Nguyên hàm I = .Tìm cách phân chia biểu thức dưới dấu tích phân thành hai phần : u và dv một cách thích hợp.Ta phải tính du và v Hai phép toán ngược nhau... Có thể giải bài toán trên bằn
Trang 1******************************************************************************
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Chú ý :
Ký hiệu P(x) là đa thức biến số x
Nguyên hàm I = .Tìm cách phân chia biểu thức dưới dấu tích phân thành hai phần : u
và dv một cách thích hợp.Ta phải tính du và v (Hai phép toán ngược nhau)
Sau đó áp dụng : = uv -
Một số dạng bài tập điển hình :
-Đều đặt u = P(x) ,phần còn lại là dv
2 I = Đặt u = lnx , phần còn lại là dv
(Trường hợp này :Kể cả khi P(x) là hằng số)
3 I = Đặt u = lnx , phần còn lại là dv
4 I = , I = - Đặt u = , phần còn lại là dv
Nhiều bài không thuộc dạng điển hình vẫn có thể giải phương pháp tích phân từng phần
Hướng dẫn : Tính VT theo phương pháp tích phân từng phần ( Đặt u = cos6
x và dv = cos6xdx )
Ta có : VT = cos6x.dx = d(sin6x)
= + sinx.sin6x.dx = 0 + sinx.sin6x.dx = VP
Tính : J = cos7x.dx
= cos6x.dx - sinx.sin6x.dx = 0 (Theo kết quả trên )
Ví dụ 2: Tính I =
Bài giải 2: Dùng phương pháp đổi biến số ,( đặt t = x-1).Hoặc làm gộp như sau để
không phải đổi cận Ta viết :
Trang 2******************************************************************************
Lưu ý : (1- = (x - và (1- = - (x -
Bài tập 1: Tính : I = dx
Bài giải 1: Tính I = dx Tích phân từng phần
Ta tính I1 = để thay vào (*)
Đặt = t Thì x = t Khi x = 0 , t = ; Khi x = , t = 0 và dx = - dt Do đó :
(Đã đổi cận và đổi dấu; - tích phân không phụ thuộc biến số)
= - I1
Thay I1 = ln2 vào (*) Ta được : I = - =
Trang 3******************************************************************************
Ở bài toán trên ta đã vận dụng hai phương pháp :Tích phân từng phần và đổi biến số.Tùy cơ ứng biến trong giải bài tạp Không có khuôn mẫu cho cách giải mọi bài toán
Có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đổi biến số như sau
Bài tập 2: Tính I = dx
Lời Giaỉ : Đặt t = – x.
Ta có:dx = - dt Khi x = 0, t = ,khi x = , t = 0 , = ln
Suy ra : 2I = ln2 = ln2 = Vậy I =
( Đừng nhầm tưởng rằng:Tích phân có chứa logarit là phải tính theo tích phân từng phần )
Bài tập 3: Tính In = (Lập công thức tính truy hồi)
Lời Giaỉ : Viết : In = =
Đặt Thì :
In= - cosx.sinn-1x + (n-1) co x.dx = - cosx.sinn-1x + (n-1) (1- si x)dx
= - cosx.sinn-1x + (n-1) dx – (n-1) dx
Tức là ta có công thức truy hồi: n.I n = - cosx.sin n-1 x + (n- 1).I n-2
Bài tập 4: Tính In = (Lập công thức tính truy hồi)
Lời Giaỉ :Viết : In = =
Đặt Thì :
In= sinx.cosn-1x + (n-1) x.dx = sinx.cosn-1x + (n-1) (1- x)dx
= sinx.cosn-1x + (n-1) dx - (n-1) dx
Trang 4******************************************************************************
Tức là ta có công thức truy hồi: n.I n = sinx.cos n-1 x + (n- 1).I n-2
Bài tập 5: Tính In = (Lập công thức tính truy hồi)
Lời Giaỉ :Viết : In = = =
= - = ta x -
Tức là ta có công thức truy hồi: I n = ta x – In-2
Bài tập 6: Tính : In = (Lập công thức tính truy hồi)
= + 2n - 2n Tức là có : 2nIn+1 = + (2n-1)In Tức là ta có công thức truy hồi: I n+1 = + .I n
Bài tập 7: Tính In = dx Với n -1
- Đặt : -Thì :
Do đó In = dx = x - n dx Vậy: I n = x - n.I n-1
Bài tập 8: Tính In = Với m 1
- Đặt : -Thì :
Bài tập : 1/Tính tích phân : (Hdẫn:đặt u = , dv = cosxdx)
Trang 5******************************************************************************
2/Tínhtích phân : I=
Tính I2 = 2 : Đặt u = x và dv = sinx.dx - (Tích phân từng phần)
3/ Tính tích phân : I=
Tính I2= : Đặt u = x và dv = - (Tích phân từng phần)
4/ Tínhtích phân: I =
5/ Tính tích phân: I =
-Đặt : thì : Do đó : I = = (t.lnt – t ) = 2ln2 – 1
6/ Tínhtích phân : I = dx Ta có : I=
Trang 6******************************************************************************
Do đó : I = - = - J (*)
Ta có : I = - = … = - ln = - 2ln(2+
7/ Tínhtích phân : I =
- Tính I1 = ( Đặt u = và dv = sinx.dx )
-Tính I2 = (Đặt u = và dv = )
8/ Cho : In = .dx Hãy tính I0 và tính tổng In + In+1
Lời giải : Tính I0 = = = .Đặt Ta có :
Tính I0 có thể đặt t = , dt = 2 dx nên dx = , Ta có I0 = =
Tính tổng I1+I2 : Vì In = nên In+1 = =
Trang 7
******************************************************************************
= .d(2nx) = =