Tài liệu dao dong tu doeu hoa pdf

LỜI CAM ĐOANKhoỏ luận này là kết quả lao động của bản thõn tôi trong quỏ trỡnh học tập và nghiờn cứu.. PHẦN MỞ ĐẦUVật lý cổ điển là một mụn khoa học xõy dựng trờn việc đỳc kết cỏc kết qu

LỜI CẢM ƠN

Nghiờn cứu khoa học là một chủ đề hấp dẫn nhiều người quan tõm, đặc biệt là với sinh viờn năm cuối Vỡ thụng qua quỏ trỡnh tự nghiờn cứu, chỳng tôi

cú thể hiểu rõ hơn về bộ môn, nâng cao đợc nhận thức về bức tranh vật lý và

b-ớc đầu tập nghiên cứu khoa học mở rộng và nõng cao tầm nhỡn, tầm hiểu biết của mỡnh

Trong suốt quỏ trỡnh nghiờn cứu và hoàn thành khoỏ luận này, tụi đó nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn và giỳp đỡ hết sức tận tỡnh của thầy giỏo-tiến sĩ Trần Thỏi Hoa Bờn cạnh đú tụi cũng đó nhận được sự gúp ý chõn thành của cỏc thầy cụ giỏo trong khoa vật lý núi chung và cỏc thầy cụ giỏo trong tổ vật lý lý thuyết núi riờng Tụi xin bày tỏ lũng biết ơn sõu sắc tới cỏc thầy cụ giỏo đó giỳp đỡ tụi bước đầu làm quen với việc nghiờn cứu khoa học, chắc chắn điều đú sẽ rất bổ ớch cho tụi trờn con đường học tập và cụng tỏc sau này

Xuân Ho , tháng 6 n à ăm 2009

Ngời thực hiện:

NguyễnThị Nga

LỜI CAM ĐOAN

Khoỏ luận này là kết quả lao động của bản thõn tôi trong quỏ trỡnh học tập và nghiờn cứu Bờn cạnh đú tôi được sự quan tõm tạo điều kiện của thầy giỏo, cụ giỏo trong khoa vật lý đặc biệt là sự hướng dẫn của thầy giỏo - Tiến

PHẦN MỞ ĐẦU

Vật lý cổ điển là một mụn khoa học xõy dựng trờn việc đỳc kết cỏc kết quả thực nghiệm, khi nghiờn cứu cỏc hiện tượng vật lý xảy ra đối với hệ cỏc nguyờn tử; tức là nghiờn cứu cỏc tớnh chất, sự tương tỏc và dịch chuyển của cỏc hệ vĩ mụ trong khụng gian

Cơ học lượng tử là một trong những phần cơ bản của vật lý lý thuyết Nú

l môn khoa họcà giỳp con người tỡm hiểu và chinh phục thế giới vi mụ

Dựa trờn tớnh chất lưỡng tớnh súng hạt của vật chất cỏc nhà vật lý như: Schrodinger, Dirac, Heisenberg,… đó nghiờn cứu và giải thớch tớnh chất, hiện tượng xảy ra trong khụng gian các hạt có kích thớc nhỏ cỡ nguyên tử

(10−13 −10 cm−6 ) Đối tượng chủ yếu của cơ học lượng tử là cỏc nguyờn tử, phõn tử và cỏc hạt cơ bản Cụng cụ toỏn học của cơ học lượng tử phần lớn là cỏc toỏn tử tỏc động trong khụng gian Hilbert Sự ra đời của thuyết lượng tử

đó làm thay đổi tư duy con người về cỏc hiện tượng và quỏ trỡnh vật lý trong thế giới cỏc hạt cơ bản và nguyờn tử, phõn tử

Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần nghiờn cứu trong cơ học lợng tử Một trong số vấn đề có tính chất kinh điển là bài toán dao động tử điều hoà Để giải quyết vấn đề tìm năng lợng và trạng thái của dao động tử điều hoà, ta cần giải phơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà với thế năng điều hoà Bài toán này có một số tính chất cần quan tâm Chính vì vậy đề tài của tôi có tên là:

