Nghiên cứu khoa học Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng

Bài toán bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và quan trọng đối với học sinh trong các kì thi. Không những thế việc xây dựng một bài toán bất đẳng thức sao cho phù hợp với đối tượng học sinh và sao cho bài toán xây dựng nên mang một nét riêng, không trùng lặp là một điều cần thiết.Bất đẳng thức là một dạng toán phát triển tư duy và nâng cao kiến thức cho học sinh cấp THCS và THPT. Trong đó, việc vận dụng các bất đẳng thức cơ bản như Côsi, Bunhiacôpski để giải được thành thạo các bài toán về bất đẳng thức không phải là một điều đơn giản.

A MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và quan trọng đốivới học sinh trong các kì thi Không những thế việc xây dựng một bài toán bấtđẳng thức sao cho phù hợp với đối tượng học sinh và sao cho bài toán xây dựngnên mang một nét riêng, không trùng lặp là một điều cần thiết

Bất đẳng thức là một dạng toán phát triển tư duy và nâng cao kiến thứccho học sinh cấp THCS và THPT Trong đó, việc vận dụng các bất đẳng thức cơbản như Côsi, Bunhiacôpski để giải được thành thạo các bài toán về bất đẳngthức không phải là một điều đơn giản

Thấy được tầm quan trọng của bất đẳng thức, với mục đích hiểu sâu hơn về bất đẳng thức, ứng dụng của bất đẳng thức để tạo tiền đề, cơ sở cho việc học tập tiếp theo

và mở rộng kiến thức cho bản thân Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn ‘Đại

số sơ cấp’ tôi chọn đề tài “Một số bất đẳng thức quan trọng và áp dụng ” làm đề bài

tiểu luận cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về các bất đẳng thức, từ đó

có phương pháp giải phù hợp và bước đầu hình thành khả năng tự sáng tạo bấtđẳng thức Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu hơn vềcác bất đẳng thức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, các định nghĩa, các tính chất cơbản về bất đẳng thức

4 Đối tượng nghiên cứu

- Bất đẳng thức về giá trị tuyết đối

5 Phạm vi nghiên cứu

- Hệ thống các tính chất cơ bản về bất đẳng thức

- Các kiến thức liên quan

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp lại các kiến thức đã học

- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet

- Hỏi ý kiến chuyên gia

7 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận, bài tiểu luận này được chia thành hai chương :Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản bất đẳng thức và đưa ra một số bất đẳng thức quan trọng

Chương 2: Đưa ra bài tập vận dụng cho từng bất đẳng thức, một số bài tập nângcao và ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

B NỘI DUNG CHƯƠNG I MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG

1 Bất đẳng thức

1.1 Định nghĩa

Cho hai số a, b thuộc k (k là trường số hữu tỉ  hay trường số thực )

Ta nói a lớn hơn b và kí hiệu a> b nếu a−b là một số dương Khi đó ta

cũng nói b bé hơn a và kí hiệu b< a

Ta nói a lớn hơn hay bằng b và viết a≥b nếu a−b là một số dươnghoặc bằng không Khi đó ta cũng nói b bé hơn hay bằng a và viết b≤a

Giả sử A(x) , B( x) là hai biểu thức toán học với miền xác định chung của đối số x là S (hoặc có thể xem là hai biểu thức toán học của cùng n đối số

x1,x2, ,x n , nếu ta xem x=( x1, x2, , x n) thuộc kn Ta nói:

Ta chứng minh được dễ dàng các tính chất sau đây trong đó A, B, C, D,… là các

số hoặc các biểu thức toán học của cùng một số đối số xét trên cùng một trường số k

2.2.1 Định nghĩa

Cho n số thực không âm bất kì a1 , a2 ,…, a n , thế thì trung bình cộng của n

số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng

a1+a2+ +an

n

√a1a2 a n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= =an

Bất đẳng thức Côsi còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân

*Chứng minh: Ta dùng phương pháp quy nạp theo n

(a n x−b n)2≥0.

