

 

y x y x

/ /

x y x y

 

VD 5 Tính các ñạo hàm riêng cấp hai của

3 y 2 3 4

z=x e +x y −y tại ( 1; 1)−

VD 6 Tính các ñạo hàm riêng cấp hai của f x y( , )=xe x2−y

• Các ñạo hàm riêng cấp hai của hàm n biến và ñạo hàm riêng cấp cao hơn ñược ñịnh nghĩa tương tự

ðịnh lý (Schwarz)

• Nếu hàm số f(x, y) có các ñạo hàm riêng fxy và fyx liên tục trong miền D thì fxy = fyx

2.2 Vi phân

a) Vi phân cấp 1

0( 0, 0)

M x y ∈D, M x( 0+ ∆x y, 0+ ∆ ∈y) D

Nếu số gia ∆f x( 0, )y0 = f x( 0+ ∆x y, 0+ ∆ −y) f x( 0, )y0 có

thể biểu diễn dưới dạng:

0 0

f x y A x B y α x β y

α β→ khi (∆ ∆ →x, y) (0, 0), ta nói f khả vi tại M0

• Biểu thức A x∆ + ∆B y ñược gọi là vi phân cấp 1 (toàn

phần) của f(x, y) tại M0(x0, y0) ứng với ∆ ∆x, y

Ký hiệu df(x0, y0)

• Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi (x, y) thuộc D

Nhận xét

• Nếu f(x, y) khả vi tại M0 thì f(x, y) liên tục tại M0

• Từ ∆f x( 0, )y0 = ∆ + ∆ + ∆ + ∆A x B y α x β y, ta suy ra:

f x + ∆x y − f x y = ∆ + ∆A x α x

0

lim

x

f x x y f x y

A x

∆ →

0

lim

y

f x y y f x y

B y

∆ →

( , ) x( , ) y( , )

( , ) x( , ) y( , )

df x y = f x y dx+ f x y dy

Tổng quát:

( , ) x( , ) y( , ) , ( , )

df x y = f x y dx+ f x y dy x y ∈D

VD 7

Tính vi phân cấp 1 của z=x e2 x y− +xy3−y5 tại (–1; 1)

VD 8 Tính vi phân cấp 1 của f x y( , )=e x2−ysin(xy2)

ðịnh lý

trong miền D chứa M0 thì f(x, y) khả vi tại M0

b) Vi phân cấp cao

• Vi phân cấp 2:

2

d f x y d df x y

f x y dx f x y dxdy f x y dy

=

• Vi phân cấp n:

0

n

k

d f x y d − df x y C f − x y dx dy −

=

VD 9 Tính vi phân cấp 2 của f x y( , )=x y2 3+xy2−3x y3 5

tại (2; –1)

VD 10 Tính vi phân cấp 2 của f x y( , )=ln(xy2)

c) Ứng dụng vi phân cấp 1 vào tính gần ñúng giá trị hàm

số

f x x y y

f x y f x y x f x y y

VD 11 Tính gần ñúng 1, 02

0, 97

arctg

2.3 ðạo hàm của hàm số hợp

• Cho hàm số f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là những hàm số của x Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả

vi của x thì df f u/.du f v/.dv

ñạo hàm toàn phần theo x

• Nếu hàm số f(x, y) khả vi của x, y và y = y(x) là hàm số

dx= + dx

2 , x, sin

dx

( , ) ln( ), sin

f x y = x +y y= x Tính df

dx

2.4 ðạo hàm của hàm số ẩn

• Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*)

Nếu y = y(x) là hàm số xác ñịnh trong 1 khoảng nào ñó sao

cho khi thế y(x) vào (*) ta ñược ñồng nhất thức thì y = y(x)

là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (*)

VD 14

Xác ñịnh hàm số ẩn y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0

• ðạo hàm hai vế (*) theo x, ta ñược:

/

/

( , )

( , )

x

y

F x y

F x y

VD 15 Cho xy− +e x e y=0 Tính y′

ln x y arctg y

x

• Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác ñịnh bởi F(x, y, z)) = 0, với /

( , , ) 0

z

F x y z ≠ ta có:

