CHỦ ĐỀ DÃY SỐ 2021 ÔN HSG TOÁN THPT

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất v| kí hiệu l| x.. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 3 nghiệm ph}n biệt an bn cn... Chứng minh rằng phương trình luôn có

Trang 1

CHỦ ĐỀ DÃY SỐ 2021 – 2022

DÃY SỐ SINH BỞI NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Với mỗi số nguyên dương n, ta đặt x l| nghiệm thuộc n  0;1 của phương trình cos x nx

(đã chứng minh đ}y l| nghiệm duy nhất trên vùng  0;1 của phương trình n|y)

a Đặt Sn x1x2  xn, chứng minh lim Sn  

n lim n nx 1 l| một số thực kh{c 0

x

n ln ; n 1; 2; 3;



Lời giải:

n

x

n

Lại có đ{nh gi{:

2

Mà lim nxn 1; lim n x2 4n 0 nên suy ra 2 

n

1

2

n

1

2

   hay a = 2

c Theo định lý Lagrange v| lưu ý dãy  xn giảm thì

n

n 1









             

quả

Bài 2: Với mỗi số nguyên dương n, xét phương trình x3 nx21

Trang 2

a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất v| kí hiệu l| x n

n

x lim ; lim x n

c Tìm số thực k để k xn

n



  l| một số thực kh{c 0

Lời giải:

a Tự l|m, cần lũy thừa 3 hai vế để xét h|m số cho dễ

f n 0; f n 0 n x n , n 1; 2; 3;

c Từ giả thiết ta có

3

n

x

n 



lim n 1 1; lim n

n



3 k

3 k

Vậy, k = 3 l| gi{ trị cần tìm duy nhất

Bài 3: Với mỗi số nguyên dương n, xét phương trình 1 1 x

a Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 3 nghiệm ph}n biệt an bn cn

n

lim a ; lim ; lim

n n

c Tính lim n b nn

d  

2

Lời giải:

Trang 3

c Từ bảng biến thiên, ta đã có b l| nghiệm duy nhất của phương trình trên n n; n 1 

Theo định lý kẹp ta có: lim n b n n1

d Ta nhận xét rằng câu d chặn bất đẳng thức chặt hơn câu c (bn n 1

n 1

 

 )

Do n b n      n 1  bn n

Đặt yn bn n yn  bn v| từ giả thiết cho ta: n

phương trình suy ra kết quả

Bài 4: Với mỗi n nguyên dương lớn hơn 1, xét phương trình xn x 1 nx 2

a Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất x n

b Tìm lim x n

20n 9



Lời giải:

a Tự l|m

b Xét n > 2 , theo bất đẳng thức Bernoulli ta có:



Mặt kh{c, từ bảng biến thiên cho ta xn 2 nên 2 xn 2n 1 lim xn 2

n 2



Trang 4

c Với n = 2; n =3 thì x ; x2 3 3 nên kiểm tra bất đẳng thức đúng Ta xét n 4  thì từ bảng biến

f 3  3 4 5  3 4 5 0 nên 2 x n 3

x 2

4n 5n

20n 9

 



Bài 5: Với mỗi số nguyên dương n, xét phương trình cos x xn  có nghiệm thuộc (0;1)

a Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất v| kí hiệu l| x Tìm n n

lim x

b Chứng minh rằng xn 1 ; n 1; 2; 3;

n 1

n 1 1

 

Lời giải:

f x  x cos xf ' x  1 n sin x.cos  x 0; x   0;1 nên đ}y l| h|m số

f 0  1; f 1  1 cos 1 0 f x 0 có nghiệm trên (0;1) v| đ}y l| nghiệm duy nhất

n 1

1

cos x



M| lại bị chặn dưới nên tồn tại lim, đặt lim xn  L 0;1 Nếu L > 0 thì lim cos xn n 0 do tồn tại

M x   1; n 1; 2; 3  0 cos x cos M 1; lim cos M 0  Trong khi đó, n

lim cos x lim x  L 0 nên vô lý Vậy L 0

Trang 5

x  1 cos x cos 0 n.sin cos  .x , 0; x hay

1

n 1



Bài 6: Với mỗi số nguyên dương n, xét phương trình

n i

i 1

x

i





a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất v| kí hiệu l| x n

2

c Tính lim x n

Lời giải:

a Tự chứng minh, ngo|i ra ta còn có xn 0;1

b Xét h|m số   n

f x cos x v| dùng định lý Lagrange

c Sử dụng c}u b đưa đến đ{nh gi{:

2

2

dùng định lý Stolz suy ra

n

i 1

1 i

n

 



và dùng định lý kẹp ta có lim xn 1

Bài 7: Với mỗi số nguyên dương n > 1, xét phương trình xn 2x 1

a Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất v| kí hiệu x n

b Tính lim x theo hai c{ch (định lý Weirestrass v| kẹp) n

c Tính lim n x n1

lim n x x  l| một số thực kh{c 0

Lời giải:

Bài 8: Với mỗi số nguyên dương n xét phương trình 2x x n  x n 1 

Trang 6

a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất, kí hiệu l| x n

lim

n

c Chứng minh n n x ; nn  và tính lim x n n

Lời giải:

a Tự l|m

b

n

x

n

n

kết quả

c f xn 2x x n  x n 1  đồng biến trên 0; và có

f  n n0; f  n n 2  0 n n n x  n n n 1  n

1

2

Bài 9: Với mỗi n nguyên dương , xét phương trình

0

1

1

1 1













n x x

x

thuộc khoảng (0, 1)

a Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất là xn thuộc khoảng (0, 1)

b Chứng minh dãy {xn} hội tụ; hãy tìm giới hạn đó

Lời giải:

Xét hàm số n 

  liên tục trên (0;1) và nghịch biến trên (0;1) đồng thời

lim f x ; lim f x

      nên phương trình f xn 0 có nghiệm duy nhất là xn 0;1

Ta có fn+1(xn) = fn(xn) + 1/(xn-n-1) = 1/(xn-n-1) < 0, trong khi đó fn+1(0+) > 0 Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0, xn) có ít nhất 1 nghiệm của fn+1(x) Nghiệm đó chính l| xn+1 Như thế ta đã

Trang 7

chứng minh được xn+1 < xn Tức là dãy số {xn} giảm Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn

Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0 Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen thuộc sau:

1 + 1/2 + 1/3 + < + 1/n > ln(n)

(Có thể chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng đ{nh gi{ ln(1+1/n) < 1/n)

Thật vậy, giả sử lim xn = a > 0 Khi đó, do dãy số giảm nên ta có xn  a với mọi n

Do 1 + 1/2 + 1/3 + < + 1/n   khi n   nên tồn tại N sao cho với mọi n  N ta có 1 + 1/2 + 1/3 +

< + 1/n > 1/a

Khi đó với n  N ta có

2

1 1

1 1 1

1

1

1

































a a n x

n x x

Mâu thuẫn Vậy ta phải có lim xn = 0

Bài 9.1: Với mỗi n nguyên dương thì phương trình 31 3 1 3 1 0

1

có nghiệm duy nhất x n 0;1 Tính limx n

Bài 10: Cho phương trình xn nx 1 , n là số nguyên dương lớn hơn 1

a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất và kí hiệu là x n

b Tính lim x n

n

1

nx



n n

H 3

Lời giải:

a Tự làm, ngoài ra còn chỉ ra được xn 1

n

f x x nx 1 là hàm số đồng biến trên 1; khi n > 1

Xét n 2,n 3  dễ dàng kiểm tra xn 1 1

n

n

n

Kết hợp sự đồng biến cho ta kết quả: xn 1 1

n

Trang 8

c Ta chứng minh được  xn là dãy giảm và theo Lagrange

n



Từ đ}y suy ra kết quả

n

n 1 x nx 1 nx 1 ; n 2; 3; 4;





 và suy ra kết quả Lưu ý l| 2

5 x 2



Bài 11: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì phương trình 1

2



luôn có một nghiệm dương duy nhất Ký hiệu nghiệm dương đó l| x n, chứng minh rằng dāy số

 x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Lời giải: Quảng Nam TST 2019 – 2020

( ) n n    2, 

n

f x x x x n Với mỗi n* ta có f x n( ) là hàm số liên tục, đồng biến trên [0;) Lại có (0) 2, lim ( )



x

(0; )

n

x Với n1 thì ta có x1 2 Với n2 ta có x2 1 Với n3 thì f n(1)  n 2 0 suy ra

1



n

x Do đó x n(0;1), n 3

  n  n       n 

Suy ra x n1x n hay  x n là dãy số đơn điệu giảm, vì vậy dãy  x n có giới hạn hữu hạn Đặt

lim , [0;1)

