Giáo trình Xử lý ảnh -Chapter 6

Giáo trình Xử lý ảnh

BỘ MÔN KHOA HỌC MÁY TÍNH

NHẬP MÔN XỬ LÝ ẢNH Chương 6: Biến đổi Fourier

Biên soạn: Dr Ngo Huu Phuc

Nội dung

1 Biến đổi Fourier 1D

2 Biến đổi Fourier nhanh

3 Biến đổi Fourier 2D

4 Biến đổi Fourier 2D nhanh

5 Hiển thị FFT

6 Ứng dụng FFT

Giới thiệu

Đáp ứng tần số của hệ thống của hệ thống tuyến tính 2D được cho bởi:

Nếu h(k1,k2) có k1  0, k2  0 và xác định trong miền hữu hạn N  N thì:

) 1 6 ( )

, ( )

,

(

1 2

2 2 1

( 2

1 2

e k k h





) 2 6 ( )

, ( )

,

0

1 0

) (

2 1 2

1

1 2

2 2 1 1

e k k h





Giới thiệu (tiếp)

Công thức (6.2) là tuần hoàn, với chu kỳ tuần

, ( )

,

0

2 1

0

2 1 2

1

1

2 2 1 1

k n k n N j N

k

e k k h n

n

1 Biến đổi Fourier 1D

Biến đổi Fourier 1-D cho tín hiệu thời gian rời rạc f(kT)

tính theo công thức:

Công thức này có thể viết lại dưới dạng

trong đó f(k) = f(kT) và W N = e - j2 /N W N được gọi là hạt

nhân của phép biến đổi

Tổng quát: , với A(n),  (n) gọi là phổ khuyếch đại và phổ pha của F(n).

) 5 6 ( )

( )

nk N j

e kT f

n

) 6 6 (

¦ ) ( )

nk N

W k

f n

F

) (

) ( )

(n A n e j n

Biến đổi ngược DFT

Hàm f(k) là biến đổi ngược DFT của F(n) cho

bởi theo biểu thức:

Khi f(k) có thể rút ra từ F(n) và ngược lại, chúng gọi là cặp biến đổi Cặp biến đổi này có dạng

) 7 6 ( )

(

1 )

nk N

j

e n

F N

k f



) 8 6 ( )

( )

Một vài tính chất của DFT

Tuyến tính Nếu ta có hai dãy tuần hoàn cùng

f 1 (n) và f 2 (n), và cả hai dãy này tuần hoàn với chu kỳ N, được dùng để tính

Một vài tính chất của DFT

Tính đối xứng

nk N j N

k

nk N j N

k

N N j

N k

n N

k N

e e k f

e e

k f

W k f n

0

2 1

) (

) (

) ( )

k f n

N

k

nk N

j 

Nếu f(k) là thực

Dấu * là phép toán liên hợp phức

Một vài tính chất của DFT

Tích chập tuần hoàn Coi f1(k) và f2(k) là hai dãy tuần hoàn có chu kỳ N, với biến đổi Fourier rời rạc là F 1 (n) và F 2 (n) Xem xét tích F(n1).F(n2)

1 1 1

1

1

1 1

) ( )

(

N k

k n N

W k f n

2 2 2

2

2

2 2

) ( )

k

k n N

W k f n

F

N n

W n F n

F N

3 ( ) 1 ( ) ( )

) (

) ( )

0 1

1 1

2 Biến đổi FFT

Tính trực tiếp giá trị của DFT bao gồm N phép nhân

phức và N - 1 phép cộng phức cho mỗi giá trị của

để giảm việc tính toán, có thể sử dụng thuật toán phân chia thời gian và phân chia tần số, ta có FFT

) , ( )

, (

2 1

1 0

1 0

) (

/

2 2

1 2

1

1 2

2 2 1 1

k k h DFT

e k k h n

j 1 2

e ) n

, A(n )

n ,

Biến đổi ngược 2D DFT

Hàm h(k 1 ,k 2 ) là biến đổi ngược của 2-D DFT

(IFFT) của H(n1,n2) và được cho bởi biểu thức

/

2 2

1 2

2 1

2 2 1 1

) ,

(

1 )

