Bất đẳng thức AM-GM
Định lý 1.1.1 Với mọi số thực không âm a 1 , a 2 , , a n , (n≥ 2) ta có a 1 +a 2 +ã ã ã+a n n ≥ √ n a 1 a 2 a n (1.1) Định lý 1.1.2 Với mọi số thực không âm a 1 , a 2 , , a n (n ≥ 2), và các số thực λ 1 , λ 2 , , λ n sao cho λ i > 1, i = 1,2 , n và n
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Định lý 1.2.1 Cho các số thực a 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n (n ≥ 2), khi đó n
Bất đẳng thức H¨ older
Định lý 1.3.1 Cho a i ≥ 0, b i ≥ 0, i = 1,2, , n (n ≥ 2) và 1 p+ 1 q = 1 với p > 1 Khi đó n
X i=1 a i b i (1.4) Định lý 1.3.2 Cho ai ≥ 0, bi ≥ 0, i = 1,2, , n (n ≥ 2) và 1 p+ 1 q = 1 với p < 0 hoặc q < 0 Khi đó n
BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu bất đẳng thức Aczél cùng với một số bất đẳng thức tương tự và các ứng dụng của chúng Những kết quả được trình bày trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 5, 6].
Bất đẳng thức Aczél
Năm 1956, Aczél đã giới thiệu một bất đẳng thức nổi tiếng, được gọi là bất đẳng thức Aczél Định lý 2.1.1 phát biểu rằng đối với mọi n thuộc tập N+, với n ≥ 2 và các số thực a_i, b_i (với i = 1, 2, , n) thỏa mãn điều kiện a_1^2 - n.
Từ (2.1A) và (2.1B) suy ra ∃y ∈ R :f(y) = 0 Điều này chứng tỏ phương trình f(x) = 0 có nghiệm.
Bất đẳng thức (2.1) trong định lý trên được gọi là bất đẳng thức Aczél.
Một số bất đẳng thức loại Aczél
Bất đẳng thức Aczél-Popoviciu
Năm 1959, Popoviciu đã mở rộng bất đẳng thức Aczél thông qua một định lý quan trọng Định lý 2.2.1 nêu rõ rằng với n ∈ N +, n ≥ 2, và các tham số λ1, λ2 lớn hơn 1, thỏa mãn điều kiện 1/λ1 + 1/λ2 = 1, cùng với các số thực không âm ai, bi (i = 1, 2, , n), có thể đạt được một bất đẳng thức liên quan đến a λ1 1 − n.
X i=2 b λ i 2 Áp dụng bất đẳng thức H¨older (1.4) ta có
Bất đẳng thức trong định lý trên được gọi là bất đẳng thức Aczél-Popoviciu.
Bất đẳng thức Aczél-Vasi´ c-Popoviciu
Năm 1982, Vasi´c và Peˇcaríc trình bày một đảo ngược của bất đẳng thức Aczél-Popoviciu như sau. Định lý 2.2.2 Với n ∈ N + , n ≥ 2, λ 1 < 1, λ 1 6= 0, 1 λ 1 + 1 λ 2 = 1 và a i , b i (i = 1,2, , n) là những số thực dương sao cho a λ 1 1 − n
Do đó, λ2 và λ2 là hai số trái dấu nhau Đặt
X i=2 b λ i 2 Áp dụng bất đẳng thức H¨older (1.5) ta có
Bất đẳng thức trong Định lý 2.2.2 được gọi là bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Popoviciu.
Bất đẳng thức Aczél-Vasi´ c-Peˇ caríc và đảo ngược của nó
Định lý mở rộng về số hạng và số mũ của bất đẳng thức Aczél, còn được biết đến là bất đẳng thức Aczél-Vasić-Pečarić, cung cấp những thông tin quan trọng trong lĩnh vực toán học Theo định lý 2.2.3, với các số nguyên dương n và m (n ≥ 2) cùng với các hệ số λj dương, ta có thể áp dụng các quy tắc này để giải quyết các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức.
≥ 1 và đặt a rj (r 1,2, , n; j = 1,2, , m) là những số thực dương sao cho a λ 1j j − n
Lập luận tương tự chứng minh của Định lý 2.2.1, với điều kiện λ j > 0, m
1 λ j ≥ 1 và áp dụng bất đẳng thức H¨older tổng quát (1.6) ta nhận được Bất đẳng thức (2.4).