/ /

/

/ /

/

( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

x x

z

y y

z

F x y z F x y z z x y

F x y z

z x y

F x y z

F x y z F x y z z x y

F x y z

z x y

F x y z

VD 18 Cho xyz=cos(x+ +y z) Tính / /

,

z z

§3 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

3.1 ðịnh nghĩa

• Hàm số z = f(x, y) ñạt cực trị (ñịa phương) tại ñiểm

M0 thì hiệu f(M) – f(M0) có dấu không ñổi

• Nếu f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là cực tiểu và M0 là ñiểm

cực tiểu; f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là cực ñại và M0 là ñiểm

cực ñại Cực ñại và cực tiểu gọi chung là cực trị

VD 1 Hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy ñạt cực tiểu tại O(0; 0)

3.2 ðịnh lý

a) ðiều kiện cần

• Nếu hàm số z = f(x, y) ñạt cực trị tại M0(x0, y0) và tại ñó

hàm số có ñạo hàm riêng thì:

( , ) ( , ) 0

f x y = f x y =

Chú ý ðiểm M0 thỏa f x/(x y0, 0)= f y/(x y0, 0)=0 ñược gọi

là ñiểm dừng, có thể không là ñiểm cực trị của z

b) ðiều kiện ñủ Giả sử f(x, y) có ñiểm dừng là M0 và có

ñạo hàm riêng cấp hai tại lân cận ñiểm M0

A= f x y B= f x y C= f x y Khi ñó:

+ Nếu AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm số ñạt cực tiểu tại

ñiểm M0;

AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm M0

ñược gọi là ñiểm yên ngựa)

hay không (dùng ñịnh nghĩa ñể xét)

3.3 Cực trị tự do

Cho hàm số z = f(x, y) ðể tìm cực trị của f(x, y) trên MXð

D, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tìm ñiểm dừng M0(x0; y0) bằng cách giải hệ:

/

0 0 /

0 0

( , ) 0 ( , ) 0

x y

f x y

f x y





=

Bước 2 Tính 2

( , ), xy( , )

x

A= f x y B= f x y ,

2

0 0

( , )

y

C= f x y ⇒∆ =AC−B

Bước 3

+ Nếu ∆ > 0 và A > 0 thì kết luận hàm số ñạt cực tiểu tại

M0 và cực tiểu là f(M0);

+ Nếu ∆ > 0 và A < 0 thì kết luận hàm số ñạt cực ñại tại

M0 và cực ñại là f(M0)

+ Nếu ∆ < 0 thì kết luận hàm số không ñạt cực trị

chế loại này)

VD 2

Tìm ñiểm dừng của hàm số z = xy(1 – x – y)

VD 3

Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8

VD 4

Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy – 2

VD 5

Tìm cực trị của hàm số z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2

Trang 4

3.4 Cực trị có ñiều kiện

• Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên lân cận của ñiểm

M0(x0; y0) thuộc ñường cong ( , )ϕ x y =0 Nếu tại ñiểm M0

hàm số f(x, y) ñạt cực trị thì ta nói ñiểm M0 là ñiểm cực trị

của f(x, y) với ñiều kiện ( , )ϕ x y =0

• ðể tìm cực trị có ñiều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng

phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange

Phương pháp khử

Từ phương trình ( , )ϕ x y =0, ta rút x hoặc y thế vào f(x, y)

và tìm cực trị hàm 1 biến

VD 6 Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y

với ñiều kiện x + y + 3 = 0

VD 7 Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = xy với ñiều kiện:

2x + 3y – 5 = 0

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrange:

L x y λ = f x y +λϕ x y , λ là nhân tử Lagrange

Bước 2 Giải hệ:

'

'

'

0 0 0

x y

L L

Lλ

 =



= ⇒





=



ñiểm dừng M0(x0; y0) ứng với λ0

Bước 3

0 0

d L x y

L x y dx L x y dxdy L x y dy

ð iều kiện ràng buộc:

dϕ x y = ⇒ϕ x y dx+ϕ x y dy= (1)

và

(dx)2 + (dy)2 > 0 (2)

Bước 4

Từ ñiều kiện (1) và (2), ta có:

0 0

( , ) 0

d L x y > thì hàm số ñạt cực tiểu tại M0

0 0

( , ) 0

d L x y < thì hàm số ñạt cực ñại tại M0

0 0

( , ) 0

d L x y = thì ñiểm M0 không là ñiểm cực trị

VD 9

Tìm cực trị của hàm số z = 2x + y với ñiều kiện x2 + y2 = 5

VD 10

Tìm cực trị của hàm số z = xy với ñiều kiện

1

x y

Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI

§1 TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP)

