Ứng dụng tích phân xác định

4: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN B9: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TS... PHƯƠNG PHÁP CẮT LỚP ---Nguyên tắc: Chia nhỏ vật thể thành nhiều lớp đồng nhất... MINH HOẠ 2: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY... Tì

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TOÁN 1

CH 4: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN B9: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

TS NGUYỄN QUỐC LÂN (01/2007)

NỘI DUNG -

(Biên: (C) x = x(t), y = y(t); Ox; x = a; x = b)

PHƯƠNG PHÁP CẮT LỚP -

Nguyên tắc: Chia nhỏ vật thể thành nhiều lớp đồng nhất

MINH HOẠ 2: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

KHẢO SÁT HÀM THEO THAM SỐ x = x(t), y = y(t)

3/ Lập bảng biến thiên Tìm điểm đặc biệt

4/ Vẽ đồ thị Nguyên tắc: Nối từng điểm (cực trị, giá trị đặc biệt) Đồ thị phản ánh đúng bảng biến thiên

5/ Tiệm cận: Cuối bài

THU GỌN MIỀN KHẢO SÁT -

t

t

−

( )t x

( )t y

( )t

x −

( )t

y −

Đối xứng trục hoành

x(t) – chẵn, y(t) – lẻ

Miền xác định (theo t) Chú ý tính chẵn, lẻ, tuần hoàn

thị đối xứng … ⇒ Chỉ vẽ đồ thị phần t > 0 & đối xứng

x(t), y(t) tuần hoàn chu kỳ T

⇒ Đồ thị ???

x(t) lẻ, y(t) lẻ ⇒ Đồ thị ???

CỰC TRỊ -

( ) ( ) ( )

t x

t

y x

'

''''

t x

t y t x t

x t

y x

VD: Khảo sát chiều biến thiên, cực trị (x, y theo t và y

BẢNG BIẾN THIÊN HÀM THEO THAM SỐ -

'

t a

t a

t x

'

''''

t x

t y t x t

x t

y x

( )3

2

cos1

sincos

1

cos

t

t t

( )t x

0 πa 2πa

VÍ DỤ ĐỒ THỊ THEO THAM SỐ -

y

t a

VD

t t y

t x

TOẠ ĐỘ CỰC -

đến tia OM (Tương tự dạng lượng giác của số phức)

r OM

y x

r r

y

r x

ϕ ϕ

ϕ

tgsin

2

1:

ĐƯỜNG CONG TRONG TOẠ ĐỘ CỰC -

THU GỌN MIỀN KHẢO SÁT r = r(ϕ) -

r(ϕ)): vẽ đoạn [0, T] (hoặc đoạn

[–T/2, T/2]) rồi quay tâm O, góc T

VÍ DỤ – HOA HỒNG 2 CÁNH -

HOA HỒNG 3 CÁNH -

KỸ NĂNG: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

g x

f

S ( ) ( ) = α∫ ( ( ) ( )− ) +K

a

x g x

y =

Ví dụ: Diện tích hình bị giới hạn bởi y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 8 (x ≥ 0)

?22

2

x y

x

x y

DIỆN TÍCH HÌNH GIỚI HẠN BỞI PT THAM SỐ

x y S

t x x b

a

)(')()

t x x

2

0

2 1 cost 1 cost dt 3 a a

cycloid tương ứng: t = 0 → 2π

DIỆN TÍCH HÌNH CÁNH QUẠT (TOẠ ĐỘ CỰC)

VÍ DỤ -

0

2

12

3

π π

ϕ ϕ

ϕ

r S

Khó khăn: Xác định cận tích phân

TÍNH ĐỘ DÀI DÂY CUNG -

( )

( 2 2 )

2 x , f x M

Độ dài dây cung đồ thị y = f(x) từ x = a đến x = b (a < b)

CÔNG THỨC ĐỘ DÀI DÂY CUNG (3 TRƯỜNG HỢP)

-( ) ( ) ( ) l x ( )t y ( )t dt dl x ( )t y ( )t dt

t y y

t x

x C

b

a

2 2

2 2

''

''

r dl

d r

r l

r r

'1

'1

)(: = ⇒ = ∫ + ⇒ = +

Độ dài dây cung đồ thị y = f(x) từ x = a đến x = b (a < b):

VÍ DỤ ĐỘ DÀI DÂY CUNG -

Tính độ dài đường cong (hình trái tim) r = a(1 + cosϕ)

' 2 2 2

a r

( t) y t a t a

t

x'( ) = 1−cos , '( ) = sin(x t ) (y t ) a t l a t dt 8a

2

sin

22

sin4

)(')

2

1 nhịp cycloid: t = 0 → t = 2π

THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY -

:OxTrục

:OyTrục

VD: Tính thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi y =

DIỆN TÍCH BỀ MẶT VẬT THỂ TRÒN XOAY

DIỆN TÍCH BỀ MẶT VẬT THỂ TRÒN XOAY

f x

''

)(2

t

t

dt t

y t

x t

độphânvi

:,

VÍ DỤ DIỆN TÍCH BỀ MẶT VẬT THỂ TRÒN XOAY

2 4

3 2

3

62

VD: Tính diện tích bề mặt vật thể

Tính diện tích bề mặt vật thể tròn xoay sinh ra khi quay

TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM y = f(x) -

VD: Tìm tiệm cận các hàm số sau

x x

TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM THEO THAM SỐ

0 0

a x

t y a

t

x

t t t

b y

b t

y t

x

t t t

x

t y

t t t

→

lim

VD: Tìm tiệm cận của đồ thị x(t) = te t , y(t) = te –t

y t

t t

x

(C): x = x(t), y = y(t) chỉ có thể có tiệm cận khi có nhánh vô cùng: Ít nhất x(t), y(t) → ∞, t → t 0 (t 0 có thể = ∞)