Năm 2012, Tian trình bày một đảo ngược của bất đẳng thức (2.4) như sau. Định lý 2.2.4 Với n, m ∈ N + , n ≥ 2, λ j 6= 0, λ j < 0 (j = 2,3, , m) m
1 λ j ≤ 1, và đặt arj (r = 1,2, , n; j = 1,2, , m) là những số thực dương sao cho a λ 1j j − n
Tương tự như chứng minh Định lý 2.2.1
Với điều kiện λ j < 0 (j = 1,2, , m) áp dụng bất đẳng thức H¨older tổng quát (1.7) ta được bất đẳng thức (2.5).
1 λ j ≤ 1 áp dụng bất đẳng thức H¨older tổng quát (1.8) ta được bất đẳng thức (2.5).
Bất đẳng thức Aczél-Bjelica và đảo ngược của nó
Bổ đề 2.2.5 Cho n∈ N, n > 1, và x i , p i , q i (i = 1,2, , n) là những số thực không âm thỏa x i ∈ [0;a], n
P i=1 p i x i ∈ [0;a]. Cho Φ là hàm số xác định trên [0;a] Khi đó
X i=1 q i Φ(x i ) (2.6) nếu và chỉ nếu Φ là hàm giảm trên [0;a]
X i=1 q i Φ(x i ) (2.7) nếu và chỉ nếu Φ là hàm tăng trên [0;a].
(i) (⇒) Giả sử (2.6) đúng Ta chứng minh Φ là hàm giảm trên [0;a]. Lấy n = 2, x1 = x, x2 = h, p1 = p2 = 1, q1 = 1, q2 = p sao cho x, h, x+h ∈ [0;a].
Khi đó vì (2.6) đúng nên ta có
Cho p →0 ta nhận được Φ(x+h) ≤ Φ(x). Điều này chứng tỏ Φ là hàm giảm trên [0;a].
(⇐) Giả sử Φ là hàm giảm trên [0;a] Vì n
Lập luận tương tự như trên ta cũng chứng minh được (ii).
Bổ đề 2.2.6 Cho n∈ N, n > 1, và x i , p i ,∀i = 1, n là các số thực dương sao cho n
P i=1 p i x i ∈ (0;a) Cho f là hàm số xác định trên (0;a) Khi đó
(i) Nếu f(x) x là hàm giảm trên (0;a) thì f n
(ii) Nếu f(x) x là hàm tăng trên (0;a) thì f n
Chứng minh. Đặt Φ(x) = f(x) x Khi đó, áp dụng kết quả của Định lý 2.2.5 với q i p i x i , ∀i = 1, n, ta có
(i) Nếu Φ(x) = f(x) x là hàm giảm thì n
(ii) Chứng minh tương tự.
Nhận xét 2.2.7 Nếu a = ∞ thì trong Định lý 2.2.6, ta lấy p 1 = p 2 ã ã ã = p n = 1, ta được kết quả sau
(i) Nếu f(x) x là hàm giảm trên (0; +∞) và xi > 0, ∀i = 1, n thì f n
(ii) Nếu f(x) x là hàm tăng trên (0; +∞) và xi > 0, ∀i = 1, n thì f n
Bổ đề 2.2.8 Cho p, q, a i (i = 1,2, , n) là những số thực không âm, với 0 < p ≤q, khi đó n
Xét hàm số f(x) =x q p Suy ra f(x) x = x q p −1 = x q−p p Vì f(x) x
= q −p p x q−2p p ≥ 0, ∀x ≥ 0 nên f(x) x là hàm tăng trên
(0,+∞). Áp dụng Nhận xét 2.2.7, suy ra f n
Năm 1979, Peˇcaríc và Vasi´c trình bày một bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.9 Cho p, q, a i (i = 1,2, , n) là những số thực không âm sao cho a p 1 − n
! p 1 Theo Bổ đề 2.2.8, với 0< p ≤ q ta có
Năm 1990, Bjelica trình bày một mở rộng mới của bất đẳng thức loại Aczél như sau. Định lý 2.2.10 Với n ∈ N + , n ≥ 2, 0 < λ ≤ 2 và đặt a i , b i (i 1,2, , n) là những số thực không âm sao choa λ 1 − n
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.2.9 với a λ 1 − n
! 1 2 (2.14A) Áp dụng bất đẳng thức Aczél (2.1) vào vế phải của (2.14A) ta được a λ 1 − n
Bất đẳng thức trong định lý trên được gọi là bất đẳng thức Aczél-Bjelica Gần đây, Tian và Zhou đã trình bày một đảo ngược của bất đẳng thức này Theo định lý 2.2.11, với n ∈ N +, n ≥ 2, và λ < 0, ta có các số thực dương a_i và b_i (i = 1, 2, , n) sao cho a λ 1 − n.
