Thầy đỗ văn đức tổng ôn góc và khoảng cách

Cho hình chóp đều có góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Kí hiệu S S lần lượt là diện tích 1, 2 đáy, diện tích xung quanh của hình chóp.. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các

1 Cho hai tứ diện ABCD và AB C D   Hai tứ diện đó có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

A Hai tam giác BCD và B C D   có cùng trọng tâm

B Hai tam giác BCD và B C D   có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp

C Hai tam giác BCD và B C D   có cùng tâm đường tròn nội tiếp

D Hai tam giác BCD và B C D   có cùng trực tâm

2 Với hai mặt phẳng  P và mặt phẳng  Q thì

A Góc giữa  P và  Q là góc nhọn

B Góc giữa  P và  Q bằng góc giữa  P và  R nên    Q // R hay  Q trùng với  R

C Góc giữa  P và  Q bằng góc giữa  P và  R thì    Q // R

D Góc giữa  P và  Q thuộc 0 ;180  

3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SA SC SB SD ;  Gọi d và d lần lượt

là giao tuyến của các cặp mặt phẳng SAB và  SCD ; SAD và  SBC Gọi O là giao điểm của 

AC và BD Tính góc giữa SO và mp d d  ; 

A 30  B 45  C 60  D 90 

4 Cho tứ diện ABCD có CD 2, các cạnh còn lại bằng 1 Tính góc giữa hai đường thẳng AC và

BD

A 30  B 45  C 60  D 90 

5 Cho hình chóp đều có góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng 60  Kí hiệu S S lần lượt là diện tích 1, 2 đáy, diện tích xung quanh của hình chóp Khi đó:

A 2

1

2

S

1

2

S

1

1

S

1

1 2

S

S 

6 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có các cạnh đáy bằng 1 Góc giữa mỗi mặt phẳng chứa mặt bên

và mặt đáy là  mà tan 2 Khi đó:

A Hình chóp có tất cả các cạnh bằng 1

B Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 

C Chiều cao của hình chóp bằng 2

D Khoảng cách từ đỉnh A đến SC bằng 3

7 Cho tứ diện OABC có OA OB OC  1,AOB 60 ,BOC 90 ,COA120  Tính góc giữa

ABC và  OBC 

A 60  B 45  C 30  D 90 

8 Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC cân tại B AB,  góc ở đáy bằng 30 ,1,  SAABC,

3

2

SA Tính góc giữa mp SBC và   mp ABC  

A 30  B 45  C 60  D 90 

9 Cho lăng trụ đều ABC A B C    có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2 Gọi C là trung điểm của 1 CC Tính cô-sin góc  giữa hai đường thẳng BC và A B1  

A cos 2

4

 B cos 2

6

  C cos 2

8

 D cos 1

3



10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, ABC120 , SCABC, 6

2

SC Tính góc giữa hai mặt phẳng SAD và  SAB 

A 30  B 45  C 60  D 90 

11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật mà AB 2AD SA, ABC Gọi M là trung điểm của AB Tính góc giữa SAC và  SDM 

A 90  B 45  C 60  D 30 

12 Cho tứ diện OABC có  90 ,AOB    60 ,AOC BOC   OC1,OA OB  Tính cos2  với góc 

là góc giữa hai mặt phẳng OAC và  OBC 

A cos 1

3

  B cos 1

3

  C cos 1

6

 D cos 1

6



13 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng 1 Gọi  P là mặt phẳng đi qua trung điểm A 1 của AB và vuông góc với AC Biết  P cắt hình lập phương theo thiết diện là hình  H Diện tích của  H là

3

3 8

14 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, SAB  ABC SAB là tam giác cân tại ,S cạnh bên SC tạo với đáy góc  thỏa mãn tan Tính độ dài đường cao của hình chóp 2

đó

A 5

5

5

15 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình chữ nhật, BC1, AB2,SAB là tam giác cân tại ,S

3,

SA SAB  ABC Tính d SB AD  , 

A 4 2

2 2.

2.

5 2. 3

16 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, SAB  ABC, SAB là tam giác cân tại ,S góc giữa SC và mp ABC bằng 30    Tính d B SCD  ;  

A 85

85

85

2 85 17

17 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, BAD120 , SAABCD, góc giữa

SC và ABC bằng 45   Tính d BD SC  ; 

2

2 6

18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a BC , 2 ,a SAABCD và SA a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

A 6

2

a

B 2 3

a

C 2

a

D 3 a

19 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng 1 Gọi I là giao điểm của A C  và B D  Tính

d I A BD

A 3

2 3

4 3 3

20 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, ABC120 , 3,

2

SA SC  SB SD Tính d A SCD  ;  

6.

6. 4

21 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có cạnh cùng bằng 1 Gọi A B lần lượt là trung điểm của 1, 1 AA và

BB Tính d B A CB  1, 1

A 3

3.

22 Cho hình chóp S ABCD có SD 2, các cạnh còn lại đều bằng 1 Tính độ dài đường cao của hình chóp

6. 3

23 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi I là tâm của hình vuông A B C D    và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI mà 1

2

OM  MI Khi đó cô-sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D  và 

MAB bằng 

A 6 13

7 85.