Từ đó suy ra:

a12x2−2a1b1x+b12≥0

a n2x2−2an b n x+b n2≥0Cộng vế theo vế ta được:

Từ đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Nếu A=0 thì a1=a2= =an khi đó bất đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Hàm f (x ) được gọi là lồi chặt nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi λ=0 hoặc

Thật vậy, bất đẳng thức được viết lại thành

a2y( x + y )+b2x( x+ y )≥(a+b )2xy⇔(ay−bx )2≥0 (luôn đúng)+ Giả sử bất đẳng thức Schwartz đúng với n−1 , ta sẽ chứng minh nó đúng với

n Với a1,a2, ,a n là các số thực bất kì và b1,b2, ,b n là các số dương Khi đó ta

CHƯƠNG II BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Bài tập áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a,b,c ta được: a+b +c≥3√3abc

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ab,bc ,ca ta được: ab+bc+ca≥3 √3a2b2c2

Suy ra (1+a)(1+b)(1+c )≥1+33√abc+3√3a2b2c2+abc

hay (1+a )(1+b)(1+c )≥(1+√3abc)3

Bài toán 2: Với mọi số thực a Chứng minh:

√ a+b+ √ b +c + √ c+a≤ √ 6

*Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi –Bunhiacôpski cho hai bộ số 1; 1; 1 và a b , b c ,

c a ta có:

( 1 √ a+b+1. √ b+c+1. √ c+a)2≤(1+1+1) [ ( √ a+b)2+( √ b+c )2+( √ c+a)2]

⇒( √ a+b+ √ b+c+ √ c+a )2≤3(a+b+b+c+c+a)=6

sin A +sin B+sin C≥ 3 √ 3

dương, p là nửa chu của tam giác ABC Chứng minh rằng

y2

y + √ zx +

z2z+ √ xy ≥

3 2

*Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức Schwartz, ta có:

y2y+ √ zx +

z2z+ √ xy ≥

x+ y+ z

3 2

Mặt khác:

(a−b )2+(b−c )2+(c −a )2≥0 ⇔2 a2+2 b2+2 c2−2 ab−2bc−2ca≥0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1=x2= =xn Với S là tổng của n số dương

x1,x2, , x n đã cho, khi đó tích có giá trị lớn nhất.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1=x2= =xn Với P là tích của n số dương

x1,x2, , x n đã cho, khi đó tổng có giá trị bé nhất.

9Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là

1

9 , khi a=b=c=

13

và a2+b2+c2=4 Giá trị đó đạt được khi nào?

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương √ x+1 và

7.3 Bài tập tự luyện

3 2000

x x

8 Một số bài tập nâng cao

*Chứng minh:

x3(yz +zt +ty )=

11

1

y3(xz +zt +tx )=

11

1

z3(yt +xt+xy )=

11

c2a+b+d+

d2a+b+c

Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có:

a2

b+c +d+

b2a+ c+ d+

c2a+ b+d+

d2a+b+c≥

(a+b+ c+d )23(a+b+c +d )=

*Nhận xét: Ta thấy rằng đây là một bài toán khá khó, cái khó ở bài toán này là rất khó nhận ra dấu hiệu để áp dụng các bất đẳng thức, vì vậy đòi hỏi học sinh phải biết cách phân tích để đưa về các bất đẳng thức quen thuộc và vận dụng các bất đẳng thức một cách linh hoạt Để giải được bài toán này

ta phải sử dụng đến hai bất đẳng thức khác nhau cùng một lúc, đó là bất đẳng thức Côsi và Schwart

2 x3+27

x2 ≥9

*Chứng minh:

*Nhận xét: Đây là một dạng toán không quá khó đối với học sinh nhưng đòi hỏi

học sinh phải linh hoạt trong việc vận dụng các bất đẳng thức để giải toán Ta thấy

rằng hai số dương 2x và

27

x2

có tích không phải là một hằng số Muốn khử được

x2 thì tử phải có x2=x x do đó phải biểu diễn 2 x =x+x rồi dùng bất đẳng thức

Côsi cho 3 số dương

A= x2

y +z +

y2z+x +

z2x+ y ≥1

*Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương

x2y+z và

z+x

4 ta được:

y2z+x+

x+ y

4 ta được:

z2x+ y +

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được :

x2

y +z +

y2z+ x +

z2x+ y +

x+ y +z

2

⇒ A≥1

*Nhận xét: Ta thấy rằng nếu để nguyên A thì khó có thể giải quyết bài toán vì A

không có bất cứ dấu hiệu quen thuộc nào để ta áp dụng các bất đẳng thức để giải quyết

bài toán Ta sẽ thêm

y+z

4 vào hạng tử thứ nhất

x2y+z ,

có thể khử được y+z , z+ x , x+ y ở mẫu các hạng tử của A, từ đó giải quyết

32<

1

2−

13 1

k cho mỗi hạng tử của S, rồi cộng vế theo vế các bất

đẳng thức lại với nhau thì vế phải của bất đẳng thức mới chỉ còn lại 1−

1

n , từ đó ta

có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng

9 Ứng dụng bất đẳng thức vào việc giải phương trình

Bài toán 1: Giải phương trình

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

*Giải:

Áp dung bất đẳng thức Côsi ta có

x 

C KẾT LUẬN

Qua nghiên cứu, bài tiểu luận này đã đạt được một số kết quả sau:

1 Hệ thống lại các khái niệm, tính chất và những kiến thức liên quan đến bấtđẳng thức.

2 Tìm hiểu sâu hơn về một số bất đẳng thức quan trọng, và đưa ra các bài tậpvận dụng cho từng bất đẳng thức để học sinh nắm bài vững kiến thức về từng bất đẳngthức Hướng dẫn học sinh những thủ thuật chứng minh bất đẳng thức và những dấuhiệu nhận biết để áp dụng các bất đẳng thức cho phù hợp

3 Đưa ra một số bài tập về bất đẳng thức ở mức độ khó để những học sinh cóhọc lực khá- giỏi phát triển tư duy Đưa ra các đánh giá nhận xét để học sinh hiểu rõhơn bản chất bài toán từ đó học sinh có thể tự giải các bài toán tương tự

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Kỳ- Hoàng Thanh Hà, Đại số sơ cấp và thực hành giải toán, NXB Đại Học Sư Phạm, 2005

[2] Võ Quốc Bá Cẩn- Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức và những lời giải hay, NXB

Hà Nội, 2009

[3] Vũ Đình Hòa, Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2005

[4] website http://m.tailieu.vn, http://toan.hoctainha.vn

E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 1

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Cấu trúc đề tài 2

B NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG 3

1 Bất đẳng thức 3

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 3

2 Các bất đẳng thức quan trọng 4

2.1 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 4

2.1.1 Định nghĩa 4

2.2 Bất đẳng thức Côsi 4

2.2.1 Định nghĩa 4

2.3 Bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski 6

2.3.1 Định nghĩa 6

2.4 Bất đẳng thức Becnuli 7

2.4.1 Định nghĩa 7

2.5 Bất đẳng thức Jensen 7

2.5.1 Hàm lồi và hàm lõm 7

2.5.1.1 Hàm lồi 7

2.5.1.2 Hàm lõm 7

2.5.2 Bất đẳng thức Jensen 8

2.5.2.1 Định nghĩa 8

2.6 Bất đẳng thức Schwartz 8

2.6.1 Định nghĩa 8

CHƯƠNG II BÀI TẬP ÁP DỤNG 10

1 Bài tập áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 10

1.1 Bài tập áp dụng 10

1.2 Bài tập tự luyện 11

2 Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi 11

2.1 Bài tập áp dụng 11

2.2 Bài tập tự luyện 12

3 Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi –Bunhiacôpski 12

3.1 Bài tập áp dụng 12

3.2 Bài tập tự luyện 13

4 Bài tập áp dụng bất dẳng thức Becnuli 13

4.1 Bài tập áp dụng 13

4.2 Bài tập tự luyện 14

5 Bài tập áp dụng bất đẳng thức Jensen 15

5.1 Bài tập áp dụng 15

5.2 Bài tập tự luyện 16

6 Bài tập áp dụng bất đẳng thức Schwartz 16

6.1 Bài tập áp dụng 16

6.2 Bài tập tự luyện 17

7 Ứng dụng bất đẳng thức để giải một số bài toán cực trị 18

7.1 Các định lí 18

7.1.1 Mệnh đề 1 18

7.1.2 Định lí 2 18

7.1.3 Mệnh đề 3 18

7.1.1 Định lí 4 19

7.2 Áp dụng 19

7.3 Bài tập tự luyện 20

8 Một số bài tập nâng cao 21

9 Ứng dụng bất đẳng thức vào việc giải phương trình 24

C KẾT LUẬN 26

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 28