1.1 Bài toán mở ñầu (thể tích khối trụ cong)

• Xét hàm số z = f(x, y) liên tục, không âm và một mặt trụ

có các ñường sinh song song Oz, ñáy là miền phẳng ñóng D

trong Oxy

ðể tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không

vậy khối trụ cong ñược chia thành n khối trụ nhỏ Trong

mỗi ∆Si ta lấy ñiểm Mi(xi; yi) tùy ý Ta có thể tích ∆Vi của

khối trụ nhỏ là:

1

n

i

=

Gọi d i =max{d A B A B( , ) , ∈∆S i} là ñườ ng kính của ∆S i

Ta có:

max 0 1

i

n

d i

1.2 ðịnh nghĩa

• Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên miền ñóng giới nội,

ño ñược D trong Oxy Chia miền D một cách tùy ý thành n

(i=1,2,…,n) Trong mỗi ∆Si ta lấy ñiểm Mi(xi; yi) tùy ý Khi

ñó

1

( , )

n

i

I f x y S

=

=∑ ∆ ñược gọi là tổng tích phân của hàm

f(x, y) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các ñiểm Mi)

Nếu

max 0

1

i

n

d

i

thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn ñiểm Mi thì số I

ñược gọi là tích phân bội hai của f(x, y) trên D

D

I =∫∫f x y dS

ðịnh lý Hàm f(x, y) liên tục trong miền bị chặn, ñóng D thì

khả tích trong D

• Nếu tồn tại tích phân, ta nói f(x, y) khả tích; f(x, y) là hàm dưới dấu tích phân; x, y là các biến tích phân

Chú ý

1) Nếu chia D bởi các ñường thẳng song song với các trục tọa ñộ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy

I =∫∫f x y dS=∫∫ f x y dxdy

f x y dxdy= f u v dudv

Nhận xét

D

dxdy=S D

2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì ( , )

D

f x y dxdy

tích hình trụ có các ñường sinh song song với Oz, hai ñáy

giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y)

1.3 Tính chất của tích phân kép

• Tính chất 1 Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả

tích trên D

• Tính chất 2 Tính tuyến tính:

[ ( , ) ( , )]

f x y ±g x y dxdy= fdxdy± gdxdy

kf x y dxdy=k f x y dxdy k∈

• Tính chất 3

bằng 0 thì:

f x y dxdy= f x y dxdy+ f x y dxdy

1.4 Phương pháp tính tích phân kép

1.4.1 ðưa về tích phân lặp

ðịnh lý (Fubini)

D

f x y dxdy

D= x y a≤ ≤x b y x ≤ ≤y y x và với mỗi

[ , ]

2

1

( )

( )

( , )

f x y dy

f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy

Tương tự, D={( , ) :x y x y1( )≤ ≤x x y2( ), c≤ ≤y d} thì:

f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx

Chú ý

1) Khi D={( , ) :x y a≤ ≤x b c, ≤ ≤y d} [ , ] [ , ]= a b × c d

(hình chữ nhật) thì:

f x y dxdy= dx f x y dy= dy f x y dx

(hoán vị cận)

2) D={( , ) :x y a≤ ≤x b y x, ( )1 ≤ ≤y y x2( )}và

f(x, y) = u(x).v(y) thì:

2

1

( )

( )

b

f x y dxdy= u x dx v y dy

Tương tự, D={( , ) :x y x y1( )≤ ≤x x y2( ), c≤ ≤y d} thì:

2

1

( )

( )

d

f x y dxdy= v y dy u x dx

3) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những

miền ñơn giản như trên

VD 1 Xác ñịnh cận ở tích phân lặp khi tính tích phân

( , )

D

I=∫∫f x y dxdy trong các trường hợp sau:

1) D giới hạn bởi các ñường y = 0, y = x và x = a

VD 2

Tính

D

I=∫∫xydxdy với D giới hạn bởi y = x – 4, y2 = 2x

ðổi thứ tự lấy tích phân

2

1

( )

( )

( , )

b

I =∫dx ∫ f x y dy

2

1

( )

( )

( , )

d

I=∫dy ∫ f x y dx

Trang 6

VD 3 ðổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:

1)

2

1 2

0

( , )

x

x

I dx f x y dy

−

2)

2

3

1 0

( , )

y

I=∫ ∫dy f x y dx;

3)

x

I=∫ ∫dx f x y dy+∫ ∫dx f x y dy

1.4.2 Phương pháp ñổi biến a) Công thức ñổi biến tổng quát ðịnh lý Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số có các

