SKKN 2020-2021

Vì thế tôi đã suy nghĩ làmthế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em rèn tấtcả các kĩ năng và biết giải các dạng toán về phương trình bậc hai khi gặp trong đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO

TRƯỜNG THCS CAO MẠI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

XÂY DỰNG BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT.

Tác giả: Hà Thị Xuân.

Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học.

Chức vụ: Giáo viên.

Đơn vị công tác: Trường THCS Cao Mại.

Lâm Thao, năm 2020

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN

I CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Định hướng đổi mới căn bản toàn diện giáo dục, đặc biệt là tích cực đổimới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị quyết Trung ương IIkhóa VIII, được thể chế hóa trong Luật Giáo dục 43/2019/QH14 (năm 2019)

Trong đó, điều 30.3 đã nêu “Phương pháp giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng từng môn học, lớp học và đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, hứng thú học tập, kỹ năng hợp tác, khả năng tư duy độc lập; phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực của người học” Báo cáo chính trị Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XII đã nêu “ Thứ nhất, giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu Thứ hai, đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo là khâu đột phá để phát triển nguồn nhân lực Thứ ba, phát triển giáo dục và đào tạo là

nền tảng để phát triển con người Việt Nam trong bối cảnh hiện nay ” Do đó,

người giáo viên cần có sự đầu tư, tìm tòi, sáng tạo nhiều hơn để đáp ứng đượcnhu cầu giảng dạy theo định hướng đổi mới hiện nay

Môn Toán ở cấp THCS nói chung và môn toán lớp 9 nói riêng có một vaitrò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức mà học sinhđược lĩnh hội; mặt khác, nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng cầnthiết cũng như phát triển những năng lực chung và năng lực đặc thù để giúp các

em hoàn thiện bản thân và tiếp tục học lên THPT, học nghề hoặc đi vào các lĩnhvực lao động sản xuất Do đó, người giáo viên phải có cách nhìn bao quát mởrộng cho từng phần kiến thức, đi sâu vào nghiên cứu, tìm tòi, khai thác và hướngdẫn học sinh áp dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán tổng hợp để phát huytính tích cực, rèn luyện tư duy và các kĩ năng cần thiết cho học sinh

Đặc biệt, đối với các em học sinh khối lớp 9 chuẩn bị thi chuyển cấp để vàoTHPT thì việc chuẩn bị tốt những kiến thức nói chung cũng như rèn kĩ năng giảitoán thành thạo trở nên hết sức cần thiết Mặt khác, trong các đề thi vào lớp 10THPT hệ công lập và THPT chuyên, trong các đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9các cấp thường xuất hiện bài toán tổng hợp về phương trình bậc hai và ứng dụng

của hệ thức Vi-ét khá phổ biến Trong khi đó nội dung và thời lượng về phầnnày trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng , còn trong các tàiliệu tham khảo chỉ viết chung chung hoặc các dạng bài tập đơn lẻ theo từng dạngnên học sinh lúng túng và gặp khó khăn khi giải dạng toán này và dễ mất điểmtrình bày trong các bài kiểm tra hoặc các kì thi lớn Vì thế tôi đã suy nghĩ làmthế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em rèn tất

cả các kĩ năng và biết giải các dạng toán về phương trình bậc hai khi gặp trong

đề thi đồng thời góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển Bằngkinh nghiệm giảng dạy và tự bồi dưỡng tôi đã “ Xây dựng bài tập tổng hợp về phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức Vi-ét ” cho học sinh lớp 9trường THCS Cao Mại, huyện Lâm Thao ôn luyện để rèn kĩ năng tư duy, kĩnăng giải toán cũng như kĩ năng trình bày đồng thời góp phần giúp các em pháttriển các năng lực cần thiết ở lứa tuổi THCS này

II PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN TẠO RA SÁNG KIẾN:

1 Phương pháp tự nghiên cứu, bồi dưỡng:

Thông qua học tập bồi dưỡng thường xuyên, nghiên cứu sách giáo khoa,sách bài tập, các tài liệu tham khảo, các đề thi vào THPT cả nước nói chung và

đề thi của tỉnh Phú Thọ nói riêng

Thảo luận cùng đồng nghiệp, học tập kinh nghiệm giảng dạy của các giáoviên đồng nghiệp có kinh nghiệm và từ kinh nghiệm của bản thân, tôi đã rút rađược một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến

2 Phương pháp giải quyết vấn đề:

Trong những năm học vừa qua khi giảng dạy cho học sinh lớp 9 phầnphương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của hệ thức Vi-ét, tôi đã quan tâm đếnnhững vấn đề mà học sinh mắc phải trong quá trình tư duy, trình bày lời giải.Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dưới các hìnhthức khác nhau, bước đầu tôi đã tổng hợp được các dạng toán