II Mục đớch nghiờn cứu

Giải bài toán về dao động tử điều hoà

Trên cơ sở ấy rốn được kĩ năng giải phương trỡnh Schrodinger, biết kết hợp cỏc công cụ toỏn học vào giải cỏc bài toỏn

III Nhiệm vụ nghiờn cứu

Giới thiệu, lập phương trỡnh Schrodinger cho dao dộng tử điều hoà

Dựa vào các đòi hỏi của hàm sóng và đòi hỏi của phơng trình Schrodinger

để giải bài toán về dao động tử điều hoà

Giới thiệu một số dạng bài toỏn cơ bản về dao động tử điều hoà và cỏch giải

IV Đối tợng nghiên cứu

Dao động tử điều hoà và các hệ điều hoà trong cơ học lợng tử

PHẦN NỘI DUNG

I Lý thuyết cơ bản về dao động tử điều hoà

I.1 Cỏc kiến thức cơ bản

I.1.1 Phương trỡnh Schrodinger tổng quỏt

Trong quá trình giải bài tập cơ học lợng tử phi tơng đối tính cần giải

ph-ơng trình Schrodinger Tuỳ thuộc điều kiện từng bài toán khác nhau mà nghiệm phơng trình Schrodinger có dạng khác nhau Nh vậy khi nghiên cứu chuyển

động của hạt hoặc hệ hạt trong trờng thế nào đó ta sẽ biết đợc năng lợng ( )E và hàm sóng ( )ψ tơng ứng ở những trạng thái khác nhau Khi xác định đợc năng l-ợng và hàm sóng của hạt ở trạng thái nào đó ta có thể tính toán đợc các yếu tố ứng với phép đo đại lợng F nào đó của hệ lợng tử nh mật độ xác suất, xác suất, trị trung bình,…

Đối với hạt chuyển động trong trờng lực tổng quát Wˆ , có năng lợng biến

đổi theo thời gian thì phơng trình Schrodinger tổng quát có dạng:

( ) ∑∞ ( )

=

− ψ

=

ψ

0 n

t E i n

n

e z , y , x t

, z , y ,

U

! n

1

x x

U 2

1 x x

U U x

n

n 2

∂

∂ +

∂

∂ +

I.2 Thiết lập phương trình Schrodinger của dao động tử điều hoà.

Giả sử xét mét hạt có khối lượng m, chuyển động theo trôc ox quanh vị trí cân bằng dưới tác dụng của lực đàn hồi

x

F = −kxMà: F= − gradU ⇔

(với k

m

ω = : là tần số gúc của dao động) Nhìn vào phơng trình (3) ta thấy

hạt chuyển động trong trờng thế m 2 x 2

2

m x m 2

0 x 2

x m E m 2 x ''

n n n

2 2 2

2 2

2 2

2

ψ

= ψ







 − ω +

ψ : là nghiệm ứng với mức năng lượng E n

I.3 Giải phương trỡnh của dao động tử điều hoà

Trong cơ học cổ điển ngời ta thấy rằng phổ năng lượng của dao động tử điều hũa cú thể nhận cỏc giỏ trị liờn tục Vậy kết luận này trong cơ học lượng

tử cú cũn đỳng khụng ta sẽ đi kiểm nghiệm điều đú bằng cỏch đi giải phương trỡnh Schrodinger của dao động tử điều hoà:

Phơng trình (4) là phơng trình vi phân có thứ nguyên với:

[ ] [ ]

M : m

L : x

dị ở ∞ Ta phải khử điểm kì dị này tức là tỡm dỏng điệu ψ ξn( ) ở lõn cận điểm

∞ Khi ξ rất lớn (ξ → ∞) thỡ ε << ξ2ta cú thể bỏ qua số hạng εψ ξn( ) trong

vế trỏi (5) ta đợc:

( ) ( ) 0 '' 2 n

Để nghiÖm có ý nghĩa vật lý tức là khi ξ → ∞ thì ψ ξ( ) hữu hạn nên ta

1 ka

2 a

1 k 2 k

0 a

1 ka

2 ka

1 k

k 0

0

k k k

k 0

k

k 2 k

2

k k 1

k k 2

k k

= ξ

− ε +

− +

+

⇔

= ξ

− ε + ξ

− ξ +

+

⇔

= ξ

− ε + ξ ξ

− ξ

Muốn cho phương tr×nh lu«n thoả mãn thì các hệ số bên cạnh c¸c

luỹ thừa ξk đều phải triệt tiêu tức là:

(k 2 k 1 a+ ) ( + ) k 2+ −2kak + ε −( 1 a) k =0

Thành thử chuỗi (9) có dáng điệu giống hàm 2

0

a expξ tøc:

~ a 2 k 2 3 k 2

k 4

~ a 2 5 k 1 5

k

1 5 k 2

−

−

− +

− +

−

ε

− +

2 1

k 0

k 1 0

k

k

! k

1 a

~ a

khi 2 exp

0 a

khi 2

exp

~ 2 expy

1 2

0 2

2

Điều kiện ψ ∞( ) triệt tiêu bắt buộc y phải trở thành đa thức, nghĩa là

chuỗi (9) phải ngắt ở kmax =n nào đó

Nghĩa là a (hoặco a )1 , ,a , ,ak k max =an ≠0, còn an 2+ ,an 4+ , 0.≡

Từ (10) suy ra an 2+ =0 và:



ω

= ε

= +

=

n

E 2 1

Như vậy n¨ng lượng của dao động tử bị lượng tử hoá, nó phụ thuộc vào

số lượng tử n (n 0,1,2, = ) Trạng thái ứng với n 0= được gọi là trạng thái

cơ bản của dao động tử lượng tử Khi thay ε − =1 2n vào (8), phương trình (8) trở thành:

( )

1

n n

Hãy chuẩn hoá hàm sóng ψ ξn( )?

d e 1

n n n

ξ

− ξ

ξ

−

= ξ

Từ diều kiện chuẩn hoá hàm sóng ta có:

( )

( ) ( ) ( )

2

2

2 n

4 n

n n

n n

( ) ( )( )

! 2

4 n 3 n 2 n 1 n n

2

! 1

2 n 1 n n

2 n H

d

d

5 n 4 n

3 n 2 n 1

n n

− ξ

−

−

−

− +

+ ξ

−

−

− ξ

= ξ ξ

5 n 4 n 3 n 2 n 1 n n

2

! 1

3 n 2 n 1 n n 2

1 n n H

d

d

6 n 4 n

4 n 2 n 2

n n n

2

2

− ξ

+ ξ

−

−

−

− ξ

−

= ξ ξ

d

n n

TÝnh giá trị trung bình của phép đo các đại lượng x , x tương ứng với 2

các tán tử nhân ˆx , x∧2 và các đại lượng p , p tương ứng với các toán tử 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2E

ε =

ωh Thì (1) có nghiệm là: ( ) 1 1( )

2 x

3

2E

ε =

Thì (2), (3) có nghiệm là:

2 y

1

1A

2 n !

2

1A

2 n !

3

1A

2 n !

=( )

( ) ( )

1 1

2 2

3 3

2

4

n n

đú n sẽ thay đổi từ 3 (n n− 1) →0 Cỏc giỏ trị cú thể cú của n là 2

0,1,2,3 , n n− và tất cả cú (n n− +1 1) giỏ trị Số giỏ trị của n cú thể ứng 2

với mọi giỏ trị khỏc nhau của n từ giỏ trị 1 n1=0 đến giỏ trị n1=n cho ta bội suy biến g n

Mức khụng suy biến ứng với n 0=

II.4 Bài 4: Chuyển động của dao động tử điều hoà một chiều đợc mô tả bởi

( ) 1 2 0

=

0

2 0

2

0

2 0

dx x

m exp m

dx

m exp

m dx

x W

b, Khai triÓn ψ0( )x theo hÖ hµm riªng cña p cho bëi:x

2

x 0

Vậy xác suất đo đợc giá trị p của xung lợng của dao động tử điều hoà ở xtrạng thái có số lợng tử n = 0 là:

2 2

x p

II.5 Bài 5: Tìm năng lợng và hàm sóng của dao động tử một chiều dới tác dụng

của điện trờng không đổi ε đặt dọc theo phơng dao động ox

Lời giải

Giả sử hạt có khối lợng là m Điện tích của hạt là e Do đó thế năng của lực tĩnh điện là:

Trong đó A là hệ số chuẩn hoá.n

−

−

− +



= ξ

4 n 3 n 2 n 1 n

2

! 1

3 n 2 n 1 n 1

n 2 n 2 d

H

d

6 n 5 n

4 n 3 n 2

n 1

n 2

n 2

−

−

− +

6 n

4 n 2

n

H 1 n 2 n

2

! 2

4 n 3 n 2 n

2

! 1

3 n 2 n 2

1 n 2 n

II.7 Bài 7: Tính các giá trị trung bình của các đại lượng x và x của dao 2

độngtử điều hoà một chiều ở trạng thái n ?

dm

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

*

_ 3

m1

II.8 Bµi 8: Tính các giá trị trung bình của các đại lượng px và 2

x

p của dao độngtử điều hoà một chiều ở trạng thái n ?

Lêi gi¶i:

∞ +∞

= ψ

ξ ψ

=

_

n

* n n

x

* n

x i x dx

x pˆ

=



x m

−

=

ξ ξ ψ

ψ

=

ξ ω ξ

− ξ

ψ

=

d H

e H

e A

i

d i

d m

m i p

n 2

* n 2 2

ξ

1 n

2 n

2 n

e

2 2

2

1 d n

i

d H

H e A i 2

1 d H

H ne A

i

d H

H e n 2 i d H

2

1 nH

H e A

i

d H

H e n 2 A i d H H e A

i

p

1 n

* n 1

n

* n

1 n

* n 2

n 1

n

* n 2

n

1 n

* n 1

n 1

n

* n 2

n

1 n

* n 2

n n

* n 2

n

x

2 2

2 2

2 2

=

ξ ξ ψ ξ ψ +

ξ ξ ψ ξ ψ

−

=

ξ ξ ξ

+ ξ ξ ξ

−

=

ξ ξ ξ

− ξ

− ξ ξ ξ ξ

∞

∞ +

∞

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

ξ

− +

− ξ

∞

−

ξ

− ξ

−

∞ +

ω

−

=

ξ ξ ψ ξ

∂ ξ ψ

ω

−

=

ξ ω ξ ψ

− ξ

= ψ

ψ

=

d H e H

e A m

d m

d m m

dx x x

x dx

x p

x

p

n 2 2

2

* n 2 2 n 2

n 2

2

* n 2

n 2

2 2

*

n

n 2

2 2

* n n

2 x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ξ

− ξ +

+ ξ +

ξ

− ξ

−

=

ξ

− +

+ ξ

− ξ ξ +

ξ ξ

−

=

ξ

− +

ξ ξ

−

− ξ

− ξ ξ +

ξ ξ

=

ξ

− +

ξ ξ

−

− ξ

+ ξ ξ

− ξ

− ξ ξ

=

ξ

− +

+ ξ ξ

− ξ

− ξ ξ

∂

+

ξ

− ξ

− ξ

− ξ

−

ξ

− ξ

− ξ

− ξ

− ξ

−

2 n 2 n

2 n

2 2

n 2

2 n 2 n

2 n

2

n 2 n

2 2

n 2

2 n 2 2

n n

2

n 2 n

2 n 2

2 n 2

n 2 1

n 2 1

n 2

2 n 2 1

2

n 2 1

n 2 1

n 2

2 n 2 1

n 2

n 2 1

n 1

n 2

2 n 2

1 n 2 n

2 n

2 2

2 n 2

1 n 2 n

2 n

2 2 n

2 2

2

H e 4

1 H

e 2

1 H

ne H

e 1 n n

H e 4

1 H

e H

e 2 1

H ne 2

1 H

ne 2

3 H

e 1 n n

H e 1 n n 4 H

2

1 H

1 n e 2 1

H e H

2

1 H

1 n ne 3

H e 1 n n 4

H e H

e 2

1 H

e n

H e 1 n n H

e n

H e H

e 2

1 H

e n

H e 1 n n nH

2 e 2

H e H

2

1 nH

e

H 1 n 2 n e

nH 2 e 2 H

e H

e

H 1 n 2 n e

nH 2 e H

e H

e H

e

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

∂

∂ −ξ

n 2 2

2

H e

= ω

∞

−

∞ +

∞

−

ξ ξ

ξ

2

1 n m m

2

1 n m

d 2

1 n m

d H e 2

1 H

ne H

e A m p

n , n 2