ñạo hàm riêng liên tục trên miền ñóng giới nội Duv trong mp Ouv Gọi D xy={( , ) :x y x=x u v y( , ), = y u v( , ), ( , )u v ∈D uv}

( , ) 0 ( , )

x y J

u v

∂

( , ) ( ( , ), ( , ))

f x y dxdy= f x u v y u v J dudv

Trong ñó:

/ /

/ / / /

/ /

( , ) ( , )

( , )

x y J

u v

x y

∂

∂

∂

VD 4 Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2)

hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v)

f x y

x y

=

biến hình Dxy = g(Duv)

VD 5 Cho miền Duv là phần tư hình tròn ñơn vị trong

g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv) Tính tích phân của hàm

2 2

1

( , )

f x y

x y

=

VD 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn Parapol:

y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2

b) ðổi biến trong tọa ñộ cực

sin

x r

y r

ϕ ϕ

=





=

Khi ñó, miền Dxy trở thành:

r

Dϕ = rϕ ϕ ϕ ϕ≤ ≤ r ϕ ≤ ≤r r ϕ

và

/ /

/ /

( , )

( , )

r r

x y

r

ϕ ϕ

ϕ

−

∂

Vậy ta có:

( )

( )

( , ) ( cos , sin )

( cos , sin )

r

r

ϕ

=

=

Chú ý

1) ðổi biến trong tọa ñộ cực thường dùng khi biên D là

ñường tròn hoặc elip

2) ðể tìm r1( ), ( )ϕ r2 ϕ ta thay cos

sin

x r

y r

ϕ ϕ

=





=

trình của biên D

3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O cắt biên D không quá 1 ñiểm thì:

( ) 2

r

r

D

ϕ

ϕ π

4) Nếu cực O nằm trên biên D thì:

2

1

( )

0

r

r

D

ϕ

ϕ

5) Nếu biên D là elip thì ñặt:

cos

{( , ) : 0 2 , 0 1}

x r a

ϕ

=





=

VD 7 Biểu diễn tích phân ( , )

D

f x y dxdy

Biết miền D là miền phẳng nằm ngoài (C1): (x – 1)2 + y2 = 1

và nằm trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4

VD 8 Tính diện tích hình ellip:

a +b ≤

VD 9 Tính tích phân (x2 y2)

D

x +y ≤R

VD 10 Tính diện tích miền D giới hạn bởi:

y = –x, x2+y2=3 x2+y2 −3x và y≥0

Công thức Walliss

( 1)!!

,

!!

( 1)!!

n

n n

n n n

π

−





−





leû chaün

.

MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

• Trong không gian Oxyz, mặt bậc hai là tập hợp tất cả các

ñiểm M(x; y; z) có tọa ñộ thỏa phương trình:

+ L = 0

Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñồng thời bằng 0

• Các dạng chính tắc của mặt bậc hai:

1) x2+y2+z2 =R2 (mặt cầu);

2)

3)

4)

5)

6)

x y

z

7)

x y

z

8)

x y

9)

x y

10) y2=2px (mặt trụ parabolic)

Trang 8

§2 TÍCH PHÂN BỘI BA

2.1 Bài toán mở ñầu (khối lượng vật thể)

• Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không ñồng

chất, biết mật ñộ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) là

( )P ( , , )x y z

mỗi ∆Vi ta lấy ñiểm Pi(xi; yi; zi) và ñường kính của ∆Vi là

di Khối lượng V xấp xỉ:

Nếu tồn tại

max 0

1

i

n

d

i

ρ

của vật thể V

2.2 ðịnh nghĩa

• Cho hàm số f(x, y, z) xác ñịnh trong miền ño ñược V của không gian Oxyz Chia miền V một cách tùy ý thành n phần

Trong mỗi ∆Vi ta lấy Pi(xi; yi; zi) tùy ý và lập tổng tích phân

1

n

i

=

Nếu

max 0 1

i

n

d i

I ñược gọi là tích phân bội ba của f(x, y, z) trên V

V

I =∫∫∫f x y z dV

ðịnh lý Hàm f(x, y, z) liên tục trong miền bị chặn, ñóng V

thì khả tích trong V

• Nếu tồn tại tích phân, ta nói f(x, y, z) khả tích; f(x, y, z) là

hàm dưới dấu tích phân; x, y, z là các biến tích phân

Nhận xét

1) Nếu chia V bởi các ñường thẳng song song với các trục

tọa ñộ thì ∆Vi = ∆xi.∆yi.∆zi hay dV = dxdydz

I=∫∫∫f x y z dV =∫∫∫f x y z dxdydz

V

I =∫∫∫f x y z dxdydz là khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất chiếm

thể tích V là f(x, y, z)