6 85.

17 13. 65

24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB1,BC các cạnh bên cùng bằng 2,

2 Gọi ,E F lần lượt là trung điểm của BC AD, và I là trung điểm của AB Tính d EF SI  , 

A 21

21

21

2 21 3

25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, A  60 , SA SC SB SD ,  , đường cao của hình chóp bằng 1 Tính d AB SM với M là trung điểm của  ,  CD

A 2 57

57

57

57 6

26 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, hình chiếu của A lên

mp A B C   là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C   góc giữa , mp AB C   và mặt đáy của lăng 

trụ bằng 60  Tính d AA B C    , 

A 2 7

3 7

7

2 7 14

27 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có các kích thước bằng 1, 2, 3 Tính d C ,A BD  

A 2

4

8

12 7

28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, SAABCD và SA Tính 1 khoảng cách từ trọng tâm G của SAB đến mp SCD  

2 2

2 6

29 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có cạnh đáy bằng 1 Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,

BC A C  Tính d MN AB  , 

A 3 3

3

3

30 Cho tứ diện ABCD có CD 2, các cạnh còn lại bằng 1 Gọi M N lần lượt là trung điểm của AD ,

và BC Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A 3

2 3

3

2 2 3

31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1,  120 , ABC  SCABC, 6

2

SC Tính cô-sin góc giữa hai mặt phẳng SAD và  SBC 

A 2

2

3

6 3

ĐÁP ÁN – TỔNG ÔN 07 – GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

31D

Câu 16

16 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, SAB  ABC, SAB là tam giác cân tại ,S góc giữa SC và mp ABC bằng 30    Tính d B SCD  ;  

A 85

85

85

2 85 17 Chọn B

Gọi H là hình chiếu của S xuống AB Vì SAB  cân tại SSH AB

Vì SAB  ABCSH ABCD Do đó góc giữa SC và mp ABC bằng  30   SCH  

Vì BH//SCD d B SCD ,   d H SCD ,   2xy 2 ,

 với

15

; 6

x y d H CD  ,  1

Do đó     85

17

d B SCD 

Câu 17

17 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, BAD120 , SAABCD, góc giữa

SC và ABC bằng 45   Tính d BD SC  ; 

2

2 6 Chọn C

Dễ thấy BDSAC Kẻ OH SC AK; SC H K SC ,  

Ta có OH là đường vuông góc chung của BD và SC và theo định lý Talet: ,

AS AC

SC

Câu 18

18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a BC , 2 ,a SAABCD và SA a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

A 6

2

a

B 2 3

a

C 2

a

D 3 a Chọn B

Kẻ tia Bx AC// SBx chứa SB và song song với AC Do đó d AC SB , d A SBx ,  

Việc tìm d A SBx là tìm khoảng cách từ chân đường vuông góc tới mặt bên, ta có  ,  

 ,  2xy 2 ,

d A SBx



5

x SA  y d A Bx d B AC  suy ra  ,   2.

3

d A SBx  Câu 19

19 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng 1 Gọi I là giao điểm của A C  và B D  Tính

d I A BD

A 3

2 3

4 3 3 Chọn A

Gọi J là tâm của hình vuông ABCD Tứ giác AJIA là hình chữ nhật nên AI cắt A J  tại trung điểm của mỗi đường Do đó d I A BD ,   d A A BD ,   

Tứ diện ABDA là tứ diện vuông có các cạnh ABAD AA nên 1

2

3

 Câu 20

20 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, ABC120 , 3,

2

SA SC  SB SD Tính d A SCD  ;  

6

6 4 Chọn C

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD Ta có d A SCD ,  2d O SCD ,  

Từ giả thiết SA SC SOAC SB SD;  SOBD, do đó SOABCD

SO SC OC   

Xét tứ diện OSCD là tứ diện vuông tại ,O nên

2

6

Do đó  ,   6.

3

d A SCD 

Câu 21

21 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có cạnh cùng bằng 1 Gọi A B lần lượt là trung điểm của 1, 1 AA và

BB Tính d B A CB  1, 1

A 3.

3.

Chọn A

Từ giả thiết, dễ thấy A B1 //AB1A B1 //ACB1

Do đó d B A CB  1, 1d B ACB , 1 d B ACB , 1 

Việc tìm d B ACB , 1  là tìm khoảng cách từ chân đường vuông góc (hạ từ B xuống mặt bên 1

ACB ) nên 1 d B ACB , 1  2xy 2 ,



x BB  y d B AC  suy ra 3

4

d  Câu 22

22 Cho hình chóp S ABCD có SD 2, các cạnh còn lại đều bằng 1 Tính độ dài đường cao của hình chóp

6 3 Chọn D

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD Gọi M là trung điểm của SD

Dễ thấy ACSBD (do ACSO và AC BD) nên SBD  ABCD, do đó

d S ABCD d S BD

Ta có SAD vuông cân tại AAM SD Lại có ACSDSDAMCSDMO

Mà MO là đường trung bình của SBDMO SB// Do đó SDSB

Vậy SBD vuông tại ,S có 1; 2 12 12 12 1 1 3

Câu 23

23 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi I là tâm của hình vuông A B C D    và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI mà 1

2

OM  MI Khi đó cô-sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D  và 

MAB bằng 

A 6 13

7 85.

