ng d ng tích phân tính di n tích, th tích NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH, TH I DI N TÍCH HÌNH PH NG XÁC NH B I Ư NG CONG y = f(x) DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 1.1 Bài tốn: y TÍCH Ư NG CONG: ( C ) : y = f ( x )  Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i Ox : y =  x = a, x = b  y O f(x) > a b S x S O a b x f(x) < b 1.2 Công th c t ng quát : S= ∫ f ( x ) dx a 1.3 Công th c khai tri n: y b a S = ∫ f ( x ) dx a n u f(x) ≥ f(x) > f(x) > a b ∫ O a c d S3 S1 b S = − f ( x ) dx n u f(x) ≤ a c b c S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a c 2.1 Bài toán: b f(x) < d DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I d S2 x Ư NG CONG: ( C1 ) : y = f ( x )  Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x )   x = a, x = b b 2.2 Công th c t ng quát: S= ∫ a y f ( x ) − g ( x ) dx y S O S1 x a b g(x) g(x) f(x) f(x) O S2 c a g(x) x b f(x) 217 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương 2.3 Cơng th c khai tri n: b a S = ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx n u f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a, b] a b b S = ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx n u f(x) ≤ g(x) ∀x∈[a, b] a c c S = ∫ b ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + a ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx c DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I CÁC 3.1 Bài toán 1: Ư NG CONG T C T KHÉP KÍN ( C1 ) : y = f ( x )  Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i  ( C2 ) : y = g ( x )  x = a Bư c 1: Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔  x = b  y f(x) S b Bư c 2: S d ng S = ∫ g(x) f ( x ) − g ( x ) dx O a x b a y 3.2 Bài toán 2: g(x) C f(x) Tìm di n tích hình ph ng ( C1 ) : y = f ( x )   S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x )  ( C3 ) : y = h ( x )  A h(x) S B O Bư c 1: Gi i phương trình tương giao → tìm hồnh a c b x giao i m C ≡ ( C1 ) ∩ ( C2 ) gi i phương trình f(x) = g(x) C ≡ C1 ∩ C2    A ≡ C ∩ C  A ≡ ( C2 ) ∩ ( C3 ) gi i phương trình g(x) = h(x)   B ≡ C ∩ C  B ≡ ( C3 ) ∩ ( C1 ) gi i phương trình h(x) = f(x)    c Bư c 2: S d ng S = ∫ a b ( f ( x ) − h ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − h ( x ) ) dx c C n ph i i n " vdt" vào k t qu cu i toán tính di n tích hình ph ng CHÚ Ý: 218 ng d ng tích phân tính di n tích, th tích CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài Tính S: {( P ) : x } = ay ; ( P2 ) : y = ax ( a > 0) y Gi i  x4  x2 y = y = ( P1 ) ∩ ( P2 ) :  a ⇔  a  y2 = ax  y2 = ax   a (P ) S x   x = 0, y =  = ax x = a x ⇔  a2 ⇔ ⇔  x = a, y = a  y = ax  y2 = ax   a O x (P ) a 2 a  x2  x3  2a a a − = S =  ax − x x−  = ( vdt)  dx =  a  3a  3a   a ∫ { } Bài Tính S: (C ) : y − 2y + x = ; ( D ) : x + y = y Gi i (C ) : y − 2y + x =  ⇔  ( D ) : x + y =  (C ) : x = − y + 2y   ( D ) : x + y =  x = ∫ ∫ (−y -3 y S = ( − y + 2y ) − ( − y )  dy =   S +  y = 0; x =  y = 3; x = −3 (C ) ∩ ( D ) : − y + 2y + y = ⇔  + 2y + y ) dy y +2 x=- O y x 3  y3 3y  = ( − y + 3y ) dy =  − +  = − ⋅ 27 + ⋅ = ( vdt)  2  0 ∫ { } Bài Tính S: ( P ) : y = 2x ; ( D ) : x − 2y + = ; Ox : y = y Gi i  y2 = ( 2y − )  ( P ) ∩ ( D ) ⇔  y = 2x ⇔    x = 2y −  x = 2y −    y2 − 4y + =  y =  ⇔ ⇔ x = 2y − x =  S (D) -2  y2   y3  S =  − ( 2y − )  dy =  − y + 2y  = ( vdt)     ∫ O x (P) -2 219 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương { 7−x Bài Tính S: ( P ) : y = − x − 8x + ; ( H ) : y = x −3 ( ) } y Gi i ( P ) ∩ ( H ) : − ( x − 8x + ) = − x x −3 (P) O -1 x = x ( x − 11x + 28 ) x = ⇔ =0⇔  (3 − x ) x =  S 3 x (H) 7 − x  S =  − ( x − 8x + ) − dx x − 3   ∫  x3 4x   x 8x 4  − x − 4ln x −  = + 8ln ( vdt) = − + − −  dx =  − + 3 x − 3 3    ∫ { } Bài Cho: ( P ) : y = 2x ; ( C ) : x + y = (P) chia (C) thành ph n, tìm t s di n tích c a ph n ó Gi i  y2  th ta có: S2 =  − y −  dy 2  ∫ Nhìn vào =2 ∫ y y3 − y dy − y dy = 2I − ∫ 2 = 2I − O ∫ t y = 2 sin t ⇒ dy = 2 cos tdt − y dy 2 x Xét I = S -2 π4 I= ∫ − y dy = ∫ − 8sin t 2 cos tdt = π4 =8 π4 ∫ cos t dt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t    V y S2 = 2I − − sin t cos tdt π4 ∫ 8 = 2π + − = π + 3  π4 0 π 1 = 4 +  = π +  2 ( vdt) Ta có: S1 + S2 = π ( 2 ) = 8π 6π − 18π − 9π − = = 6π − ( vdt) ⇒ S1 = ⇒ S1 = 8π − 2π + = 3 S2 2π + 6π + 3π + ( 220 ) ng d ng tích phân tính di n tích, th tích { } Bài Tính S: ( P ) : y = x − 4x + ; ( D ) : y = x + Gi i  x + = x − 4x +  x − 5x =  x = 0, y = ( P) ∩ ( D) :  ⇔ ⇔  x + = − x + 4x −  x − 3x +  x = 5, y =   y x = ( P ) ∩ Ox : y = ⇒ x − 4x + = ⇔  x = S = ( x + 3) − ( x − 4x + 3)  dx +   ∫ S3 3  + ( x + 3) + ( x − 4x + 3)  dx +  ∫ S2 S1 + ( x + 3) − ( x − 4x + 3)  dx   ∫ -3 O 3 x -1 = ∫ ( − x + 5x ) dx + ∫ ( x − 3x + ) dx + ∫ ( − x + 5x ) dx  x 5x   x 3x   x 5x  109 = − + + − + 6x  +  − + ( vdt)   =  2    1  3  3x 12x π Bài Tính S: ( C1 ) : y = − sin ; ( C2 ) : y = + ; ( D) : x =  π 2  Gi i ( C1 ) : y = − sin Nhìn vào 3x = cos 3x A th ta có: S = SANOI − 3SOIK π6 = y π6 +1 π ⋅ − cos3xdx = 2π − sin3x = 2π − 2 0 ∫ Bài Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i S N (P): y = x2 − 2x + ti p n c a (P) O i qua A(2; −2) M B C π π π x 221 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương Gi i ng th ng qua A có d ng (d): y = k(x − 2) −  x − 2x + = k ( x − ) −  (d) ti p n c a (P)  ( x − 2x + )′ = [ k ( x − ) − 2]′  2x − = k 2x − = k   ⇔  ⇔ ⇔ ( 2x − )( x − ) −  x − 2x + =  x − 4x =    x = 0; k = −2  x = 4; k =  V y ti p n c a (P) i qua A là: (d1): y = −2x + ti p xúc v i (P) t i y 10 B(0, 2) (d2): y = 6x −14 ti p xúc v i (P) t i C(4, 10) { } V y S: ( P) : y = x2 − 2x + 2; ( d1 ) : y = −2x + ; ( d2 ) : y = 6x −14   S = ( x2 − 2x + 2) − ( −2x + 2)  dx + ( x2 − 2x + 2) − ( 6x − 14)  dx   ∫ ∫ 2 ∫ 2 ∫ ( x − 8x + 16) dx = ∫ x dx + ∫ ( x − 4) d ( x − 4) 2 = x dx + ( x − 4) x3 = + 3 (P) −8  8 16 8   ( vdt) =  − 0 +  −  = + = 3 3 3   O ( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = x2 ⇔x =0⇒y =0 27 ( P2 ) ∩ ( H) : Nhìn vào ∫ (P1 ) s2 s1 O th ta có: ∫ (P2 )  x3  +  27 ln x −  81   1  26   =  −  +  27 ln − 27 ln − +  = 27 ln ( vdt) 3    222 (H) x2 27 = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 27 x  x2   27 x  26x S = x − −  dx +   dx = 27  81   x 27  d1 d y 9 27 ( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = x s1  x2 27  Bài Tính S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y =  27 x  Gi i s2 x x ng d ng tích phân tính di n tích, th tích  x2 8 Bài 10 Tính S: ( P1 ) : y = x ; ( P2 ) : y = ; ( H1 ) : y = ; ( H ) : y =  x x  y Gi i (P ) ⇔ x3 = ⇔ x = ⇒ y = x ( P1 ) ∩( H2 ) : x2 = ⇔ x3 = ⇔ x = ⇒ y = x x ( P2 ) ∩( H1 ) : = ⇔ x3 = ⇔ x = ⇒ y = x ( P1 ) ∩( H1 ) : x2 = (P ) 16 (H2) s2 S1 (H1) ( P2 ) ∩( H2 ) : x = ⇔ x3 = 32 ⇔ x = ⇒ y = x 2  S =  x −  dx + x  ∫ 32 ∫ O 2  x2   x3   x3  −  dx =  − 2ln x  +  8ln x −   12  x    3 { Bài 11 Tính S: ( P ) : y = 4x; ( C ) : y = ( − x ) x 32 = ln ( vdt) } Gi i Phương trình c a (P) (C) u ch n i v i y, th S mi n nh n Ox làm i x ng G i S1 ph n n m tr c Ox, ó S = 2S1 tr c y ( P) ∩ ( C) : 4x = ( − x)3 ⇔ x3 −12x2 + 52x + 64 = ⇔ ( x − 2) ( x −10x + 32) = ⇔ ( x − 2) ( x − 5) + 7 =   2 (P) 2 (C) ⇔x =2⇒y=2 O ( P ) ∩ Ox : 4x = ⇔ x = ∫ 4x dx + = ∫ x -2 ( − x )3 dx = x dx − ( x − 4) d ( x − 4) ∫ ∫ x2 -1 ( C ) ∩ Ox : ( − x )3 = ⇔ x = S1 = S1 − ( x − 4) 2 8    64 128 = − 0 −  + V y S = 2S′ = =  15 15    ( ) 2 128   P :x = y Cách 2: S:  ⇒ S1 =  − y − y  dy = ( vdt)   15  ( C ) : x = − y2  ∫ ( ) 223 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương { Bài 12 Tính S: ( P ) : y = 2x; ( C ) : 27y = ( x − 1) } Gi i y G i S′ ph n n m phía tr c Ox, t tính ch t c a hàm ch n suy tính (P) i x ng ó S = 2S′ Do y ≥ ⇒ (x − 1) ≥ ⇒ x ≥ ( P) ∩ ( C) : 2x = ( x −1)3 27 ⇔ ( x − 4) ( 2x +1) = ⇒ x = ⇒ y = 2 2 S1 O ( P) ∩ Ox : 2x = ⇔ x = ; ( C) ∩ Ox: ( x −1)3 = ⇔ x =1  ( )3  2x − x − S = 2S1 =  27 1 ∫ (C) x 2 4   dx = 2 x dx − ( x − 1) d ( x − 1) = 68  15  3 1 ∫ ∫ Bài 13 Tính di n tích hình elip gi i h n b i (E): x2 y2 + =1 a2 b Gi i Phương trình x y + = ch n a b i v i x y nên elip nh n O tâm i x ng G i S di n tích c a ph n elip thu c góc ph n tư (I) m t ph ng Oxy { ⇒ S1 : x = 0; y = 0; y = b a − x2 a } a S = 4S1 = b a − x2 dx a0 ∫ y b x = ⇒ α = π t x = acosα:  ; Khi ó x = a ⇒ α = S=4 b a a ∫ a − x dx = { 4b ( −a sin α ) dα = 4ab a π2 O S1 a x π2 ∫ ∫ − cos 2α dα = πab ( vdt) } Bài 14 Tính S: ≤ y ≤ 1; y = ( x + 1) ; x = sin πy Gi i x = sin πy ∈ [ −1,1] ⇒ x + ≥ 0; mà ≤ y ≤ nên y = ( x + 1) ⇔ x = y − 1 S= ∫( 224   2 sin πy − y + dy =  − cos πy − y + y  = +  π 0 π ) ( vdt) ng d ng tích phân tính di n tích, th tích TH TÍCH KH I TRỊN XOAY I VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: y ( C ) : y = f ( x )  S: Ox : y =  ∆ , ∆ : x = a, x = b  (C) S a O b x b Công th c : Vx = π ∫ f ( x ) dx a II VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: (C1) y ( C1 ) : y = f ( x )  ( C ) : y = g ( x ) S:  0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) ∆ , ∆ : x = a, x = b  S (C2) O a b x b Công th c: Vx = π ∫ f ( x ) − g ( x )  dx   a III VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: Bư c 1: ( C1 ) : y = f ( x )  S:  ( C2 ) : y = g ( x )  x = a Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔  x = b b Bư c 2: ∫ 2 Gi s ≤ g(x) ≤ f(x),∀x∈[a, b] Khi ó: Vx = π f ( x ) − g ( x )  dx   a IV VX SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C HAI f(x, y) = QUAY XUNG QUANH Ox: Tách ng cong b c hai f(x, y) = thành y ( C1 ) : y = f1 ( x )   ( C2 ) : y = f ( x )  Bư c 1: (C1) (C2) gi s ≤ f2(x) ≤ f1(x) Bư c 2: Xác nh c n x = a, x = b O a b x b ∫ Khi ó: Vx = π f12 ( x ) − f 22 ( x )  dx   a 225 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương V Vy SINH B I DI N TÍCH S C A TH QUAY XUNG QUANH Oy: ( C ) : y = f ( x )  Oy : x = S:  ∆1 : y = f ( a ) ∆ : y = f ( b )  Bư c 1: f(b) S (C) −1 y = f(x) ⇔ x = f (y) f (b) Bư c 2: y Vy = π   ∫ f ( y )  ( ) −1 f(a) dy a O b x f a VI Vy SINH B I DI N TÍCH S C A TH QUAY XUNG QUANH Oy: y ( C1 ) : y = f ( x )  ( C ) : y = g ( x ) S:  ∆1 : y = f ( a ) = g ( m )  ∆ : y = f ( b ) = g ( n ) f(b) (C2 ) (C1) Bư c 1: ( C1 ) : y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y )   −1 ( C2 ) : y = g ( x ) ⇔ x = g ( y )  f(a) O f (b) Bư c 2: Gi s 0≤g −1 ( y ) ≤ f −1 ( y ) ⇒ Vy = π S ∫( m a n b Bư c 1: ) f −1 ( y )  −  g −1 ( y )  dy     f (a ) VII Vy SINH B I DI N TÍCH: x Ư NG CONG B C f(x, y) = QUAY XUNG QUANH Oy: ( C1 ) : x = f1 ( y )  Tách ng cong b c hai f(x, y) = thành  ( C2 ) : x = f ( y )  gi s ≤ f2(y) ≤ f1(y) b Bư c 2: Xác ∫ nh c n x = a, x = b Khi ó: Vx = π f12 ( y ) − f 22 ( y )  dy   a VIII PHƯƠNG PHÁP BAO TR TÍNH Vy KHI DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Oy: b Cơng th c: ∫ Vy = 2π xf ( x ) dx a C n ph i i n " vtt" vào k t qu cu i toán tính th tích kh i trịn xoay CHÚ Ý: 226 ng d ng tích phân tính di n tích, th tích IX CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài Tìm Vx sinh b i S: {( C ) : y = ln x ; Ox : y = 0; ( ∆ ) : x = 2} quay quanh Ox Gi i 2 2 2 Xét ( C ) ∩ Ox : ln x = ⇔ x = ⇒ Vx = π ∫ ( ln x ) dx = π x ( ln x ) − π ∫ x d ( ln x ) 1 2 1 2 = 2π ( ln ) − 2π ∫ ln x dx = 2π ( ln ) − 2π x ln x + 2π ∫ x d ( ln x ) 2 2 = 2π ( ln ) − 4π ln + 2π ∫ dx = 2π ( ln ) − 4π ln + 2π = 2π ( ln − 1) ( ®vtt ) { } Bài Tính Vx S: ( L ) : y = x ln (1 + x ) ; y = ; x = quay quanh Ox Gi i 1 + x >  x > −1  ln (1 + x ) ⇒  ⇒ ⇔ x≥0 (1 + x ) ≥ 1 + x ≥  ln  y=x ⇒y≥0 1 ( L) ∩ Ox : x ln (1 + x3 ) = ⇔ x = ⇒ Vx = π x2 ln (1 + x3 ) dx = π ln (1 + x3 ) d ( x3 + 1) ∫ 3∫ 0 1 π( ) ( π x + ln + x ) − 3 2π ln π 3 − x   ∫ ( x + 1) d ln (1 + x ) = { = π ( ln − 1) } 3 = Bài Cho S: ( C) : y = ; ( D) :x =1;y = 0, x = Tính Vy S quay quanh Oy 1+ x y Gi i y= 1 > ⇒ (C) : x2 = − y 1+ x (C) (D) 1/2 ( C ) ∩ Oy : x = ⇒ y =   ( C ) ∩ ( D ) : x = ⇒ y =  12 O  ⇒ Vy = π dy + π  − 1 dy = πy + π ( ln y − y ) y  2 ∫ ∫ 12 1 x π 1  = + π  − ln −  = π ln 2 2  227 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương Bài Cho S: x + ( y − b ) ≤ a ; < a ≤ b y B a Tìm Vx S quay quanh Ox b Tìm Vy S quay quanh Oy Gi i 2 b I A C D 2 a Ta có: x + ( y − b ) ≤ a ⇔ ( y − b ) = a − x -a O a x ⇒ A1 B A2 : y = b + a − x ; A1 B1 A2 : y = b − a − x a  2 Vx = π  b + a − x  ∫ ( ) − (b − a −x )   dx  −a a = 4πb a ∫ 2 a − x dx = 8πb −a ∫ 2 π2 Vx = 8πb ∫ 2 2 ∫ cos t dt ∫ (1 + cos 2t ) dt = 4πa b ( t + sin 2t ) π2 2 = 2π a b ( ®vtt ) b Ta có: x + ( y − b ) ≤ a ⇔ x = a − ( y − b ) 2 ⇔ B1 A B2 : x = a − ( y − b ) ; B1 A1 B2 : x = − a − ( y − b ) Do cung B1 A B2 , B1 A1 B2 b +a Vy = π ∫ b −a i x ng qua Oy nên a − ( y − b )2  dy = π a y − ( y − b )3        Bài Cho S di n tích c a (E): b+a b −a  2a3  4πa ( vtt) = π  2a − =   ( x − )2 y + =1 16 a Tìm Vx S quay quanh Ox b Tìm Vy S quay quanh Oy Gi i 228 a π/2 a cost dt π2 a (1 − sin t ) a cos t dt = 4πa b π2 = 4πa b x t dx t x = asint ⇒ a − x dx ng d ng tích phân tính di n tích, th tích ( x − )2 y y ( x − )2 2 + =1⇔ =1− ⇔ y = 4 − ( x − 4)    16 16 a (E): ( E ) ∩ Ox : − ( x − )2 = ⇔ x = 2; x = ⇔ ABC : y = − ( x − ) ; ADC : y = −2 − ( x − ) Do cung ABC, ADC Vx = π ∫ (2 − ( x − 4) ) i x ng qua Ox nên dx = 4π  − ( x − )  d ( x − )   ∫ 2  ( x − )3  8  128π  = 4π  ( x − ) −  = 4π  − + −  = 3 3  2  ( x − )2 y ( x − )2 y + =1⇔ =1− 16 16 b (E): ⇔ ( x − 4) = ( ®vtt ) y B (16 − y2 ) ⇔ BAD : x = − 16 − y BCD : x = + O 16 − y A C x -4 D 2   1    Vy = π  + 16 − y  −  − 16 − y   dy = 8π 16 − y dy 2      −4  −4 ∫ ∫ t y = 4sint ⇒ y t dy −4 −π/2 π/2 cost dt π2 = 64π ∫ −π π2 ⇒ Vy = 8π ∫ 16 (1 − sin t ) cos t dt −π π2 cos t dt = 64π ∫ (1 + cos 2t ) dt = 4π ( t + sin 2t ) π2 −π = 64π2 ( ®vtt ) −π 2  ( P ) : y = 2x − x Bài Cho S:  Ox : y =  a Tìm Vx S quay quanh Ox b Tìm Vy S quay quanh Oy 229 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương Gi i y a ( P ) ∩ Ox : 2x − x = ⇔ x = 0; x = 2 ⇒ Vx = π 2 ∫ ( 2x − x ) dx = π∫ ( 4x − 4x + x ) dx O  16 4 = π  x − x + x  = π ( ®vtt )  15 3 x b ( P ) : y = 2x − x ⇔ ( x − 1) = − y ⇒ OA : x = − − y ; AB : x = + − y y ⇒ Vy = π  + − y  ∫( ) − (1 − 1− y ) A  dy  1 = 4π ∫ ∫ =− 12 − y dy = −4π (1 − y ) d (1 − y ) 8π (1 − y )3 = 8π B x O ( ®vtt ) { Bài Tìm Vx quay S: y = cos6 x + sin x ; y = 0; x = 0; x = } π quanh Ox Gi i π2 Vx = π ∫( 6 cos x + sin x ) π2 dx = π ∫ ( cos x + sin x ) dx π2 π2 0   = π ∫ ( cos2 x + sin x ) ( cos2 x + sin x ) − 3sin x cos2 x  dx = π ∫ 1 − sin 2x  dx   π2 =π ∫ 5π  3( 5  ) 1 − − cos 4x  dx = π  x + 32 sin 4x  = 16    0 ( P ) : y = x ( x > )  Bài Cho S: ( D1 ) : y = −3x + 10 ( D ) : y =  230 π2  ( ®vtt ) a Tìm Vx S quay quanh Ox b Tìm Vy S quay quanh Oy  ng d ng tích phân tính di n tích, th tích y Gi i a ( D1 ) ∩ ( D ) : −3x + 10 = ⇔ x = ( P ) ∩ ( D2 ) : x = ⇒ x = > (P) S ( P ) ∩ ( D1 ) : x = −3x + 10 ⇒ x = > ; y = D2 Vx D1 2 = π ∫ ( x − 1) dx + π ∫ ( −3x + 10 ) − 1 dx   O x 3  ( −3x + 10 )3   x5  31π 61π = π − x + π ⋅ − x = + 6π = 5  1  −3 2 ( ®vtt ) 10 − y b ( P ) : y = x ( x > ) ⇔ x = y ; ( D1 ) : y = −3x + 10 ⇔ x = 4 (10 − y )2 Vy = π  −  ∫ ( ) y  π  dy =  ∫ ∫ ( y − 10 ) d ( y − 10 ) − π ydy 1  π ( y − 10 ) π  152π 15π 101π = ⋅ − y2  = − = 1 27 54 9 2 y Bài Cho S di n tích c a (E): x + = (0 < b < a) a b a Tìm Vx S quay quanh Ox b Tìm Vy S quay quanh Oy Gi i y B 2 2 y y b a (E): x2 + = ⇔ = − x2 ⇔ y2 = ( a − x ) a b b a a A ⇔ BA : y = b a − x ; CA : y = −b a − x a a Do cung BA, AC a Vx = π ∫(a −a b a −x 2 ) i x ng qua Ox nên O x C a πb2  x3  4πab2 dx = ( a − x ) dx =  a x −  = ( vtt)  −a a −a a  πb2 a ∫ 2 231 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương 2 2 y y a b (E): x + = ⇔ x = − ⇔ x = ( b − y ) a b a b b y B ⇔ AB : x = a b − y2 b BC : x = −a b − y b O Do cung AB, BC b ∫( Vy = 2π a b2 − y2 