Từ bất đẳng thức (2.5), nếu đặtm = 2, λ1 = λ = λ2 < 0, ar1 = ar, ar2 br (r = 1,2, , n) thì ta được bất đẳng thức (2.15).
Một số ứng dụng
Phần này trình bày ứng dụng bất đẳng thức Aczél và bất đẳng thức loại Aczél trong giải một số bài toán trung học phổ thông.
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z ta luôn có: ax+by +cz+ q (a 2 +b 2 +c 2 ) (x 2 +y 2 + z 2 ) ≥ 2
Biến đổi bất đẳng thức đã cho
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có q
≥ (ax+by+ cz) + (ay +bz+ cx) + (az+ bx+ cy)−(a+b+c)(x+ y+ z)
Nếu 0 ≥ (a +b+ c)(x +y + z)−3(ax+ by +cz) thì bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng, ta chỉ xét trong trường hợp
Bình phương 2 vế của (2) và áp dụng bất đẳng thức Aczél
Vậy bất đẳng thức đề bài được chứng minh hoàn toàn.
Cho hai tam giác ABC và XYZ với a, b, c và x, y, z lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và tam giác XYZ Chứng minh r˚ang z 2 +y 2 −x 2 a 2 + x 2 +z 2 −y 2 b 2 + x 2 +y 2 −z 2 c 2 ≥16S ABC S XY Z
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh (1) trở thành rh
≤ z 2 +y 2 −x 2 a 2 + x 2 +z 2 −y 2 b 2 + x 2 + y 2 −z 2 c 2 (2) Theo bất đẳng thức Aczél
Tuy nhiên bất đẳng thức trên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Vậy ta có đ.p.c.m
Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 0 < (a+ 1)(b−1) ≤ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ta có a 2 −1 b 2 −1 = (ab−1) 2 −(a−b) 2 Áp dụng bất đẳng thức Aczél
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Aczél ta có
Cho a, b, c, d là những số thực không âm sao cho a > b, c > d Chứng minh rằng
Với a, b, c, d là những số thực không âm theo AM-GM (1.1) ta có ac−bd ≤ a 2 +c 2
3 = 1 và a 3 −b 3 > 0; c 3 2 −d 3 2 > 0 (vì a > b, c > d), áp dụng bất đẳng thức Aczél-Popoviciu ta có
Cho a, b, c là những số thực dương sao cho a > b > c Chứng minh rằng
Chúng ta có thể chứng minh điều này thông qua một số biến đổi đơn giản Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Popoviciu để thực hiện sự chứng minh.
Vì a > b > c nên √ a > √ b và 1 c > 1 b với a, b, c là những số thực dương.
Với những điều kiện trên, áp dụng bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Popoviciu ta được a 1 2 −b 1 2
MỘT SỐ MỞ RỘNG BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL
Trong chương này, chúng tôi mở rộng một số bất đẳng thức loại Aczél, bao gồm bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược ở dạng tổng quát, bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược ở dạng tích phân, và làm mịn một số bất đẳng thức loại Aczél Các kết quả được trình bày chủ yếu dựa trên các tài liệu [2, 5].
3.1 Mở rộng của bất đẳng thức Aczél-Vasi´ c-Peˇ caríc đảo ngược
Phần này, ta sẽ trình bày một bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược đã được trình bày ở Chương 2 (Định lý 2.2.4).
