Một số đề ôn tập môn kỹ sư tài năng đại học bách khoa hà nội

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Mỗi ñiểm là ñầu mút của 5 ñoạn, mỗi ñoạn màu xanh hoặc ñỏ, theo nguyên lí Dirichlet, mỗi ñiểm là mút của ít nhất 3 ñoạn cùng màu.. Không mất tổng quát, giả

f x′ ≤ và phương trình ( )f x =x có nghiệm thực duy nhất

2) Cho dãy số thực { }u n ñược xác ñịnh như sau:

2) Giả sử hàm ( )f x khả vi trên ñoạn [ ]0;1 và f′(0)f′ <(1) 0

Chứng minh rằng tồn tại c∈( )0;1 sao cho f′( )c =0

Câu IV

1) Chứng minh rằng

2 2 0

Cho 2 nửa ñưởng thẳng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ñoạn vuông góc chung

Góc giữa Ax, By bằng 30o Hai ñiểm C, D lần lượt chạy trên Ax và By sao cho tổng

AC + BD = d (d > 0) không ñổi Xác ñịnh vị trí của các ñiểm C, D sao cho thể tích tứ

diện ABCD ñạt giá trị lớn nhất

cuu duong than cong com

1) Giả sử hàm ( )f x xác ñịnh và liên tục trên ℝ và f (f x( ))=x , x∀ ∈ℝ

Chứng minh rằng tồn tại x0∈ℝ sao cho f x( )0 =x0

2) Tìm tất cả các hàm liên tục thỏa mãn f x( )= f(sinx), x∀ ∈ℝ

− Chứng minh rằng hoặc f lồi nghiêm ngặt

hoặc f lõm nghiêm ngặt trong ( )a b ,

Câu IV

Trong phòng có 6 người, cứ 3 người thì có ít nhất 2 người quen nhau Chứng minh rằng

có 3 người ñôi một quen nhau

1) Chứng minh rằng hàm ( )ϕ x khả vi tại ñiểm x=0

2) Giả sử ( )f x khả vi tại ñiểm x=0 Tính ñạo hàm của f (ϕ( )x ) tại ñiểm x=0

π

=+

n n

n

u u

u

+ =+ + Tìm lim 2( )n

1. Chứng minh rằng { }u n là dãy tăng

2. Chứng minh rằng { }u n có giới hạn hữu hạn khi n→ ∞ Tìm lim n

Cho f x( )=a1sin( )b x1 +a2sin( )b x2 + +… a nsin( )b x n

1) Chứng minh phương trình ( )f x =0 có nghiệm trong khoảng (0; 2π)

2) Giả sử f x( ) ≤ sinx , ∀ ∈ −x ( 1;1) Chứng minh rằng: a b1 1+a b2 2+ +… a b n n ≤1

n n

n x x n

n

e dx e

Chứng minh rằng ∃ ∈c ( )0;1 sao cho f c′( )=c

2) Hàm ϕ( )x khả vi cấp hai trên [0;+∞) Biết rằng ϕ( )x >0, ϕ′( )x >0 và

( )2

( ) ( )

2( )

ϕϕ

2) Cho hàm ( )f x khả vi trên ñoạn [ ]0;1 thỏa mãn (0)f =0, (1) 1f =

Chứng minh rằng với mọi k1>0, k2>0, tồn tại x x1, 2∈[ ]0;1 sao cho:

Một nền nhà hình chữ nhật ñược lát kín bởi 2 loại gạch có kích thớc 1 x 4 và 2 x 2 Người

ta dỡ gạch lên và không may làm vỡ mất 1 viên 2 x 2 Họ thay viên bị vỡ bởi viên 1 x 4 rồi tiến hành lát lại sàn nhà Hỏi bây giờ có thể lát kín nền nhà ñược hay không?