Nếu f(x, y, z) = 1 thì I là thể tích V

3) Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép

2.3 Phương pháp tính tích phân bội ba 2.3.1 ðưa về tích phân lặp

có ñường sinh song song với trục Oz Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy

Khi ñó:

2

1 2

1

( , )

( , ) ( , )

( , )

( , , )

f x y z dxdydz f x y z dz dxdy

dxdy f x y z dz

=

• Nếu D={( , ) :x y a≤ ≤x b y x, ( )1 ≤ ≤y y x2( )} thì:

( ) ( , )

( ) ( , )

b

f x y z dxdydz= dx dy f x y z dz

• Nếu D={( , ) :x y x y1( )≤ ≤x x y2( ), c≤ ≤y d} thì:

( ) ( , )

( ) ( , )

d

f x y z dxdydz= dy dx f x y z dz

b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy)

bởi hai mặt y = y2(x, z) và mặt y = y1(x, z), giới hạn xung

quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song Oy

Khi ñó:

2

1 2

1

( , )

( , ) ( , )

( , )

y x z

y x z

f x y z dxdydz f x y z dy dxdz

dxdz f x y z dy

=

• Nếu D={( , ) :x z a≤ ≤x b, z ( )1 x ≤ ≤z z x2( )} thì:

( ) ( , )

( ) ( , )

b

f x y z dxdydz= dx dz f x y z dy

• Nếu D={( , ) :x z x z1( )≤ ≤x x z2( ), e≤ ≤z f} thì:

( ) ( , )

( ) ( , )

f

f x y z dxdydz= dz dx f x y z dy

c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox)

bởi hai mặt x = x2(y, z) và mặt x = x1(y, z), giới hạn xung

quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song Ox

Khi ñó:

2

1 2

1

( , )

( , ) ( , )

( , )

( , , )

f x y z dxdydz f x y z dx dydz

dydz f x y z dx

=

• Nếu D={( , ) :y z c≤ ≤y d, z ( )1 y ≤ ≤z z y2( )} thì:

( ) ( , )

( ) ( , )

d

f x y z dxdydz= dy dz f x y z dx

• Nếu D={( , ) :y z y z1( )≤ ≤y y z2( ), e≤ ≤z f} thì:

( ) ( , )

( ) ( , )

f

f x y z dxdydz= dz dy f x y z dx

ðặ c biệt

[ , ] [ , ] [ , ]

a b c d e f

thì:

f

f x y z dxdydz= dx dy f x y z dz

VD 1 Tính tích phân 8

V

I=∫∫∫ xyzdxdydz với

V = [1, 2]×[–1, 3]×[0, 2]

VD 2 Tính tích phân lặp

2

(4 )

x

−

miền lấy tích phân V

VD 3 Tính tích phân

V

I=∫∫∫ydxdydz với V giới hạn bởi

x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa ñộ

2.3.2 ðổi biến tổng quát

• ðặt

( , , ) ( , , ) ( , , )

x x u v w

y y u v w

z z u v w

=





=



 =



và

( , , ) ( , , )

x x x

x y z

u v w

z z z

∂

Giả sử các hàm x, y, z có ñạo hàm riêng liên tục trong miền

ñóng, giới nội ño ñược Vuvw trong không gian Ouvw và 0

( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))

uvw V

V

f x y z dxdydz

f x u v w y u v w z u v w J dudvdw

=

∫∫∫

V

I=∫∫∫ x+ +y z dxdydz với

V − + + + − + + + − ≤x y z x y z x y z

VD 5 Tính thể tích của khối elipxoit

2

a +b +c ≤

2.3.3 ðổi biến trong tọa ñộ trụ

ðặt

cos

sin

x r

y r

z z

ϕ

ϕ

=





=



 =



, với

π ϕ π

Ta có:

( , , )

sin ( , , )

r r r

x x x

x y z

r

z z z

θ

ϕ θ

∂

Khi ñó ta có:

r z

f x y z dxdydz f r r z r drd dz

ϕ

=

VD 6 Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt

x +y = −z, x2+y2≥2 và z = 0

V

I =∫∫∫z x +y dxdydz với V là miền hình trụ giới hạn bởi: x2+y2 =2y, z = 0 và z = 1

VD 8 Tính tích phân ( 2 2 2)

