Bài giảng Toán rời rạc: Luồng trên mạng (V0.1) - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Luồng trên mạng cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Bài toán luồng cực đại trên mạng, thuật toán Ford-Fulkerson, luồng cực đại và lát cắt cực tiểu, tính hiệu quả của thuật toán. Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 2

Tài liệu tham khảo

Algorithms, July 18, 2006.

Trang 3

Nội dung

Bài toán luồng cực đại trên mạng

Thuật toán Ford-Fulkerson

Luồng cực đại và lát cắt cực tiểu

Tính hiệu quả của thuật toán

Trang 4

Bài toán chuyển dầu

ptg12441863

887

Network-flow algorithms

-

con-0->1->3->5

0->2->4->5 0->1 , 2->4 , and 3->5

drawing with capacities drawing with flow flow representation

Local equilibrium in a flow network

inflow equals outflow

at every vertex

(except the source

and the sink)

Trang 5

Mô hình bài bài toán

5

chuyển qua đường ống này

Trang 6

Một luồng chuyển 7 đơn vị dầu từ s tới t

Liệu có cách nào làm tốt hơn?

Trang 7

▶ c là một hàm gắn trên mỗi cạnh e của G một giá trị c e > 0

Bài toán

Ta muốn chuyển nhiều dầu nhất có thể từ s tới t mà không vượt

quá khả năng thông qua trên mỗi cạnh

Trang 8

Định nghĩa (Luồng)

Một luồng trên mạng G là một hàm

f : E −→ R+∪ {0},

Trang 9

Luồng và lượng dầu chuyển

Trang 10

Định nghĩa

Giá trị của luồng là tổng lượng gửi từ s đến t Theo luật bảo

toàn, size(f) bằng lượng rời khỏi s:

(s,u) ∈E

f su

{f e : e ∈ E}

thỏa mãn một số ràng buộc

Trang 12

Nội dung

Trang 13

Thuật toán tham lam

▶ Lặp lại : Chọn một đường đi thích hợp từ s tới t và tăng

luồng nhiều nhất có thể dọc theo đường này

Trang 16

Tìm đường tăng luồng

Tìm cạnh (u, v) có một trong hai kiểu

c uv − f uv

Trang 17

Đường tăng luồng

▶ “Giảm” luồng f e đã gửi

Khả năng thông qua còn lại

1/1

Trang 18

1

Trang 19

Đường tăng luồng

Trang 20

Ford-Fulkerson (G)

f = Augment(f, c, P)

return f

Trang 21

Lecture slides by Kevin Wayne

http://www.cs.princeton.edu/~wayne/kleinberg-tardos

7. NETWORK FLOW I

‣ Ford-Fulkerson demo

Trang 22

10 4

Trang 23

Ford-Fulkerson algorithm demo

Trang 24

—

Trang 25

10

10 6

Trang 27

Trang 28

nodes reachable from s

Trang 29

Nội dung

Trang 30

các cạnh từ L sang R = 4 + 1 + 2 = 7.

Trang 31

Định nghĩa

qua của các cạnh từ L đến R Cụ thể,

u ∈L, v∈R

c uv

Chặn trên cho luồng

Với mỗi luồng f và mỗi lát cắt (L, R), ta luôn có

Trang 32

Định lý (Max Flow-Min Cut)

Kích thước của luồng cực đại trong mạng bằng với khả năng

thông qua của lát cắt cực tiểu

Chứng minh

t không đến được từ s trong đồ thị G f

là một lát cắt

size(f) = capacity(L, R).

và mọi cạnh từ R tới L phải có luồng bằng 0.

Trang 34

Q & A

Liên quan đến thuật toán Ford-Fulkerson

minh Định lý Max Flow-Min Cut

đại? Có chứ Lát cắt cực tiểu là bằng chứng

tăng luồng là luồng lại tăng lên Luồng không thể tăng vô hạn

Trang 35

Nội dung

Trang 36

Trường hợp tồi tệ của thuật toán

Kể cả khi khả năng thông qua là tối ưu, số đường tăng luồng cầntìm có thể lớn bằng giá trị của luồng!

Ví dụ

được luồng cực đại

Trang 40

Trường hợp tồi tệ của thuật toán

luồng!

Trang 41

Lựa chọn đường tăng luồng

Bẳng:Đồ thị có trọng số với n đỉnh và m cạnh, và các khả năng thông qua là số nguyên trong khoảng 1 đến ℓ

Trang 42

Bài tập

Hãy chạy thuật toán Ford-Fulkerson để tìm luồng cực đại cho

mạng sau Bạn nên dùng thuật toán BFS để tìm đường tăng luồng

5

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	551,02 KB