Đặc biệt là trong quá trình ôn thi vào THPT cho các em tôi nhận thấy trongcác đề thi trên cả nước nói chung và đề thi của tỉnh Phú Thọ nói riêng đều xuấthiện bài tập tổng hợp về phương tình bậc hai và ứng dụng của hệ thức Vi-ét Do

đó, để có kết quả tốt trong các bài kiểm tra và thi cử thì học sinh phải luyện tậpthêm các bài toán tổng hợp về phần này để thành thạo cách giải toán và kĩ năngtrình bày

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Sau khi xây dựng được các dạng bài tập, phương pháp giải và hệ thống bàitập tổng hợp, tôi đã thực nghiệm lên lớp hướng dẫn học sinh ôn luyện theo hệthống các dạng bài tập đó bằng các phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực

III MỤC TIÊU:

Sáng kiến giúp cho học sinh lĩnh hội và khắc sâu kiến thức một cách có hệthống về phương trình bậc hai một ẩn và ứng dụng của hệ thức Vi-ét, đồng thờigiúp các em rèn luyện tốt khả năng tự học và cách trình bày bài toán, giúp tháo

gỡ những vướng mắc, khó khăn, tạo niềm tin cho các em Từ đó các em có thểlàm tốt các bài toán tổng hợp về phương trình bậc hai trong các kỳ thi tuyển,giúp nâng cao chất lượng giáo dục đại trà và chất lượng học sinh giỏi

Giúp giáo viên toán THCS nói chung và bản thân tôi nói riêng có thêmthêm tài liệu dạy học cho học sinh ôn thi vào THPT và ôn thi học sinh giỏi.Đồng thời, sáng kiến giúp cho các đồng nghiệp là giáo viên toán THCS quantâm hơn đến một phương pháp dạy học tích cực rất dễ thực hiện, đó là phươngpháp hoạt động nhóm để giúp học sinh ôn luyện tổng hợp và rèn kĩ năng giảitoán, kĩ năng trình bày cho học sinh

CHƯƠNG II: MÔ TẢ SÁNG KIẾN

I NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN:

1 Phân tích, đánh giá thực trạng của vấn đề:

1.1 Đối với giáo viên:

Khi dạy về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét, trong chương trình thờilượng không nhiều; thông thường, giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phânphối chương trình với nội dung SGK mà chưa có thời gian đầu tư cho việc hệthống, tổng hợp các dạng bài tập về phương trình bậc hai và ứng dụng của hệthức Vi-ét Do đó, nếu giáo viên không có sự tập hợp, sắp xếp đầy đủ, khoa họcthì kết quả học tập của học sinh ở dạng bài này không được cao.

Thời gian dành cho việc hướng dẫn học sinh khá giỏi tìm tòi các phươngpháp giải mới sáng tạo áp dụng cho các bài toán khó để mở rộng kiến thức vànâng cao tư duy trong các giờ bài tập còn rất hạn chế, thậm chí không có Thờigian bồi dưỡng học sinh giỏi chưa nhiều trong khi lượng kiến thức cần bồidưỡng cho học sinh lại khá lớn

1.2 Đối với học sinh:

Thực tế cho thấy hiện nay, học sinh rất lười tư duy trong quá trình học tập,

vì vậy việc xây dụng một phương pháp học tập đúng đắn cùng với việc xâydựng một hệ thống bài tập phù hợp và phương pháp giải chặt chẽ là hết sức cầnthiết Điều đó không những giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn hoànthiện kỹ năng giải toán và cách trình bày để các em đạt kết quả tốt trong quátrình học tập cũng như trong các kì thi, tạo niềm tin, động lực cho các em họctập tốt môn toán

Đối với học sinh trường THCS Cao Mại, phần lớn các em có trình độ nhậnthức không đồng đều với nhiều lí do khác nhau, đa số các em nhận thức về môntoán còn hạn chế, điều này gây trở ngại lớn đến việc phát huy tính tích cực vàchủ động khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em không ham học toán vàkhông tự tin khi giải toán, lúng túng trong tư duy và trình bày, thậm chí các em

sợ học toán

1.3 Về kiến thức:

Nội dung kiến thức học sinh được trang bị sau khi học xong bốn bài:Phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, công

thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét và ứng dụng khángắn gọn, chủ yếu cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất

Lượng bài tập trong sách giáo khoa ít, chủ yếu là rèn học sinh kĩ năng giảiphương trình bậc hai một ẩn và một số bài tập đơn lẻ như xác định hệ số, giảiphương trình, nhẩm nghiệm hoặc tìm hai số biết tổng và tích

Thời lượng phân bổ các tiết cho phần này còn hạn chế Do vậy, chưa khaithác hết được các dạng bài tập ứng dụng của hệ thức Vi-ét, đồng thời chưa rènđược kỹ năng trình bày và khả năng tư duy các dạng bài toán mở rộng cho họcsinh

Các bài toán về phần này rất phong phú và đa dạng đòi hỏi phải vận dụngkiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sátnhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đốivới học sinh THCS khá là khó, các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìmlời giải cho bài toán này Đặc biệt, nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục

tư tưởng qua môn toán, hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháptối ưu cho một công việc cụ thể sau này Chính vì vậy các dạng toán này thườngxuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thituyển sinh vào THPT

1.4 Về tài liệu:

Trên thị trường hiện nay, số lượng sách tham khảo ở các môn học nóichung và môn toán nói riêng rất nhiều, đa dạng về mẫu mã và hình thức củanhiều tác giả, song đa số có nội dung trùng lặp, các cuốn sách thường viết dướidạng đưa ra kiến thức cơ bản và mở rộng sau đó là đưa ra các dạng bài tập đơn

lẻ là chủ yếu và hướng dẫn giải Do vậy học sinh khi muốn học phải cùng lúctìm bài và cách giải trên nhiều sách trong khi quỹ thời gian của các em phảidành cho nhiều môn học

2 Tồn tại, hạn chế:

Quỹ thời gian của giáo viên và học sinh dành cho việc mở rộng, đào sâukiến thức còn hạn chế Nhiều em học sinh lười tư duy, thụ động, không chịu khóhọc hỏi, tìm tòi, sáng tạo.

Tháng 4 năm 2018, khi chưa áp dụng sáng kiến, sau khi hoàn thành việcgiảng dạy và ôn tập các bài toán đơn lẻ như trong sách giáo khoa và sách bài tập

về phương trình bậc nhất một ẩn và hệ thức Vi-ét, tôi tiến hành kiểm tra khảo sáthọc sinh khối 9 với đề toán sau:

ĐỀ BÀI

( Thời gian làm bài 45 phút )

Bài 1 (4,0 điểm) Giải các phương trình:

Bài 3 (2,0 điểm) (Trích đề thi vào THPT tỉnh Phú Thọ năm học 2016-2017)

Cho phương trình: x2  2x m 5 0   (m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn: 1 2

2x 3x 7

Với ba bài toán đưa ra, mặc dù hai bài đầu chỉ kiểm tra kiến thức cơ bảnnhất thì tôi thấy số lượng các em giải trọn vẹn cả ba bài chiếm ít, một số em chỉgiải được bài toán 1, phần lớn các em trình bày lời giải còn mắc nhiều sai lầm,ngộ nhận, thiếu cơ sở dẫn chứng ở bài 2 hoặc không tìm ra hướng giải bài 3

3 Nguyên nhân của những tồn tại, hạn chế:

Nhận thức của học sinh không đồng đều, nhiều em trình độ nhận thức cònhạn chế, quỹ thời gian phải phân chia cho nhiều môn học, phải tích lũy lượngkiến thức lớn đồng thời phải rèn luyện bản thân về nhiều mặt.

Học sinh chưa nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng Các dạng bài tập ứngdụng của phần này khá nghiều, cùng một dạng bài nhưng có nhiều cách hỏi khácnhau làm cho học sinh lúng túng, mắc sai lầm hoặc thiếu cơ sở dẫn chứng

Học sinh chưa nắm được phương pháp giải các dạng bài tập cũng như chưađược rèn luyện cách trình bày nhiều Các em không biết làm thế nào để xuấthiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố, điều kiện đã biết để giảibài tập Mặt khác, kĩ năng tính toán và biến đổi của các em chưa thành thạo domức độ nhận thức chung còn hạn chế

4 Phân tích, đánh giá và chỉ ra tính cấp thiết cần tạo ra sáng kiến:

Từ thực trạng và những tồn tại, hạn chế như vậy, tôi thấy cần thiết phảihướng dẫn cho các em cách sử dụng và khai thác linh hoạt công thức nghiệm vàứng dụng của hệ thức Vi-ét, đồng thời cần phải đầu tư thời gian để tổng hợp cácdạng bài tập đầy đủ, phương pháp giải lô-gic và đặc biệt là xây dựng được hệthống bài tập tự luyện tổng hợp cho học sinh ôn luyện là rất cần thiết Do đó, tôi

