[r]
Trang 1Nguyên lý bù trừ và bài toán đếm số phần tử của một tập hợp
Lê quang Dũng – Trừơng THPT số 2 Phù cát – Đình định
1) Nguyên lý bù trừ :
Với A1,A2 là hai tập hữu hạn phần tử : n(A1 A2) =n(A1)+n(A2)-n(A1 A2)
Với A,B,C là ba tập hợp hữu hạn phần tử :
n(A1 A2 A2)=n(A1)+n(A2)+n(A3) –( n(A1 A2) +n(A1 A3)+n(A2 A3))+n(A1 A2 A3)
Tổng quát :
n(Ai)= 1
( )i
i n
n A
1
i j n
+ +
1
1 2 1
n
i j n
Minh họa :
Cho tập hợp A1={2,3,7,9,10} , A2={ 1,2,3,9} , A3={2,4,9,10}
1) Các ví dụ áp dụng : ( ký hiệu C(n,k) = C n k)
Ví dụ 1 : Cho tập hợp M={1,2,3, …,100} , có bao nhiêu cách chọn một phần tử của M , chia hết cho 2 , hoặc
cho 3
Giải :
Gọi A là tập hợp các số chia hết có 2, hoặc chia hết cho 3
=> n(A) = n(A1) +n(A2) –n(A1 A2)
Ta có n(A1) =[ 100/2]=50 , n(A2)= [100/3]=33 , n(A1A2)=[100/6]=16
Nên n(A) =67
=> số phần tử của tập hợp A là 67
Ví dụ 2 : Từ một bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài ,có bao nhiêu cách rút ngẫu nhiên 13 quân bài, trong đó có
4 quân bài “tứ quý”
Giải :
Số cách rút ra 13 quân bài có đúng một bộ tứ quý : N1= C(13,1).C(48,9)
Số cách rút ra 13 quan bài có đúng 2 bộ tứ quý : N2= C(13,2).C(44,5)
Số cách rút ra 13 quân bài có đúng 3 bộ tứ quý : N3= C(13,3) C(40,1)
Số các cần tìm là : N=N1-N2+N3 = ?
Ví dụ 3 : Cho tập hợp M={1,2,3, …,2014} , có bao nhiêu cách chọn một phần tử của M , so cho phàn tử đó
chia hết cho ít nhất một trong 3 số 2,3,13
Giải : Gọi A là tập hợp các số chia hết có 2, hoặc chia hết cho 3 , hoặc chia hết cho 13
n(A)=n(A1)+n(A2)+n(A3) –( n(A1 A2) +n(A1 A3)+n(A2 A3))+n(A1 A2 A3)
Trang 2Ta có n(A1) =[ 2014/2]=1007 , n(A2)= [2014/3]=671 , n( A3)= [2014/13] =154
n(A1A2)=[2014/6]=335 ,n(A1A3)=[2014/26]=77 ,n(A2A3)=[2014/39]=51 ,
n(A1A2A3)=[2014/78]=25
=> n(A) = 1394
=> số phần tử của tập hợp A là 1394
Ví dụ 4 ( Bình định 2013-2014) Cho tập hợp M={1,2,3, …,2014} , Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử của M , tính
xác suất để hai phần tử được chọn đều là số chia hết cho ít nhất một trong 3 số 2,3,13
Giải :
a) Gọi A là tập hợp các số chia hết có 2, chia hết cho 3 , hoặc chia hết cho 13
n(A)=n(A1)+n(A2)+n(A3) –( n(A1 A2) +n(A1 A3)+n(A2 A3))+n(A1 A2 A3)
Ta có n(A1) =[ 2014/2]=1007 , n(A2)= [2014/3]=671 , n( A3)= [2014/13] =154
n(A1A2)=[2014/6]=335 ,n(A1A3)=[2014/26]=77 ,n(A2A3)=[2014/39]=51 ,
n(A1A2A3)=[2014/78]=25
=> n(A) = 1394
Xác suất cần tìm là p(A)= C13942 /C20142 =0,48
Ví dụ 5 : : Bài toán phương trình nghiệm nguyên
1) Bao nhiêu nghiệm x + y + z = 15 trong đó mỗi ẩn là một số nguyên không âm ?
Không có hạn chế nào khác , đây là một sự kết hợp với vấn đề lặp đi lặp lại Bao nhiêu cách có thể được phân phối 15 giá trị cho ba biến ? C (17,15) = 136
Nếu chúng ta bắt đầu áp dụng các hạn chế thì
2) Bao nhiêu nghiệm x + y + z = 15 với x ≤ 3 ?
Chúng ta phải loại trừ các giải pháp trong đó x ≥ 4 Có nghĩa là, ( 4 + x’) + y + z = 15
C ( 17,15 ) - C ( 13,11 ) = 58
3) Bao nhiêu nghiệm x + y + z = 15 với x ≤ 3 và y ≤ 4 ?
Không hạn chế : C ( 17,15 ) = 136
Với x ≥ 4 : C ( 13,11 ) = 78
Với y ≥ 5 : C ( 12,10 ) = 66
Với x ≥ 4 và y ≥ 5 : C ( 8,6 ) = 28
Chúng tôi kết hợp và nhận được các giải pháp với x ≤ 3 và y ≤ 4 : 136-78-66 +28 = 20
4) Bao nhiêu nghiệm x + y + z = 15 với x ≤ 3 và y ≤ 4 và z ≤ 8 ?
Không hạn chế : C ( 17,15 ) = 136
Với x ≥ 4 : C ( 13,11 ) = 78
Với y ≥ 5 : C ( 12,10 ) = 66
Với z ≥ 9 : C ( 8,6 ) = 28
Với x ≥ 4 và y ≥ 5 : C ( 8,6 ) = 28
Với x ≥ 4 và z ≥ 9 : C (4,2) = 6
Với y ≥ 5 và z ≥ 9 : C ( 3,1) = 3
Với x ≥ 4 và y ≥ 5 và z ≥ 9 : 0
Chúng tôi kết hợp và nhận được các giải pháp với x ≤ 3 và y ≤ 4 và z ≤ 8 : 78-78-66-28 6 3-0 = 1
3) Bài tập tương tự :
1) Phương trình : x+y+z+t =15 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương ,
biết 3<x<7 , -2<y<2 ,-1<z<7,2<t<9
2) Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000 chía hết cho ít nhất một trong các số 7,10,15
3) Có bao nhiêu bộ x,y,z không lớn hơn 1000 sao cho x+y+z chia hết cho 3