mẹo nhỏ tính tích phân từng phần

cách tính tích phân từng phần hay

VÀI M O NH KHI TÍNH TÍCH PHÂN B NG

LÊ ANH D NG (Gv THPT Chuyên Hu nh M n t, R ch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân b ng công th c tích phân t ng ph n  udvuv vdu, n u

ta ch n u, v m t cách khéo léo thì thành ph n  vdu s đ n gi n và vi c tính tích phân s

đ n gi n h n Bài vi t này trao đ i v i các b n m t s k n ng khi tính tích phân b ng

ph ng pháp tích phân t ng ph n.

1 Tách tích phân thành 2 ph n, t ng ph n 1 ph n sao cho ph n còn l i kh vdu

Thí d 1: Tìm nguyên hàm I = 2 x 2

e (x 4x1)dx

 Bình th ng ta đ t u = x2

+ 4x + 1 thì ph i tích phân t ng ph n 2 l n; đ tránh đi u này,

ta thêm b t, đ thành ph n vdu kh h t ph n còn l i.

2

2 x

2 x

2 x

du 2xdx

dv e dx

2











s kh h t xe2x do đó ta thêm vào u : + 3x đ ph n còn l i ch còn xe2x

e (x 4x1)dx e (x 3x)dx e (x1)dx

t

2

2 x

dv e dx







du (2x 3)dx 1

2











= 1e (x2 x 2 3x) 3e dx2 x 1e (x2 x 2 3x) 3e2 x C

Thí d 2: Tìm nguyên hàm sau x 3 2

I e (x 4x 1)dx

T ng t ví d trên

2 x

s kh h t 3x2

ex

do đó ta thêm vào u : x2 đ ph n còn l i còn l i 3x2

2 x

s kh h t 2xex do đó ta l i

thêm vào u: -2x đ ph n còn l i ch còn 2x.

I e (x x 2x)dx e (3x 2x1)dx

3 2

x

dv e dx







2

x

du (3x 2x 2)dx

v e









Ie (x x 2x) e (3x 2x2)dx e (3x 2x1)dx

Trên c s đó, ta có th s d ng s đ sau đ tìm thành ph n u cho bài toán tính tích

phân t ng ph n c a hàm s ax b n n 1

e  (a x a  x     a a )dx



(n-2)/a n/a (n-1)/a

_

x

_

x

bn - 3

bn - 2

bn - 1=an

h s c a đa th c c a u

n

n 1

k k 1 k 1

k 2

a

















(Nhân lên, l y h s c a đa th c tr r i h xu ng)

Thí d 3: Tính I =

1

0

e (x 4x  x 1)dx



5 2

-3 2

1

-5 2 x

_

1

1 2 1

3 2 2

5 2 n=5, a =2

1 0

h s c a đa th c c a u

Trình bày:

I =

t

2 x

dv e dx











,

2x

du 5x v

5

2 1

e 2













0 0 1

0





0 0 1

0



Thí d 4: Tính tích phân I = e 3 2 2

1

x ln x 2x 2

x



Chú ý: (x2 1) ' 2x; (ln x)' = 4.4 1ln x3

x

  , ta tách I thành 2 tích phân đ kh vdu

x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx

t u ln x4

dv xdx







2

3

4 ln x

x 1

2













Suy ra I = 2  4

1

 2  4 2

1

2 Thêm h ng s cho v

Trong các bài toán du có ch a m u s , th ng ta ch n cho v m t h ng s C thích h p

đ thành ph n vdu kh b t phân s

Thí d 5: Tính tích phân I =

1

3

0 (2x1) ln(x 1)dx



3

dv (2x 1)dx

1





3

2 2

du

dx

x









Bình th ng ta l y v = x2

– x, nh ng đây ta ch n C = + 1 m c đích là kh b t m u s

trong vdu

Khi đó: I =

1 1 3 0 0

2

x 1

+1





=

1 1

2

1

x 1





Thí d 6: Tính tích phân / 4 2

0

ln(sin cos ) cos

dx x







t u = ln(sinxcos )x  du = cos sin

sin cos

dx





v = 12

cos xdx ch n tan sin cos

cos

x

x

Bình th ng ta hay l y v = tanx nh ng đây ta thêm C = 1 đ kh m u

Khi đó: I =

/ 4 / 4 0 0

cos sin (tan 1) ln(sin cos )

cos

x



= 2 ln 2 ( ln cos )0/4 3ln 2

3 Cách ch n thành ph n dv

tìm v, ta ph i tìm nguyên hàm c a dv Trong tr ng h p dv không có trong b ng nguyên hàm c b n, ta ph i tách tích đ l y đ c nguyên hàm c a dv theo bi n s m i

Thí d 7: Tính tích phân 4 2 2

0

x

dx (x sin xcos x)



gi m b c m u thì 1 2

(x sin xcos x) ph i n m trong thành ph n dv; đ tìm đ c

nguyên hàm theo bi n xsinx + cosx ta c n có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx

L i gi i

cos x (x sin x cos x) (x sin x cos x)

t

x

u

cos x

x cos x d(x sin x cos x)

(x sin x cos x) (x sin x cos x)













x sin x cos x

cos x 1 v

x sin x cos x



















Khi đó I =

4 4

2

0 0

4 0

tan x cos x(x sin x cos x) cos x

 









Thí d 8: Tính tích phân 48 2

0

1 3

( 1)

x dx

x 



gi m b c l n d i m u, ta có th dùng tích phân t ng ph n kh b c 2 d i m u

thì 41 2

(x 1) ph i n m dv Nh ng đ l y đ c nguyên hàm theo x

4

thì ta c n (x4

)’ = 4x3

t

5

u x

x dx 1 d(x 1)

dv

4















, ch n

4

4

du 5x dx

1 1 v

4 x 1



 











V y I =

1

0

dx 4

=

Ta có

1

1 3

3 2

0 0





t x = tant Ta tính đ c Tính

1 3

2 0

1 dx 2(x 1) 12



V y I = 1 1ln 3 1

4





Cu i cùng chúng tôi xin đ a ra m t s bài t p đ các b n t luy n t p

Tính các tích phân sau:

1)

2

2

1

ln(1 x)

dx

x



1 3 2

2 x 0

dx e

 3)

e

3

1

ln xdx

 4) esin x( x cos x)dx





2 0 1

5)

2

x 0

1 sin x

dx (1 cos x)e







1

0

1 dx (x 1)

 _ H T_