đã dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụng sáng kiến của mình, đặc biệttrong năm học 2018-2019 tôi đã khẳng định được kết quả của sáng kiến

II GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN:

Giải pháp 1 Hệ thống kiến thức liên quan đến SKKN mà học sinh cần lĩnh hội:

Hiện nay rất nhiều em học sinh có suy nghĩ là khi học toán phần lý thuyếtkhông mấy quan trọng nên khi học chỉ dành thời gian tập trung vào giải quyếtcác bài tập mà lướt qua những phần kiến thức nền tảng cơ bản nhất của lý thuyếtmang lại Do đó, khi các em học sinh không nắm vững các phần lý thuyết như:các định nghĩa, định lý hay tính chất thì các em chỉ có thể làm được những phầnbài tập ở mức độ đơn giản nhất Cho nên, để học sinh giải quyết tốt các dạng bàitập toán phần này, tôi cố gắng giúp các em lĩnh hội tốt các nội dung kiến thức cơbản như sau:

1.1 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn:

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax2 bx c  0 (a 0), trong đó a b c, ,

 Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

a

  

1.3 Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

Xét phương trình ax2 bx c  0a 0 với b 2 'b và biệt thức

 2

' b' ac

 Nếu   ' 0phương trình vô nghiệm

 Nếu   ' 0phương trình có nghiệm kép 1 2

 Hệ thức Vi-ét: Cho phương trình bậc hai ax2 bx c  0 a 0

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình thì x1 x2 b; .x x1 2 c



 Nếu phương trình có a b c   0 thì phương trình có một nghiệm là

x  , nghiệm kia là 2

c x

a



 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng

S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình2

0

X  SX P (ĐK: 2

4

S  P)

Giải pháp 2 Hệ thống các dạng toán thường gặp và phương pháp giải:

Mỗi đơn vị kiến thức có rất nhiều dạng toán để cho học sinh vận dụng kiếnthức vào giải bài tập, mỗi dạng toán lại có thể có nhiều cách giải khác nhau, việckhai thác nội dung bài toán, tìm ra phương pháp giải tối ưu có tác dụng tích cựctrong phát triển tư duy lô gíc, kĩ năng, sáng tạo góp phần nâng cao chất lượngdạy và học bộ môn Toán THCS Do đó, với phần này, tôi tổng hợp được cácdạng toán và phương pháp giải lô-gic, chặt chẽ như sau:

Dạng 1 Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn, xác định các hệ số a, b, c; xác định số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

Trong đó a b c, , là các số thực cho trước, x là ẩn số

 Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào dấu của  hoặc  '

Dạng 2 Giải phương trình bậc hai một ẩn:

Phương pháp giải :

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng vế trái là một bình phương,

vế còn lại là một số hoặc một bình phương

Cách 2: Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

Cách 3: Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn.

Dạng 3 Lập phương trình bậc hai một ẩn khi biết hai nghiệm x x1 ; 2hoặc tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng:

Phương pháp giải : Theo hệ thức Vi-ét ta có 1 2

Điều kiện để có hai số đó là: S2  4P 0

Dạng 4 Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn:

 Nếu   0(hoặc   ' 0 ) phương trình vô nghiệm

 Nếu   0 (hoặc   ' 0) phương trình có nghiệm kép :

Lưu ý: Nếu a chứa tham số m thì ta phải xét cả hai trường hợp a 0 và a 0.

Dạng 7 Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện:

biết một nghiệm cho trước, tìm

Thay giá trị của nghiệm vào phương trình,giải tìm m Từ đó suy ra nghiệm còn lại

a b c

(chứa tham số m) có hai nghiệm

thỏa mãn hệ thức cho trước.

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để

phương trình đã cho có nghiệm x1, x2

Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện cho

trước suy ra phương trình có ẩn là tham

b

 +) TH2:a 0 thì phương trình bậc hai một ẩn

h) Phương trình có hai nghiệm

thỏa mãn điều kiện về dấu :

+) Hai nghiệm cùng dấu

 Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

 Bước 3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó

đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Giải pháp 3 Xây dựng hệ thống bài tập tổng hợp:

Với phương trâm "Trăm hay không bằng tay quen”, khi các em được ôntập, rèn luyện qua một hệ thống các dạng bài tập đầy đủ thì kiến thức sẽ “ngấm”rất nhanh và các em sẽ không còn cảm thấy “sợ” khi phải gặp dạng bài đó nữa

Do đo, tôi đã xây dựng hệ thống bài tập tổng hợp về phần này như sau:

Bài toán 1 Cho phương trình : x2  2m 3 x m 2  3m 0 (*) ; m là tham số

1 Giải phương trình (*) với m 2; m 3; m 2.

2 Tìm m để phương trình (*) có một nghiệm bằng 5, tìm nghiệm còn lại

3 Chứng minh rằng (*) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khi m thay đổi

4 Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

5 Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm cùng dấu

6 Tính giá trị biểu thức sau theo m:

1 2

x  x

7 Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2 thỏa mãn điềukiện:

1 Giải phương trình (*) với m 2; m 3; m 2.

+) Thay m 2vào phương trình (*), ta được: x2  x 2 0 

Vì a b c     1  1   2  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x  ; 2

2 2 1

c x a

+) Thay m 2 vào phương trình (*), ta được: x2  7x 10 0 

Ta có :    9 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

7 3

5 2

x    ; 2

7 3

2 2

x   

2 Tìm m để phương trình (*) có một nghiệm bằng 5, tìm nghiệm còn lại.

Vì phương trình (*) có một nghiệm bằng 5 nên thay x 5 vào (*) ta được:

5  2m 3 5 m  3m  0 m  13m 40 0  Giải phương trình ta tìm được nghiệm m 5;m 8

+) Thay m 5vào phương trình (*), ta có: x2  7x 10 0 

Giải phương trình ta được tập nghiệm là: S 2;5

+) Thay m 8vào phương trình (*), ta có: x2  13x 40 0 

Giải phương trình ta được tập nghiệm là: S 5;8

Vậy, với m 5 thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 5, nghiệm còn lại là 2.Với m 8 thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 5, nghiệm còn lại là 8.

3 Chứng minh rằng (*) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khi m thay đổi.

Ta có:  2m 32 4.m2  3m  4m2  12m  9 4m2  12m 9

Vì    9 0 với mọi số thực m, nên phương trình (*) luôn có hai

nghiệm phân biệt khi m thay đổi

4 Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu:

Từ ý 3 ta có phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a c  0

5 Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm cùng dấu.

Từ ý 3 ta có phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu  x x1 2  0

Vậy tìm được m 3 hoặc m 0

6 Tính giá trị biểu thức sau theo m:

Từ ý 3 ta có   0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt với m

Khi đó tập nghiệm của phương trình là:

m x

Bài toán 2 Cho phương trình: x2 2m 1 x m 2  1 0  (*) ; m là tham số.

1 Giải phương trình (*) với m 4

2 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm bằng 4, tìm nghiệm còn lại

3 Tìm giá trị của m để phương trình (*) luôn có nghiệm

4 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó

5 Tìm giá trị của m để phương trình (*) vô nghiệm

6 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dương

7 Tính giá trị biểu thức sau theo m: 2 2

1 2

x x

8 Khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa hai

nghiệm không phụ thuộc vào m.

9 Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa

1 Giải phương trình (*) với m 4.

Thay m 4 vào phương trình (*) ta được: x2  6x 15 0 

 x2  6x   9 6 0

 x32  6 0

Vì x 32  0,  x R nên x 32    6 6 0,  x R

Vậy phương trình (*) vô nghiệm khi m 4

2 Tìm giá trị m để phương trình (*) có nghiệm bằng 4, tìm nghiệm còn lại.

Thay x 4 vào phương trình (*) ta được: 16 2  m 1 4 m2 1 0 

8 4

1

x    x    Vậy, với m 1 thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 4, nghiệm còn lại là 0; với m 7 thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 4, nghiệm còn lại là 12

3 Tìm giá trị của m để phương trình (*) luôn có nghiệm.

Ta có:  2 2

       Phương trình (*) luôn có nghiệm khi và chỉ khi:    0 2m  2 0 m1

Vậy với m 1 thì phương trình (*) luôn có nghiệm

4 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.

Khi đó, x1 x2   m 1 0.

Vậy với m 1 thì phương trình (*) có nghiệm kép, nghiệm kép đó là 0

5 Tìm giá trị của m để phương trình (*) vô nghiệm.

6 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

+) Ta có:   ' m 12 m2   1 2m 2 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:     0  2m  2 0  m  1 ; (1)

Kết hợp điều kiện ta (1) được m 1 thì (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dương

7 Tính giá trị biểu thức sau theo m: 2 2

Vậy hệ thức cần tìm là: 4x x1 2  (x1x2)2 4(x1x2)

9 Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1 , 2

thỏa mãn điều kiện

Thử lại ta được m 0, m 2, m 3 là các giá trị cần tìm

10 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn

Thử lại ta được m 1 là giá trị cần tìm

Cách khác: Yêu cầu bài toán tương đương với    0 m 1

x x x x   m m    m   m c) Ta có: x12 x22  7x x1 2  5x1 x2  0

m m