2 4

n n

Trong quốc hội một nước, mỗi nghị sĩ ñều có không quá 3 kẻ thù

Chứng minh rằng có thể chia quốc hội thành 2 viện sao cho trong mỗi viện, mỗi nghị sĩ ñều có không quá 1 kẻ thù

1) Cho f là một hàm liên tục trên [ ]0;1 thỏa mãn ñiều kiện (0)f = f(1)

Chứng minh rằng tồn tại một số c∈[ ]0;1 sao cho ( ) 1

2011

=  + 

2) Cho H là tập hợp các hàm số ( )f x có ñạo hàm ñến cấp 2 liên tục trên ñoạn [0,1]

thỏa mãn ñiều kiện (0)f = f(1)=0, f′(0) 1=

Trần Vũ Trung KSTN đKTđ Ờ K55 Hướng dẫn giải Ờ đáp số

Suy ra phương trình ( )g x =0 có nghiệm duy nhất

2) Gọi α là nghiệm duy nhất của phương trình ( )f x =x

Áp dụng Lagrange, c∃ : 1 ( ) ( ) ( )

12

f x′ < , (0)f = >2 0, lim ( ) 1 0

x f x

→+∞ = − < Suy ra phương trình ( )f x =0 có nghiệm dương duy nhất

Phương trình ựã cho có ựúng 1 nghiệm dương

Câu III

1) Dễ chứng minh sinx−siny < −x y

Khi ựó, f x( )− f y( ) < −x y , suy ra f liên tục trên [ ]a b ,

Giải tiếp như bài toán 22 - Hàm liên tục

2) Giả sử f′(0)>0 (nếu f′(0)<0, thay ( )f x bởi ( f −x))

Khi ựó, f′ <(1) 0 Vì f liên tục trên [ ]0;1 nên ∃ ∈x0 [ ]0;1 : ( )0 [ ]

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

Chú ý: vì f x′( ) có thể không liên tục trên [ ]0;1 nên không thể sử dụng ngay ñịnh lý Bolzano-Cauchy ñể kết luận tồn tại c∈( )0;1 sao cho f′( )c =0

  , với mọi y∈(0;π), suy ra ñpcm

2) Vì f x khả tích trên ( ) [ ]0;1 nên với cách chọn tùy ý các ñiểm ξi mà i 1 i i

1

n i i

=

thiết Vậy tồn tại ñoạn [ ] [ ]a b, ⊂ 0;1 mà trên ñó ( )f x >0

Câu V

Qua A kẻ nửa ñường thẳng Az || By Kẻ CH vuông góc với Az (H∈Az)

AB⊥AC, AB⊥AH ⇒ AB⊥CH

CH⊥AB, CH⊥AH ⇒ CH⊥mp(ABH) ⇒ CH⊥mp(ABD)

Thể tích tứ diện ABCD: V = 1/3 CH S(ABD),

Mà CH = AC sin30o = 1/2 AC, S(ABD) = 1/2 AB.BD

Suy ra V = 1/12 AB.AC.BD ≤ 1/12

2

.4

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

ðề số 2

Câu I

1 2

Do f liên tục trên ℝ nên hoặc ( ) f x >x , x∀ ∈ℝ, hoặc ( )f x <x , x∀ ∈ℝ

- Nếu ( )f x >x , x∀ ∈ℝ thì f(f x( ))> f x( )>x, mâu thuẫn giả thiết

- Nếu ( )f x <x , x∀ ∈ℝ thì f(f x( ))< f x( )<x, mâu thuẫn giả thiết

Vậy tồn tại x0∈ℝ sao cho f x( )0 =x0

2) Xét dãy { }x n ∞n=0 ñược xác ñịnh bởi x n+1=sinx n với x là số thực tùy ý 0

Khi ñó, f x( n)= f x( 0), với mọi n∈ℕ

- Nếu 0≤ ≤x1 1, thì { }x n là dãy không tăng, bị chặn dưới bởi 0, do ñó hội tụ

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

Mỗi ñiểm là ñầu mút của 5 ñoạn, mỗi ñoạn màu xanh hoặc ñỏ, theo nguyên lí Dirichlet, mỗi ñiểm là mút của ít nhất 3 ñoạn cùng màu Không mất tổng quát, giả sử A là ñầu mút của 3 ñoạn cùng màu AB,AC,AD

