ON TAP HINH HOC KY II

Các đường cao AN và BM cắt nhau tại H và cắt đường tròn O lần lượt tại D và E a Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.. // DE vì có cặp góc đồng [r]

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AN và BM cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E

a) Chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này b) Chứng minh: CD = CE

c) Chứng minh: MN // DE

a) Ta có: AMB ANB 900 (gt)

Vì hai điểm M và N cùng nhìn đoạn AB dưới góc 900, nên tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn đường kính AB, tâm của đường tròn này là trung điểm I của AB

b) Có: DAC    EBC (2 góc cùng phụ với ACB)

d D d

s C s CE

  (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)  CD = CE

c) Có BMN BAN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN của (I))

 D  D

BA BE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O))

Suy ra : BMN  DBE  MN // DE (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Bài 2: Cho đường tròn (O, R) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên cung AC lấy điểm E sao cho AOE 60o; ED cắt AB tại I

a) Chứng minh tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn

b) Kẻ AH và BK vuông góc với CE Chứng minh AH KE = BK HE

c) Tính theo R diện tích hình quạt EOBC

a) Xét tứ giác EIOC có IOC  90o (gt); DEC  90o( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) =>

 90o

IEC  , do đó IOC IEC 90o 90o 180o

Vậy tứ giác EIOC nội tiếp đường tròn

b) Ta có AB  CD (gt) => D là điểm chính giữa của ADB

nên AED BED 45o=>HEA45 ;o KEB45o(góc nhội tiếp chắn BC)

Xét hai tam giác vuông AHE và BKE có: H K 90o;HEA KEB  45o => AHEBKE

=>

AH HE

BK KE hay AH KE = BK HE

c) SđAEAOE60o

SđBCE 180o sd AE 180o 60o 120o

Diện tích hình quạt EOBC là:

S =

2.120 2

360 3

o o

 (đvdt)

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Các đường cao AH và

BK của tam giác cắt đường tròn tại D và E, AH cắt BK tại I

a) Chứng minh các tứ giác KIHC và AKHB nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh tam giác IBD cân

c) Chứng minh BIC = BDC từ đó suy ra độ dài đường tròn ngoại tiếp BIC theo R d) Chứng minh CO  HK

a) Tứ giác KIHC có IKC= IHC = 900 (gt)

 IKC+ IHC = 900 + 900 = 1800

Vậy tứ giác KIHC nội tiếp đường tròn đường kính IC

Tứ giác AKHB có AKB= AHB = 900 (gt)

 hai đỉnh H và K cùng nhìn AB dưới một góc vuông

Vậy tứ giác AKHB nội tiếp đường tròn đường kính AB

b) ADB = ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

BID = ACB ( cùng bù HIK) ADB = BID Vậy IBD cân tại B

c) Xét BIC vàBDC có

BC chung

IBD cân có BC là đường cao nên cũng là đường phân giác IBC = DBC

IB = BD (vì IBD cân tại B)

Vậy BIC = BDC (c.g.c)

Do đó đường tròn ngoại tiếp hai BIC và BDC đều bằng nhau

Mà độ dài đường tròn ngoại tiếp BDC bằng 2 R

nên độ dài đường tròn ngoại tiếpBIC bằng 2R

Bài 4: Từ 1 điểm A bên ngoài (O; R), vẽ tiếp tuyến AB (với B là tiếp điểm) và cát tuyến AMN đến đường tròn (O) (với M nằm giữa A, N) Gọi I là trung điểm của MN

a Chứng minh tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn

b Tia phân giác của MBN cắt MN tại D, cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh AB = AD

c Cho BNM  300 Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung BM và dây BM

d Cho BOM 900 Tính thể tích hình nón được tạo thành khi quay BOM xung quanh cạnh OB

a C/m: Tứ giác ABOI nội tiếp:

NI = IM (gt)





 

0

0

0

90

90 ( )

180

OIA

OBA gt

OIA OBA



 tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính OA

b C/m: AB = AD

 











1

1

( )

2 2   ABD c©n t¹i A AB = AD

2

NBK KBM gt NK KM

sñBM sñNK sñBK

D

D KBA sñBK

KBA

c Gọi S là diện tích hình viên phân cần tìm



0 0

2.30 60

6

360 360

hqOBM OBM

hqOBM

sñBM

OB n R n R



1 O

A B

M

D I

K N

BOM đều do OB = OM = R và BOM  600

2 2

2 2 2

3 2 3 3

6 4 12

OBM

vp



d Thể tích hình nón:

1 1 . 1 .

V  R h R R R

(đvdt)

Bài 5: Cho đường tròn (O; R), đường kính BC A là điểm bên ngoài đường tròn sao cho AB,

AC cắt đường tròn (O) tại D, E (B, D, E, C cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC) a/ Chứng minh AD.AB = AE.AC

b/ Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt đường thẳng OA tại I (I khác A ), DE cắt AI tại F Chứng minh tứ giác IFEC nội tiếp được đường tròn

c/ Trong trường hợp ABC đều, tính diện tích hình quạt ODEC theo R

F

I O

E D

A

C B

a) Ta có ACD  ABE (Achung,

ABE ACD sd DE

2

)

AD AC

AD.AB AE.AC

AE AB

b) Ta có CIF CBA  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

CBA DEA (tứ giác BDEC nội tiếp, DEA là góc ngoài)

Suy ra CIF DEA 

Nên tứ giác IFEC nội tiếp

c) ABC đều  ABC 60  0

nên sđDEC 2ABC 120 (ABC    0  là góc nội tiếp)

Diện tích hình quạt DOCE :

R n R 120 R

S

360 360 3

(đvdt)