Bổ đề 3.1.1 Cho x i ≥ 0, λ i > 0, i = 1,2, , n, 0 < p ≤1 Khi đó n
Bất đẳng thức bị đảo ngược với p ≥1 hoặc p < 0.
Dấu "=" của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x i = x j với mọi i, j 1,2, , n.
Chứng minh Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: p= 1 Khi đó (3.1) đúng.
Khi đó 1 p > 1 và 1−p+p= 1, áp dụng bất đẳng thức H¨older (1.4), ta có n
Dấu "=" của Bất đẳng thức (3.1A) xảy ra khi và chỉ khi αa
1 p i với i = 1,2, , n, trong đó α và β là những số thực không âm thỏa mãn α 2 + β 2 > 0 Khi đó αa
⇔ x i = α β. Vậy dấu "=" của Bất đẳng thức (3.1A) xảy ra khi và chỉ khi x i = x j , với mọi i, j = 1,2, , n Bổ đề 3.1.1 được chứng minh xong.
Bổ đề 3.1.2 Cho arj > 0 (r = 1,2, , n; j = 1,2, , m) và λ1 6= 0, λj < 0, (j = 2, , m) với τ = max
(3.2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m bộ (a 11 , a 21 , , a n1 ), (a 12 , a 22 , , a n2 ), , (a 1m , a 2m , , a nm ) tỷ lệ với nhau (nếu m
Chứng minh Ta xét ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: λ 1 < 0 Khi đó τ = 1 Bất đẳng thức (3.2) đúng vì nó tương đương với bất đẳng thức Holder (1.8).
1 λ j ≥ 1 Khi đó tồn tại t > 1 sao cho m
1 tλ j = 1. Áp dụng bất đẳng thức H¨older (1.8), ta có
= 1, nên sử dụng bất đẳng thức H¨older (1.8) vào vế phải của (3.2A), ta được
Hơn nữa, sử dụng Bổ đề 3.1.1 với t ≥ 1, ta có n
Kết hợp các bất đẳng thức (3.2B) và (3.2C) sẽ cho ta bất đẳng thức (3.2). Trường hợp 3: λ 1 > 0 và m
Bất đẳng thức (3.2) đúng với điều kiện 1 λ j ≤ 1, tương đương với bất đẳng thức H¨older (1.8) Điều kiện để xảy ra dấu "=" trong bất đẳng thức này có thể được suy ra từ Bổ đề 3.1.1 và Bổ đề 1.3.3 (iii).
Sau đây, ta sẽ trình bày một dạng mở rộng của bất đẳng thức Aczél- Vasi´c-Pecari´c đảo ngược (2.5) như sau. Định lý 3.1.3 Cho a rj > 0, λ 1 6= 0, λ j < 0 (j = 2,3, , m) và a λ 1j j − n
Y j=1 a rj (3.3) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1j = n
1 λ j ≤ 1 thì từ Định lý 3.1.3 ta được bất đẳng thức (2.5). Nếu đặt m = 2, λ 1 = p 6= 0, λ 2 = q < 0, a r1 = a r , a r2 = b r (r 1,2, , n) thì từ Định lý 3.1.3 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.1.4 Cho ar > 0, br > 0 (r = 1,2, , n), a p 1 − n
Nhận xét 3.1.5 Với 1 p + 1 q = 1, bất đẳng thức (3.4) rút gọn thành bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Popoviciu (2.3).
3.2 Mở rộng dạng tích phân của bất đẳng thức
Aczél-Vasi´ c-Peˇ caríc đảo ngược
Sau đây ta sẽ trình bày một mở rộng dạng tích phân của bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược Định lý 3.2.1 Cho λ 1 > 0, λ j < 0 (j = 2,3, , m), m
A > 0 (j = 1,2, , m) và f j (x) (j = 1,2, , m) là các hàm khả tích dương Riemann trên [a, b] sao cho A λ j j − R a b f j λj (x)dx > 0 Khi đó m
Chứng minh Với mọi số nguyên dương n, ta chọn một phân hoạch đều trên [a, b] sao cho a < a+ b−a n < ã ã ã < a+ b−a n k < ã ã ã < a + b−a n (n−1)< b, x k = a+ b−a n k, ∆x k = b−a n , k = 1,2, , n.