1

1







n

n

x

x

lim n 0

n

3



n

x

Bài 12: Cho số thực a2 Đặt 10 10

( ) n  n 1( 1, 2,)

n

n phương trình f x n( )a có đúng một nghiệm x n(0;) Chứng minh dãy số  x n có giới hạn hữu hạn khi n  và tính giới hạn này

Lời giải:

Trang 9

Với mỗi n , đặt g x n( ) f x n( )a; khi đó g x n( ) là hàm liên tục, tăng trên [0;) Ta có

(0) 1  0

n

(1)    1 0

n

g a n a nên g x n( )0 có nghiệm duy nhất x n trên (0;) Để chứng minh tồn tại giới hạn lim

 n

n x , ta chứng minh dãy  x n tăng v| bị chặn

1

1

9

1

1 1

1

1

1 Suy ra 1





n

n

n

n

a

a

a

a



 

1

0

1



x g x a x x x ax

a

Do g n1 l| h|m tăng v| 0g n1 x n1 g n1 x n nên x n x n1 Vậy dãy  x n tăng v| bị chặn nên tồn tại lim

 n

1

a

      , từ giả thiết ta có

1

1

n

n

n

x

x



1

1

n

lim x

a

 

Bài 13: Với mỗi n*, xét hàm số 2

( ) n sin 2

n

1/ Chứng minh rằng hàm f x n( ) đạt giá trị nhỏ nhất tại 1 điểm x n duy nhất

2/ Gọi u n là giá trị nhỏ nhất của hàm f x n( ) Chứng minh rằng dãy  u n có giới hạn hữu hạn

Lời giải: Vinh TST 2019 - 2020

1/ Ta thấy f x n( )0 với mọi x [ 1,0] Mặt khác

2

1 0

      

n n

f

nên minx f x n( )0 Do đó ta chỉ cần xét f x n( ) trên [ 1, 0] Ta có

'( )2 n 2cos 2, ''( )2 (2 1) n 4sin 2 0

với mọi x [ 1, 0] Suy ra f n'( )x đồng biến trên [ 1, 0] Mặt khác

'( 1)   2 2cos( 2) 0, (0) 2 0

Trang 10

và f x n( ) liên tục nên phương trình f x n( )0 có nghiệm duy nhất x n [ 1, 0] đồng thời f n'( )x đổi

dấu từ }m sang dương khi x qua x n do đó h|m f x n( ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x n duy nhất

2/ Ta có u n min[ 1,0] f x n( ) f n x n Với x [ 1,0] ta có 2 2 2

Từ đó suy ra u n1 f n1 x n1  f n1 x n  f n x n u n,  n 1, 2

Vậy  u n là dãy giảm và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn

Bài 14: Cho phương trình x1 n  x2n  x, với n l| số nguyên dương lớn hơn 1

a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm lớn hơn 2, kí hiệu l| x , tìm lim n x n

b Tính limn x n 2

Lời giải:

 1 n 2 n   '  1 n 1  2 n 1    1 0; 2

số n|y đồng biến trên 2; Đồng thời  2  0;  3 2n   1 3 0

luôn có nghiệm trên  2;3 v| đ}y l| nghiệm duy nhất

2

n

ra 2 x n  2 1

n và suy ra limx n 2

b Từ c}u a, và do limx n 2 0 limx n 2n 0nên limx n 1n  2

2

n

n

x

2

n

n

x

Bài 15:Với mỗi số tự nhiên n 0, chứng minh rằng phương trình    





1

4 1

n

nghiệm dương duy nhất l| x và tìm lim n x n

Trang 11

Lời giải:

4

h|m nghịch biến trên 0; Mặt kh{c

Vậy suy ra f x n  0 có nghiệm trên  0;2 v| đ}y l| nghiệm duy nhất

Lại có: f n 2  f x n n  f n' c 2 x n;cx n;2 nên

4

Vậy:

Bài 16: Cho phương trình







1

n

phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất l| x , tìm lim n x n

Lời giải: Tương tự b|i 15