n

* n 2

n 2 n

2

* n 2 2 n 2

2

x

2 2

II.9 Bài 9 : Tính các giá trị trung bình của các đại lợng thế năng, động năng và

năng lợng của dao động tử điều hoà ở trạng thái n ?

Lời giải:

Có : ( ) 2 ( ) k x 2

2

1 x U kx 2

1 x

m 2

1 n m 2 1

m 2

1 n k 2 1

m 2 2

1 n m

m 2

p W m 2

p W

2 x d

2 x d

=

⇒ +

2

1 n W x U E W x U

2 2

Vậy từ hệ thức bất định ta thấy năng lợng thấp nhất có thể có của dao

động tử điều hoà một chiều là:

Emin 1

2

III Bài toán tham khảo

III.1 Bài 1: Tìm động năng trung bình của dao động tử điều hoà một chiều? III.2 Bài 2: Tìm sự phụ thuộc thời gian của toạ độ và xung lợng trung bình của

dao động tử điều hoà một chiều?

III.3 Bài 3: Xét dao động tử điều hoà tuyến tính với ψ0và ψ1 là các hàm riêng thực, chuẩn hoá của toán tử năng lợng tơng ứng trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đầu tiên Hàm sóng của dao động tử ở thời điểm nào đó có dạng:

0 1

của x ở trạng thái này kháckhông Tìm giá trị A, B để x đạt cực đại và cực tiểu.

III.4 Bài 4: Hàm sóng ở thời điểm t 0= của hạt trong trờng thế dao động điều

a, Viết hàm sóng ở thời điểm tψ( )x, t

b, Tìm kết quả có thể của phép đo năng lợng của hạt ở trạng thái này và xác suất tơng đối của phép đo nhận đợc các giá trị đó

c, Tính x ở thời điểm t 0= Hỏi x thay đổi theo thời gian nh thế nào?

III.5 Bài 5: Trong x-biểu diễn, dao động tử điều hoà ở trạng thái cơ bản (n = 1)

KếT LUậN

Trong quá trình thực hiện đề tài về bài toán dao động tử điều hoà, chúng tôi đã tham khảo một số tài liệu và kiến thức đã học Qua đó chúng ta phần nào hiểu rõ hơn về dao động tử điều hoà và các yếu tố ảnh hởng của nó

Khi viết đề tài này, tôi nghiên cứu và hoàn thành một số nhiệm vụ sau:

- Lập phơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà

- Giải phơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà

- Lập các hệ thức của đa thức hermite

- Giải một số bài toán về dao động tử điều hoà

Tuy nhiên đề tài của tôi chỉ dừng lại ở mức độ khái quát với một số bài tập ứng dụng cơ bản và còn nhiều hạn chế mong nhận đợc sự góp ý của thầy cô

và các bạn để đề tài của tôi hoàn thiện hơn

TàI LIệU THAM KHảO

1 – Trần Thái Hoa – Giáo trình cơ học lợng tử – NXB Đại học s phạm, Hà

Nội – 2006

2 – Phạm Quý T – Cơ học lợng tử – NXB giáo dục, Hà Nội – 1986

3 – Geyliskman – Tuyển tập các bài tập cơ học lợng tử – NXB Đại học và

Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1974

4 – I.M.Babacop – Lý thuyết dao động tập 2 – NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệp, Hà Nội 1976

5 – A.N.Matvev – Cơ học lợng tử và cấu trúc nguyên tử – NXB Khoa học

và kỹ thuật, Hà Nội 1975