,

n

N n

k n k n N j

e n

n

H N

k k

4 Biến đổi 2D FFT cho ảnh

vr i

R u

vr i

R r

Biến đổi 2D FFT cho ảnh

Có thể thực hiện biến đổi FFT cho ảnh thông

Hiển thị FFT

• Nếu FFT của một ảnh trong trường hợp tổng quát là một mảng của các số phức đầy đủ, người ta thường biểu diễn biên độ và pha của tần

số của ảnh

• Để biểu diễn phổ dưới dạng ảnh, tất cả các việc chúng ta cần phải làm

là chia biên độ của FFT thành các giá trị từ 0 đến 255 (cho ảnh 8 bit)

• Dù thế nào đi chăng nữa thì phổ của ảnh cũng bị suy giảm rất nhanh khi tần số tăng lên

• Để giải quyết vấn đề này chúng ta cần xử lý biên độ phổ một chút

bằng hàm log Hàm logarit sẽ sửa độ khuếch đại, và thay thế cho hiển

thị phổ |H(u,v)| chúng ta hiển thị:

D(u,v) = log 10 (1+|H(u,v)|)

• Biểu thức này cho ta giá trị zero khi D(u,v) = 0 hay |H(u,v)| = 0 và như vậy D(u,v) luôn luôn có giá trị dương

6 Ứng dụng của biến đổi Fourier

Có rất nhiều ứng dụng của biến đổi Fourier trong

xử lý tín hiệu số nói chung và xử lý ảnh nói

riêng Có thể sử dụng trong một số bài toán:

• Lọc ảnh

• Nén ảnh trên không gian tần

• Sử dụng trong các bài toán nhận dạng

• …

Làm mờ: Trung bình / Lọc thông thấp

Kết quả của quá trình làm mờ:

• Trung bình pixel trong miền không gian:

– Mỗi pixel ở ảnh kết quả có cường độ sáng là trung bình của các lân cận.

– Nếu sử dụng ma trận mặt nạ cho phép nhân chập, tổng các giá trị

trên mặt nạ bằng 1.

• Lọc thông thấp trên miền tần số:

– Phần có tần số cao bị giảm bớt hoặc bị loại bỏ.

– Các thành phần tần số được nhân với một hàm không tăng  như

1/ = 1/(u2+v2 ).

Làm nét: Sai phân / Lọc thông cao

Kết quả của quá trình làm nét:

• Trên miền không gian, sử dụng phương pháp sai phân:

– Mỗi pixel của kết quả đầu ra là sai phân giữa nó với các láng giềng theo cường độ sáng.

– Sử dụng phương pháp nhân chập với ma trận mặt nạ có tổng giá trị bằng 0.

• Lọc thông cao trên miền tần số:

– Các thành phần có tần số cao được tăng cường hay mở rộng.

– Các thành phần tần số được nhân với một hàm tăng  như  =

(u 2+v2 ), với  là hằng số.

Ý tưởng của lọc thông thấp

Biểu diễn trên miền tần Biểu diễn trên miền không gian

Ảnh đầu vào có kích thước 512x512

Ảnh đầu vào có kích thước 512x512

Multiply by this, or …

… convolve

by this

Ý tưởng của lọc thông thấp

… convolve

by this

Biểu diễn cường độ và pha của ảnh

Ý tưởng của lọc thông thấp

Ideal LPF in FDIdeal LPF in FD

Image size: 512x512

FD filter radius: 16 Image size: 512x512

FD filter radius: 16

Ý tưởng của lọc thông thấp

Original Image

Image size: 512x512

FD filter radius: 16 Image size: 512x512

FD filter radius: 16

Ý tưởng của lọc thông cao

Multiply by this, or … … convolve by this

… convolve

by this

Ý tưởng của lọc thông cao

Ideal HPF in FD

Image size: 512x512

FD notch radius: 16 Image size: 512x512

FD notch radius: 16

Ý tưởng của lọc thông cao

Original Image Filtered Image Filtered Image * *

Filtered Power Spectrum

Image size: 512x512

FD notch radius: 16 Image size: 512x512

FD notch radius: 16

Ý tưởng của lọc thông cao

Filtered Image Filtered Image * *

Image size: 512x512

FD notch radius: 16 Image size: 512x512

FD notch radius: 16