Theo giả thuyết A λ j j −R a b f j λ j (x)dx > 0 (j = 1,2, , m), nghĩa là
X k=1 f j λ j a+ k(b−a) n b−a n > 0 (j = 1,2, , m), khi đó tồn tại một số nguyên dương N sao cho
X k=1 f j λ j a+ k(b−a) n b−a n > 0, với mọi n > N và j = 1,2, , m. Áp dụng Định lý 3.1.3 ta có bất đẳng thức sau đúng với mọi n > N m
Dựa vào giả thuyết f j (x) (j = 1,2, , m) là các hàm khả tích dương Riemann trên [a, b], ta suy ra m
Q j=1 f j (x) và f j λ j (x) cũng khả tích trên [a, b]. Cho n → ∞ trên cả hai vế của bất đẳng thức (3.5A) ta được bất đẳng thức (3.5) Hoàn thành chứng minh Định lý 3.2.1.
3.3 Một vài làm mịn của bất đẳng thức loại Aczél
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số làm mịn của bất đẳng thức loại Aczél. Định lý 3.3.1 Cho n, m ∈ N + , n ≥ 2 và λ1 ≥ λ2 ≥ ã ã ã ≥ λm > 0 với m
1 λ j ≥ 1 và arj (r = 1,2, , n; j = 1,2, , m) là những số thực dương sao cho a λ 1j j − n
Chứng minh Áp dụng Bất đẳng thức (2.4) trong Định lý 2.2.3 ta nhận được Ve(n) ≤ 0 Tiếp theo, ta chứng minh Ve(n+ 1) ≤ Ve(n) Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: λ 1 > λ 2 > > λ m > 0 và m là số chẵn Khi đó, ta có Ψ(n)
(3.6A) Áp dụng Bất đẳng thức (2.4), ta có Φ(n+ 1)−Φ(n)
Do đó, từ (3.6A) (3.6B) (1.6), ta có Φ(n+ 1)−Φ(n)−Ψ(n+ 1)
Như vậy, sử dụng bất đẳng thức (2.4) và (3.6C), ta được bất đẳng thức (3.6).
Trường hợp 2: λ 1 > λ 2 > ã ã ã > λ m > 0 và k là số lẻ Khi đú Ψ(n)
Từ (3.6E), (3.6D) và (1.6), bằng cách lập luận tương tự như trong trường hợp 1, ta thu được bất đẳng thức (3.6).
Trong trường hợp 3, với điều kiện λ 1 ≥ λ 2 ≥ ≥ λ m > 0 và ít nhất một dấu "=" xuất hiện, đồng thời m là số chẵn, ta áp dụng phương pháp chứng minh tương tự như trường hợp 1 để thiết lập bất đẳng thức (3.6).
Trong trường hợp 4, với điều kiện λ 1 ≥ λ 2 ≥ ≥ λ m > 0 và ít nhất một dấu "=" xuất hiện, trong đó m là số lẻ, chúng ta áp dụng phương pháp chứng minh tương tự như trong trường hợp 2 để đạt được bất đẳng thức (3.6).
Bằng cách áp dụng phương pháp chứng minh tương tự như Định lý 3.3.1 và sử dụng Định lý 2.2.4 thay cho Định lý 2.2.3, chúng ta có thể thu được các kết quả mới Cụ thể, Định lý 3.3.2 chỉ ra rằng với n, m ∈ N +, n ≥ 2, và các giá trị λ 1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ m < 0, tồn tại các số thực dương a rj (với r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) sao cho a λ 1j j − n.
Ve(n+ 1) ≥Ve(n) ≥ 0 (3.7) Định lý 3.3.3 Cho n, m∈ N + , n ≥ 2 ; λ 1 > 0, λ 2 ≤ ã ã ã ≤λ m < 0 với m
≤ 1 và a rj (r = 1,2, , n;j = 1,2, , m) là những số thực dương sao cho a λ 1j j − n
Ve(n+ 1) ≥Ve(n) ≥ 0 (3.8) Đặt m = 2, a r1 = a r , a r2 = b r (r = 1,2,ã ã ã , n) từ Định lý 3.3.2 và Định lý 3.3.3, ta được các hệ quả sau.