V

I=∫∫∫ x +y +z dxdydz với V là miền hình nón giới hạn bởi các mặt: x2+y2=z2 và z = 1

2.3.3 ðổi biến trong tọa ñộ cầu

ðặt

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

θ ϕ

θ ϕ

θ

=





=



 =



, với

π ϕ π

Ta có:

( , , )

( , , )

x y z

r z

z z z

ϕ ϕ ϕ

ϕ

−

∂

Khi ñó ta có:

2

( , , )

r V

V

f x y z dxdydz

ϕθ

=

∫∫∫

Trang 10

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI

VD 9 Tính tích phân

1

V

x y z

=

miền giới hạn bởi các mặt cầu:

x2+y2+z2 =1 và x2+y2+z2=4

VD 10 Tính tích phân ( 2 2)

V

I=∫∫∫ x +y dxdydz với V là miền giới hạn bởi: x2+y2+ ≤z2 4 và z≥0

3.1 Diện tích, thể tích

(xem nhận xét tích phân bội hai, ba)

3.2 Giá trị trung bình của hàm số trên miền ñóng

• Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền ñóng D là:

1 ( , ) ( ) D

S D

VD 1 Tính giá trị trung bình của f(x, y) = xcosxy trong

hình chữ nhật 0≤ ≤x π, 0≤ ≤y 1

là: 1

( , , ) ( )

=

VD 2 Tính giá trị trung bình của f(x, y, z) = xyz trong hình

lập phương [0, 2]×[0, 2]×[0, 2]

3.3 Khối lượng

• Cho một bản phẳng chiếm miền D ñóng trong Oxy có khối

lượng riêng (mật ñộ khối lượng) tại ñiểm M(x, y) thuộc D là

hàm ( , )ρ x y liên tục trên D Khối lượng của bản phẳng là:

( , )

D

m=∫∫ρ x y dxdy

• Cho một vật thể chiếm miền V ñóng trong Oxyz có khối

lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) thuộc V là hàm ( , , )ρ x y z

liên tục trên V Khối lượng của vật thể là:

( , , )

V

m=∫∫∫ρ x y z dxdydz

VD 3 Tính khối lượng bản phẳng chiếm miền D giới hạn

4

hàm ( , )ρ x y =xy

3.4 Momen tĩnh ðịnh nghĩa

• Momen tĩnh của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại

ñiểm M(x, y) trong Oxy ñối với trục Ox, Oy theo thứ tự là:

My=0 = my, Mx=0 = mx

• Momen tĩnh của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại

ñiểm M(x, y, z) trong Oxyz ñối với các mặt phẳng tọa ñộ

Oxy, Oyz, Oxz theo thứ tự là:

Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my

Công thức tính

• Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy

có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm ( , )ρ x y liên tục trên D là:

M = =∫∫yρ x y dxdy M = =∫∫xρ x y dxdy

• Momen tĩnh của vật thể chiếm miền V trong Oxyz có khối

lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) là hàm ( , , )ρ x y z liên tục

trên V là:

0

0

0

( , , ) ,

z V x V

y V

x x y z dxdydz

y x y z dxdydz

ρ ρ ρ

=

=

=

=

=

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

3.5 Trọng tâm

• Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm ( , )ρ x y liên tục trên D Khi

ñó, tọa ñộ trọng tâm G của bản phẳng là:

( , )

1 ( , ) , ( , )

( , )

1

( , )

D G

D D

D G

D D

x x y dxdy

m

x y dxdy

y x y dxdy

y x y dxdy m

x y dxdy

ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

Khi bản phẳng ñồng chất thì ( , )ρ x y là hằng số nên:

, y

• Cho vật thể chiếm thể tích V trong Oxyz có khối lượng

riêng tại ñiểm M(x, y, z) là hàm ( , , )ρ x y z liên tục trên V

Khi ñó, tọa ñộ trọng tâm G của vật thể là:

1

( , , ) , 1

1

( , , )

G V

G V

G

V

m

y x y z dxdydz m

m

ρ ρ ρ

=

=

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

Khi vật thể ñồng chất thì ( , , )ρ x y z là hằng số nên:

1

, 1

1

G V

G V

G V

V ydxdydz V

zdxdydz V

=

=

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

VD 4 Tìm tọa ñộ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi

VD 5 Tìm tọa ñộ trọng tâm của vật thể ñồng chất chiếm thể

tích V giới hạn bởi mặt nón z2=x2+y2, z≥0 và mặt cầu

1

x +y +z =