thi HSG cap truong toan 9

Vẽ các đường trung trực HE, HF của AC và BC.. Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm..[r]

TRƯỜNG THCS ĐINH TIÊN HOÀNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2012 – 2013

Môn: Toán – Lớp 9

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 90 phút

( Không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (4 điểm) cho A = x2 4x y 2 8y6

a Tìm giá trị nhỏ nhất của A ( 3 điểm)

b Tìm x,y khi dấu bằng xảy ra ( 1 điểm)

Câu 2: (4 điểm) Chứng minh n4 4n3 4n216n chia hết cho 384 khi n chẵn và n > 4

Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình:

Câu 4: (4 điểm) Cho hình vẽ

A

E

D

a Chứng minh:

AE < AC + BC

b Chứng minh:

Nếu BC > AC thì BC + AE ≥ AC + BD

Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G Vẽ các đường

trung trực HE, HF của AC và BC

Chứng minh: BG = 2 HE

-Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC: 2012- 2013 MÔN TOÁN 9

Câu 1: (4 điểm) cho A = x2 4x y 2 8y6

a Phân tích A= (x-2)2 + (y-4)2

– 14  A≥ -14 ( 3 điểm)

b Dấu bằng xảy ra  x = 2; y = 4 ( 1 điểm)

Câu 2: (4 điểm) Chứng minh n4 4n3 4n216n chia hết cho 384 khi n chẵn và n > 4

3

2

( 4) 4 ( 4)

( 2)( 2)( 4)

   

Vì n chẵn, n>4 Đặt n = 2k+2 (2 diểm)

 A= (2k +2)(2k)(2k+4)(2k-2)

= 16k(k-1)(k+1)(k+2) (1 diểm)

Vì k(k-1)(k+1)(k+2) tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 24

Nên A chia hết cho 16.24 (1 diểm)

Vậy A chia hết cho 384

Câu 3: (4 điểm)

Giải phương trình

0

    (1 điểm)

x

( 4)(1 2 )

0



    (1 điểm)

 (x + 4)(1 – 2x) = 0

 x = -4 hoặc x = 0,5 (1 điểm) Thế vào mẫu thức

Với x = 0,5 thì 2x2 5x2 =0 Với x = -4 thì (2x2 5x2)(2x2 7x3) ≠ 0 Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = -4 (1 điểm)

Câu 4: (4 điểm)

a Chứng minh AE < AC + BC

Ta có ∆ABE vuông tai E => AE < AB (1 điểm) ∆ABC thì AB < AC + BC (1 điểm)

Vậy AE < AC + BC.

b Chứng minh: Nếu BC > AC thì BC + AE ≥ AC + BD

Ta coi diện tích ∆ABC là S

 2S = BC AE = AC BD



2S

AE BC



;

2S

BD AC



Do đó BC + AE – (AC + BD) = BC +

2S

BC - AC -

2S

AC

= (BC – AC) +

2S

BC -

2S

AC

= (BC – AC) +

2

S AC

BC AC -

2

S BC

= (BC – AC) -

2

S

=( BC – AC)(1 -

2

S

AC BC) (1 điểm)

Vì AE ≤ AC nên AE.BC ≤ AC.BC 

2

S

AC BC ≤ 1 ; với BC > AC (1 điểm)

Do đó BC + AE – (AC + BD) ≥ 0

Vậy BC + AE ≥ AC + BD

Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G Vẽ các đường

trung trực HE, HF của AC và BC

Hình vẽ đúng (1 điểm)

A

D

E

G H

B K F C

Chứng minh: BG = 2 HE

Nối EF là đường trung bình của tam giác => AB = 2 EF (1 điểm)

Cần chỉ ra ΔABG đồng dạng ΔFEH (g-g) (1 điểm)

Đưa ra tỉ số đồng dạng (1 điểm)

Kết luận BG = 2 HE

Hết