Hệ quả 3.3.4 Cho n ∈ N + , n ≥ 2; λ 1 6= 0, λ 2 < 0, 1 λ 1 + 1 λ 2 ≤ 1 và a i , b i (i = 1,2, , n) là những số thực dương, sao cho a λ 1 1 − n
Tương tự, đặt m = 2, a r1 = a r , a r2 = b r (r = 1,2, , n) từ Định lý 3.3.1, ta có hệ quả sau.
≥ 1 với a i b i (i = 1,2, , n) là những số thực dương sao cho a λ 1 1 − n
V ∗ (n+ 1) ≤V ∗ (n) ≤0 (3.10) Đặc biệt, nếu đặt λ 1 = λ 2 = λ < 0 trong Hệ quả 3.3.4 thì nhận được hệ quả sau của bất đẳng thức Aczél-Bjelica đảo ngược (2.15).
Hệ quả 3.3.6 Cho n ∈ N + , n ≥ 2 và λ < 0 với a i , b i (i = 1,2,ã ã ã , n) là số thực dương sao cho a λ 1 − n
Tương tự, nếu đặt λ 1 = λ 2 = λ trong Hệ quả 3.3.5 thì ta nhận được hệ quả sau của bất đẳng thức Aczél-Bjelica (2.14).
Hệ quả 3.3.7 Cho n ∈ N + , n ≥ 2 và 0 < λ ≤ 2 với a i , b i (i 1,2,ã ã ã , n) là cỏc số thực dương sao cho a λ 1 − n
Từ Định lý 3.3.2, ta nhận được một số bất đẳng thức làm mịn mới của bất đẳng thức loại Aczél (2.5) như sau.
Hệ quả 3.3.8 Cho n, m ∈ N + , n ≥ 2 và λ 1 ≤λ 2 ≤ λ 3 ≤ ≤ λ m < 0 với a rj (r = 1,2, , n; j = 1,2, , m) là các số thực dương sao cho a λ 1j j − n
. Chứng minh Từ Định lý 3.3.2, ta có
Sử dụng kỹ thuật tương tự như trong chứng minh Hệ quả 3.3.8, cùng với Định lý 3.3.3 và Định lý 3.3.1, chúng ta có thể thu được một số kết quả làm mịn cho bất đẳng thức Aczél loại (2.5) và (2.4).
Hệ quả 3.3.9 Cho n, m ∈ N + , n ≥ 2 và λ 1 > 0, λ 2 ≤ λ 3 ≤ ã ã ã ≤ λm < 0 với m
1 λ j ≤ 1 và arj (r = 1,2, , n; j = 1,2, , m) là các số thực dương sao cho a λ 1j j − n
Hệ quả 3.3.10 Cho n, m ∈ N + , n ≥ 2 và λ 1 ≥ λ 2 ≥ ã ã ã ≥ λ m > 0 và m
1 λ j ≥ 1 với a rj (r = 1,2, , n; j = 1,2, , m) là các số thực dương sao cho a λ 1j j − n
. Chứng minh Từ Định lý 3.3.1, ta có
Tương tự, ta có một số hệ quả làm mịn của bất đẳng thức loại Aczél như sau.
Hệ quả 3.3.11 Cho n ∈ N + , n ≥ 2 và λ 1 6= 0, λ 2 < 0, 1 λ 1 + 1 λ 2 ≤ 1 với a i , b i (i = 1,2, , n) là các số thực dương sao cho a λ 1 1 − n
Từ Hệ quả 3.3.8 với m = 2 và λ 1 < 0, λ 2 < 0 ta suy ra được ngay bất đẳng thức (3.16).
Từ Hệ quả 3.3.9 với m = 2 và λ 1 > 0, λ 2 < 0 ta suy ra được ngay bất đẳng thức (3.16).
≥ 1 với a i , b i (i = 1,2, , n) là các số thực dương sao cho a λ 1 1 − n
Chứng minh Từ Hệ quả 3.3.10 với m = 2 và λ1 > 0, λ2 > 0 ta suy ra được ngay bất đẳng thức (3.17).
Hệ quả 3.3.13 Cho n∈ N + , n ≥ 2 và λ