6 85.

17 13. 65 Chọn D

Gọi J là tâm của hình vuông ABCD Gọi E F lần lượt là trung điểm của , AB và C D 

Hiển nhiên AB C D//   mà , ME AB g MAB   , MC D  g ME MF , 

 Không mất tính tổng quát, giả sử MO 1 MI2,MJ4,JE3;IF  3

Từ đó ta có ME MJ2JE2 5;MF  MI2IF2  13;EF6 2

Áp dụng định lý cos cho MEF: cos 2 2 2 17 13.

EMF

ME MF

Bài tập tương tự

Bài toán: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi I là tâm của hình vuông A B C D   

và M là trung điểm của OI Khi đó cô-sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D  và  MAB bằng 

A 6 13

7 85.

6 85.

7 65. 65 Chọn D

Gọi J là tâm của hình vuông ABCD Gọi E F lần lượt là trung điểm của , AB và C D 

Hiển nhiên AB C D//   mà , ME AB g MAB   , MC D  g ME MF , 

 Không mất tính tổng quát, giả sử MIMO từ đó dễ dàng tính được 1, ME OJ2JE2  13;

MF  MI IF  và EF4 2 nên áp dụng định lý cos trong MEF:

EMF

Câu 24

24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB1,BC các cạnh bên cùng bằng 2,

2 Gọi ,E F lần lượt là trung điểm của BC AD, và I là trung điểm của AB Tính d EF SI  , 

A 21

21

21

2 21 3 Chọn B

Gọi O là giao điểm của AC và BD vì , SA SB SC SD   SOABCD

SO SD OD   

7







Câu 25

25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, A  60 , SA SC SB SD ,  , đường cao của hình chóp bằng 1 Tính d AB SM với M là trung điểm của  ,  CD

A 2 57

57

57

57 6 Chọn A

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD Từ giả thiết SA SC SOAC SB SD;  SOBD

Do đó SOABCD

Tứ diện OSCD là tứ diện vuông tại ,O có 3; 1

OC OD nên

2

3

19

d O SCD

19

d AB SM

Câu 26

26 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, hình chiếu của A lên

mp A B C   là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C   góc giữa , mp AB C   và mặt đáy của lăng 

trụ bằng 60  Tính d AA B C    , 

A 2 7

3 7.

7.

2 7. 14 Chọn B

Gọi M là trung điểm của B C  ta có , B C A M B C AA M

B C AO

  

   

MH là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng AA và B C  Kẻ OK  AA K AA

Dễ thấy g AB C    , A B C     AMO  mà 60 , 3 1

Ta có

7

OA OA OK





Câu 27

27 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có các kích thước bằng 1, 2, 3 Tính d C ,A BD  

A 2

4.

8.

12. 7 Chọn D

Gọi O là giao điểm của AC và BD I là giao điểm của A O,  và AC

Ta có C I A C 2 d C ;A BD  2d A A BD ;  

Vì tứ diện AA BD là tứ diện vuông nên

2



 Suy ra  ;   12.

7

d C A BD 

Câu 28

28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, SAABCD và SA Tính 1 khoảng cách từ trọng tâm G của SAB đến mp SCD  

A 2 B 2.

2 2.

2. 6 Chọn B

Gọi M là trung điểm của AB ta có ,  ;    ;   2  ;  

3

GS

MS

Mà AM CD nên // d M SCD ;   d A SCD ;   2xy 2 ,

 với

x SA

d A SCD

y d A CD



Câu 29

29 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có cạnh đáy bằng 1 Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,

BC A C  Tính d MN AB  , 

A 3 3

3

3

Chọn C

Gọi P là trung điểm của A B  Từ giả thiết ta có //1 //

2

NP BM

 



hình bình hành, do đó MN BP// MN//ABB A 

d MN AB d M ABB A   d C ABB A   d C AB  

Câu 30

30 Cho tứ diện ABCD có CD 2, các cạnh còn lại bằng 1 Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AD

và BC Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A 3

2 3.

3.

2 2. 3 Chọn A

Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của CA và CD

Ta có: AC AD CD AQ CD ABQ CD AB



Dễ thấy

//

MP CD







//

NP AB





 (Đường trung bình)

Câu 31

31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, ABC120 , SCABC, 6

2

SC Tính cô-sin góc giữa hai mặt phẳng SAD và  SBC 

A 2

2

3

6 3 Chọn D

Gọi  là giao tuyến của SAD và  SBC Vì  AD BC//  //AD

Gọi góc giữa hai mặt phẳng SAD và  SBC là ,  ta có:

; sin

;

d C SAD

d C

 

 (kĩ năng tìm góc qua khoảng cách)

Lại có d C SAD ;   2xy 2



6 2

3

;

2

x SC

y d C AD









(tìm khoảng cách từ chân đường vuông

góc tới mặt bên), nên  ;   2

2

2

d C  CS

d C SAD

d C