b A C x i x ng qua Oy nên ) dy = 2πa b2 b y3  2πa  4πa b ( b − y ) dy =  b y −  = ( vtt) 0 b  b ∫ 2 { } Bài 10 Cho S: ( P1 ) : y = − x ; ( P2 ) : y = x + Tính Vx S quay quanh Ox y Gi i ( P1 ) ∩ ( P2 ) : − x = x + ⇔ x = ⇔ x = ±1 (P2 ) 2 2 ⇒ V = 2π ( − x ) − ( x + 2)  dx   ∫  x = 24π ∫ (1 − x ) dx = 24π  x −  (P1 )   = 16π ( ®vtt ) 0 O 1 x Bài 11 Tính th tích kh i trịn xoay t o nên cho hình trịn tâm I(2, 0) bán kính R = quay quanh tr c Oy y Gi i Phương trình (I, R): (x − 2)2 + y2 = C 2 ⇔ ( x − 2) = − y ⇔ x = ± − y A O I B x ⇒ CA : x = − − y ; BC : x = + − y  ⇒ Vy = 2π  + − y  ∫( ) − (2 − 1− y )  dy = 16π∫   2 − y dy π2 t y = sint ⇒ dy = costdt ⇒ Vy = 16π ∫ π2 − sin t cos t dt = 16π π2   = 8π ∫ (1 + cos 2t ) dt = 8π  t + sin 2t  232  π2 0 ∫ cos = 4π ( ®vtt ) t dt ng d ng tích phân tính di n tích, th tích Bài 12 Cho S: {( P ) : y = 2x ; ( D ) : y = 2x + 4} y Tính Vx S quay quanh Ox Gi i ( C ) ∩ ( D ) : 2x = 2x + ⇔ x − x + = ⇒ x = −1 ∨ x = 2 ⇒ Vx = π ( 2x + ) − 4x  dx   ∫ −1  3π ( 2x + )3 4πx  288 = −  =  −1  -1 O ( ®vtt ) x  x2 27  Bài 13 Cho S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y =  27 x  Gi i y ( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = x ⇔x =0⇒y =0 27 ( P1 ) ∩ ( H) : x2 = 27 ⇔ x3 = 27 ⇔ x = x ( P2 ) ∩ ( H) : x 27 = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 27 x Nhìn vào ∫ ∫ Vx = x dx + x = 27 − x ∫( 27 x4 dx − dx x2 27 ∫ 27y O x x5 243  81  583 ( − = − ( 81 − 243) −  −  = ®vtt )  15  27 ) ( ) − y 2 (P2 ) = 13y s2 s1 b ( P1 ) : x = y ; ( P2 ) : x = 27y ; ( H) : x =  ⇒ Vy =  (H) th ta có: (P1 ) 2 27 y  27   dy +  y − 3 ∫ (x, y ≥ 0) ( ) y   27   dy = 26ydy +  y − y  dy   3 ∫ ∫ 2 81  +  27 ln y − y  = 117 + 27 ln − 27 ln − + = 81 + 27 ln ( ®vtt ) 3 2  233 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương Bài 14 Cho S: {( C) : y = x, ( D) : y = − x, y = 0} Tính Vy S quay quanh Oy Gi i y ( C) : x = y2 ( y ≥ 0) ; ( D ) : x = − y ⇒ ( C) ∩ ( D ) : y2 = − y ⇔ y2 + y − = (C) ⇔ (x − 1)(y + 2) = ⇔ y = ≥ Vy = π ( − y ) − y  dy   ∫ O (D) 1 y  32π = π  ( y − 2) −  =  15 3 x ( ®vtt ) 2 ( H ) : x − y = (D) ti p n c a (H) i qua A(2, −1) v i Bài 15 Cho 16 h s góc dương Tính th tích kh i tròn xoay t o b i mi n ph ng gi i h n b i (H), (D) tr c Ox quay quanh tr c Oy Gi i y (D) (D) i qua A(2, −1) nên 1,5 (H) (D): y = k(x − 2) − O ⇔ (D): kx − y − ( 2k + 1) = -1 A Ta có: (D) ti p xúc (H) 2 ⇔ 16k − = ( 2k + 1) ⇔ 12k − 4k − = ⇔ k= 16 5 5 16 ∨ k = − (lo i) ⇒ (D): y = x − ⇔ x = y + 6 5  ( D ) ∩ ( H ) : 4y + 16 =  y + 16  ⇔ 4y − 12y + = ⇔ y = ; x =  5  32   4y3  36π  6y + 16   + 16y  − y+ d y+ ⇒ Vy = π ( 4y + 16) −   dy = π   3 25     0  32 ∫( ∫ 9  36π = π  + 24  − y+8 2  75 ( ) 234 32 = 72π 25 ( ®vtt ) ) ( ) x ng d ng tích phân tính di n tích, th tích { } Bài 16 Cho S: ( C ) : y = ( x − ) , ( D ) : y = a Tính Vx S quay quanh Ox b Tính Vy S quay quanh Oy y Gi i (P) a ( P ) ∩ ( D ) : ( x − ) = ⇔ x = 0, x = (D) 4 ⇒ Vx = π 16 − ( x − )  dx   ∫ S  ( x − )5  256π = π 16x −  = 5  0 ( ®vtt ) O x b ( P ) : x − = ± y ⇒ AI : x = − y ; IB: x = + y ⇒ Vy = π  + y  ∫( ) − (2 − y )  dy  = 8π ∫ ydy = 16π y = 128π ( ®vtt ) 2   y y ( P1 ) : x = Bài 17 Cho S: ( y ≤ ) ; ( P2 ) : x = − + 3y ( y ≤ ) ; ( D ) : x = 4   a Tính S b Tính Vx S quay quanh Ox y Gi i a (P2 ) y y y = =− + 3y ⇔ y − 4y ⇒  y = (D) ( P1 ) ∩ ( D ) : y = ⇒ y = −4 < ( P2 ) ∩ ( D ) : −y y = + 3y = ⇒  y = > 2 Nhìn vào O x S th suy ra:    y2  y2 S = 4 − dy +  + − 3y  dy      −4 0 ∫ ∫ -4 (P1 ) 3   y  y 3y  16     =  4y − −  +  4y +  =  16 −  +  + −  = 14 ( ®vdt ) 12  −4  0  3    235 Chương II Nguyên hàm tích phân − Tr n Phương b ( P1 ) : x = y ( y ≤ ) ⇔ y = −2 x 4 ⇒ Vx = π ∫ ( −2 x ) dx = 4π x dx = 2πx ∫ 0 = 32π ( ®vtt ) y  x 2 Bài 18 Cho S: ( C ) : y = ; ( P) : y = x    Tính Vx S quay quanh Ox Gi i (P) (C) ∩ ( P ) : x = x ⇔ x = x = 3  O  2  3   x6  Vx = π ( x ) −  x   dx = π  x −  dx       0 ∫ ∫ x (C)  x5 x7  486 = π − π ( ®vtt )  = 63  35  { } Bài 19 Cho S: ( C ) : y = ( − x ) ; ( P ) : y = 4x Tính Vx, Vy S quay quanh Ox, Oy Gi i y (P) 2 A ( C ) ∩ ( P ) : ( − x )3 = 4x (C) ⇔ x − 12x + 52x − 64 = S ⇔ ( x − ) ( x − ) +  =   N O ⇔ x = ⇒ y = ±2 ( C ) ∩ Ox : ( − x )3 = ⇔ x = B -2 ( P ) ∩ Ox : 4x = ⇔ x = 3 OA : y = 4x ; AN : y = ( − x ) ; OB : y = − 4x ; BN : y = − ( − x ) Do (C), (P) nh n Ox làm tr c Vx = π ∫( 4x ) dx + π∫ (   4− y  ∫ ( 236 ) ( − x )3 2 2 Vy = 2π i x ng nên: ) y4  −  dy = 2π 16  2 ∫ dx = 2πx 2 π − (4 − x) 4 = 12π ( ®vtt )  y4  1024 43 23 π ( ®vtt ) 16 + y − 8y −  dy = 16  35  x ng d ng tích phân tính di n tích, th tích 237 ... c C n ph i i n " vdt" vào k t qu cu i tốn tính di n tích hình ph ng CHÚ Ý: 218 ng d ng tích phân tính di n tích, th tích CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài Tính S: {( P ) : x } = ay ; ( P2 ) : y = ax... TR TÍNH Vy KHI DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Oy: b Công th c: ∫ Vy = 2π xf ( x ) dx a C n ph i i n " vtt" vào k t qu cu i tốn tính th tích kh i trịn xoay CHÚ Ý: 226 ng d ng tích phân tính di n tích, ... + dy =  − cos πy − y + y  = +  π 0 π ) ( vdt) ng d ng tích phân tính di n tích, th tích TH TÍCH KH I TRÒN XOAY I VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: y ( C ) : y = f ( x )  S: Ox