- Nếu cả 3 ñoạn AB,AC,AD cùng màu ñỏ Theo (*) thì tam giác BCD có cạnh ñỏ, giả sử là BC, khi ñó tam giác ABC có 3 cạnh cùng màu ñỏ

- Nếu cả 3 ñoạn AB,AC,AD cùng màu xanh thì từ (*) suy ra tam giác BCD có 3 cạnh cùng ñỏ

Tóm lại, luôn có một tam giác có 3 cạnh cùng màu ñỏ (ñpcm)

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

ðề số 3

Câu I

1) Khi m=4, (1) có nghiệm duy nhất x=3

2) Nếu m<0, (1) vô nghiệm

Nếu m≥0, (1) có nghiệm duy nhất 1 2 1

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

Câu V

Biểu thị 9 người bằng 9 ñiểm trên mặt phẳng và quan hệ giữa họ bằng các ñoạn thẳng Nếu 2 người quen nhau ñoạn nối màu ñỏ, không quen ñoạn nối màu xanh Bất cứ tam giác nào cũng có cạnh màu ñỏ (*) Ta cần chứng minh có 1 tứ giác mà các cạnh và các ñường chéo của nó ñều màu ñỏ

Khi ñó, 4 ñỉnh M,A,B,C lập nên tứ giác cần tìm

Tóm lại, luôn có 1 tứ giác mà các cạnh và các ñường chéo của nó ñều màu ñỏ (ñpcm)

cuu duong than cong com

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

2) f x′( )= f(f x( ))>0, nên f là hàm tăng trên ℝ

Vậy không tồn tại hàm f thỏa mãn ñề bài

Câu IV

Dựng ñiểm H trong không gian sao cho OH⊥mp(ABC) và OH = 1

Khi ñó, áp dụng ñịnh lý Pythagore tính ñược: AH = 2 , BH = 5 , CH = 10

Giải tương tự Bài toán 7 – Hàm khả vi

cuu duong than cong com

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

n n

( )

2 2 0

1

n n

t dt t

→∞ =

cuu duong than cong com

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

Câu III

1) Áp dụng bñt Cô-si (AM-GM):

25 25

25 25

1 1

25 261

Mỗi người trong phòng không quen nhiều nhất là 100 – 67 – 1 = 32 người

Xét 1 người là A, mời tất cả những ai không quen A ra ngoài phòng Trong phòng còn ít nhất 100 – 32 = 68 người, trong ñó chọn lấy 1 người gọi là B Mời tiếp những ai không quen B ra ngoài, phòng còn ít nhất 68 – 32 = 36 người, chọn 1 người gọi là C Mời nốt những ai không quen C ra ngoài, còn ít nhất 36 – 32 = 4 người trong phòng, tức là ngoài A,B,C vẫn còn ít nhất 1 người nữa trong phòng lúc này, gọi là D Bộ tứ A,B,C,D ñôi một quen nhau

n n

+ + ++ + + =

+

…

…

Lấy phương trình thứ k trừ ñi phương trình thứ k+1 (khi k =n thì lấy phương trình thứ

n trừ ñi phương trình ñầu), ta có:

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

1) Dễ thấy không tồn tại ña thức bậc 0,1,2 thỏa mãn ñề bài

Xét ña thức ( )P x bậc n≥3 thỏa mãn ñiều kiện ( )P x >P x′′( ) và P x′( )>P x′′( ), x∀ ∈ℝ Khi ñó, ña thức ( )P x −P x′′( ) có bậc n chẵn, và ña thức P x′( )−P x′′( ) có bậc n−1 chẵn, mâu thuẫn Vậy không tồn tại ña thức thỏa mãn ñề bài

2) Phản chứng Giả sử ∃x0 ñể Q x( )0 <0 Do Q x( )−Q x′( )>0, x∀ ∈ℝ, nên bậc n của

Lấy nguyên hàm 2 vế, ta có arctan ( )f x =c x1 +c2 ⇒ f x( )=tan(c x1 +c2)

Do (0)f =0 nên c2 =0 Vậy f x( )=tan(c x1 )

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

Diện tích giới hạn bởi ñường x=0, x=a và (C) là 1 1

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

sin (cos ) cos (sin ) 1

(cos ) (cos ) (sin ) (sin )

