Bài giảng Toán rời rạc: Ghép cặp trên đồ thị hai phần - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Ghép cặp trên đồ thị hai phần cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Ghép cặp Nam & Nữ, định lý Hall, làm thế nào để tìm ghép cặp cực đại? Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

Ghép cặp trên đồ thị hai phần

Trần Vĩnh Đức

HUST

Ngày 24 tháng 7 năm 2018

Ghép cặp trên đồ thị hai phần

Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí)

Tìm bạn nhảy

người đôi một lạ nhau!

Tìm bạn nhảy

quen đúng 50 cô gái!

nhảy cùng nhau phải biết nhau?

Nội dung

Ghép cặp Nam & Nữ

Định lý Hall

Làm thế nào để tìm ghép cặp cực đại?

Đồ thị Nam & Nữ

Albert R Meyer April 3, 2013

Nam & Nữ hợp nhau

Hợp nhau

bipartite.2

Đồ thị Nam & Nữ

Albert R Meyer April 3, 2013

bipartite.3

Compatible Boys & Girls

Đồ thị Nam & Nữ

Albert R Meyer April 3, 2013

Compatible Boys & Girls

Đồ thị Nam & Nữ

Albert R Meyer April 3, 2013

bipartite.6

Compatible Boys & Girls

Đồ thị Nam & Nữ

Albert R Meyer April 3, 2013

bipartite.7 3

Compatible Boys & Girls

Compatible Boys & Girls

Not enough boys for these girls!

Có 3 cô gái nhưng chỉ có 2 chàng trai phù hợp

Không tồn tại cặp ghép cho Nữ

Albert R Meyer April 3, 2013

Bổ đề (Tắc nghẽn)

Nếu tồn tại tắc nghẽn, vậy không tồn tại cặp ghép

Định lý (Hall)

Ngược lại, nếu không có tắc nghẽn, vậy có tồn tại cặp ghép

Bài tập

114 Matching, marriage and Menger's theorem

of'V\, let (p(A) be the set of vertices ofVi that are adjacent to at least one vertex of

A Then a complete matching from V\ to V 2 exists if and only if jAj S l<p(A)/\ for each subset A ofV\

Proof The proof of this corollary is a translation into graph terminology of the above

(i) Draw the bipartite graph corresponding to this table of relationships,

(ii) Find five different solutions of the corresponding marriage problem,

(iii) Check the marriage condition for this problem

tool-maker, and receives five applicants - one for the job of bricklayer, one for carpenter, one for bricklayer and plumber, and two for plumber and toolmaker

(i) Draw the corresponding bipartite graph

(ii) Check whether the marriage condition holds for this problem

Can all of the jobs be filled by qualified people?

the marriage condition fail?

Fig 25.4

marry more than one of his girl friends Find a necessary and sufficient condition for the

18 / 39 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Nội dung

Ghép cặp Nam & Nữ

Định lý Hall

Làm thế nào để tìm ghép cặp cực đại?

Định lý (Hall)

|S| ≤ |E(S)|

vậy có tồn tại một cặp ghép

Chứng minh định lý Hall

Bổ đề

Giả sử không có tắc nghẽn Hơn nữa, nếu S là một tập những cô

Albert R Meyer April 3, 2013

Chứng minh định lý Hall

Trường hợp 1

hai phần

Trường hợp 2

|S| < |E(S)|

nào đó Tại sao?

còn lại Tại sao?

Kiểm tra tắc nghẽn?

Mệnh đề

Tìm bạn nhảy

quen đúng 50 cô gái!

nhảy cùng nhau phải biết nhau?

Nội dung

Ghép cặp Nam & Nữ

Định lý Hall

Làm thế nào để tìm ghép cặp cực đại?

Đường mở

Định nghĩa

Xét đồ thị hai phần G và M là một ghép cặp trong G Ta nói rằng

▶ P bắt đầu và kết thúc ở hai đỉnh u, v nào đóchưa được ghépcặp; và

Tính chất của đường mở

10.4.1 Show by an example that it may happen that a bipartite graph G has

a perfect matching, but if we are unlucky, the greedy matching M constructed

above is not perfect.

10.4.2 Prove that if G has a perfect matching, then every greedy matching

matches up at least half of the nodes.

So suppose that we have constructed a matching M that is not perfect.

We have to try to increase its size by “backtracking,” i.e., by deleting some

of its edges and replacing them by more edges But how do we find the

edges we want to replace?

The trick is the following We look for a path P in G of the following

type: P starts and ends at nodes u and v that are unmatched by M; and

every second edge of P belongs to M (Figure 10.6) Such a path is called

an augmenting path It is clear that an augmenting path P contains an odd

number of edges, and in fact, the number of its edges not in M is one larger

than the number of its edges in M.

v u

Tăng kích thước ghép cặp dùng đường mở

Hình:Nếu tìm được một đường mở P, ta có thể xóa các cạnh trong M

và thay bằng các cạnh P không thuộc M.

Chiến lược tìm ghép cặp cực đại

Tại sao chiến lược này đúng?

Định lý

Nếu ghép cặp M trong đồ thị hai phần G không phải ghép cặp cực đại, thì G chứa một đường mở cho M.

bậc 1 hoặc 2 Tại sao?

hoặc chu trình;

Bài tập

Hãy tìm ghép cặp cực đại cho cho đồ thị hai phần sau và chứng

minh nó là ghép cặp cực đại

10.4Ho wto Finda Perfect Matching

177

FIGURE10.9.

Agraph fortrying

outthe algorithm.

10.4.8 Now suppose thatw eha ve thew eaker conditionthat

every nonempty

subsetA onthe lefthas atleast

|A

|−

1neigh bors onthe right.

Prove thatG

contains amatc hingthat

matches upall butone node oneac hside.

10.4.9 LetG be abipartite graphwith

mno deson both sides.Pro

ve thatif

each node hasdegree largerthan

m/2, thenit hasa perfect matching.

10.4.10 Does thegraph inFigure 10.10ha

ve ap erfectmatc hing?

FIGURE10.10.

Atruncated chessb

oard.

10.4.11 Draw agraph whoseno

desare thesubsets of

{a, b,c }, andfor which

tw ono desare adjacent

ifand onlyif

theyare subsetsthat

diff erin exactlyone

element.

(a)What isthe num ber ofedges andno

desin thisgraph?

Cany ouname this

graph?

(b)Is thisgraph connected?Do

esit have ap erfectmatc hing?Do

esit have

a

Hamiltoncycle?