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Khi ñó, xét một ñiểm C bất kì trong số 2009 ñiểm còn lại Xét 3 ñiểm A, B, C, vì AB > 1 nên theo giả thiết ta có AC ≤ 1 hoặc BC ≤ 1 Nói cách khác, ñiểm C phải thuộc C1 hoặc

C2, suy ra 2009 ñiểm khác B và A phải nằm trong C1 hoặc C2 Theo nguyên lí ði-rích-lê

ta có một hình tròn chứa ít nhất 1005 ñiểm Tính thêm tâm của hình tròn này thì hình tròn này chính là hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1006 ñiểm trong 2011 ñiểm ñã cho

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

Từ (1) suy ra ( )f x >0, x∀ ∈ℝ

Thay x=0 vào (1) ñược (0) 1f ≥

Thay y=0 vào (2) ñược ( )f x ≥ f x f( ) (0)⇒ f(0) 1≤

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

3) Tích phân từng phần,

1 0

Gọi d là một trong 17 ñường thẳng ñã cho Nếu d cắt AB tại

E ; CD tại F ; PQ tại L thì LP, LQ lần lượt là ñường trung bình của các hình thang AEFD, EBCF Ta có :

S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 hoặc S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3

=> LP / LQ = 1/3 hoặc là LQ / LP = 1/3

Trên PQ lấy hai ñiểm L1, L2 thỏa mãn ñiều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 khi ñó L trùng với L1 hoặc L trùng với L2 Nghĩa là nếu d cắt AB và CD thì d phải qua L1 hoặc L2 Tương tự, trên MN lấy hai ñiểm K1, K2 thỏa mãn ñiều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 khi ñó nếu d cắt AD và BC thì d phải qua K1 hoặc K2

Tóm lại, mỗi ñường thẳng trong số 17 ñường thẳng ñã cho phải ñi qua một trong 4 ñiểm

L1 ; L2 ; K1 ; K2

Vì 17 > 4.4 nên theo nguyên lí ði-rích-lê, trong 17 ñường thẳng ñó sẽ có ít nhất 5 ñường thẳng (5 = 4 + 1) cùng ñi qua một trong 4 ñiểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 ñường thẳng ñồng quy, ñpcm)

cuu duong than cong com

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

ϕϕ

⇒ + = ⇒ = + − − < , mâu thuẫn với yz=1

Do ñó, x=t Chứng minh tương tự ñược x= = =y z t Thay vào phương trình ñầu ñược nghiệm duy nhất của hệ là x= = = =y z t 3

cuu duong than cong com

Trần Vũ Trung KSTN ðKTð – K55

dx

f x <

Câu IV

Ta tô các ô trên bàn cờ xen kẽ các màu ñen trắng như bàn cờ vua

Do sự “ bình ñẳng màu “ nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng ô dưới cùng bên trái có màu trắng

Từ cách ñi của con mã ta nhận thấy rằng sau mỗi nước ñi con mã sẽ sang một ô khác màu với ô mà nó ñang ñứng Vì thế sau một số lẻ nước ñi con mã sẽ ở ô màu ñen , sau một số chẵn nước ñi con mã sẽ ở ô màu trắng Trở lại bài toán, ta thấy rằng ñi từ ô dưới cùng bên trái lên ô trên cùng bên phải cần ñi 63 nước ñi Vì thế ô trên cùng bên phải sẽ cần mang màu ñen ðiều này là vô lý Vậy quân mã không thể ñi từ ô dưới cùng bên trái nên ô trên cùng bên phải như yêu cầu của ñầu bài ñược

a a

+ <

Thật vậy, giả sử i 1 2

i

a a

+ ≥ , ∀ =i 1,n Khi ñó, a n ≥2i a n i− , ∀ =i 1,n

Nếu cạnh AB có ñộ dài a thì theo trên, ñộ dài ñường gấp khúc dọc theo chu vi ña giác n

sẽ ngắn ñộ dài ñoạn thẳng AB, vô lí

Vậy có số i nào ñó mà 1

i

a a

i i