Phân loại và phương pháp giải bài tập giới hạn

Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau... Lời giải ĐÁP ÁN B Vậy dãy đã cho có giới hạn... Một vài quy tắc về giới hạn vơ cực: a Quy tắc tìm giới hạ

Ta nói dãy số ( )u n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương

bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn ( )u n có công bội q, với q <1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Kí hiệu: limu = +¥ n hay u  +¥ n khi n  +¥.

· Dãy số ( )u n có giới hạn là -¥ khi n  +¥, nếu lim(-u n)= +¥

Kí hiệu: limu = -¥ n hay u  -¥ n khi n  +¥.

Nhận xét: u n= +¥  lim(-u n)= -¥

2 Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

c) Nếu limu = +¥ n và limv n= >a 0 thì lim u v n n= +¥

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

u n

-= + và 21 .

2

n v n

= + Khi đó lim(u n+v n) có giá trị bằng:

Lời giải Chọn B

m 2

0 1

0

n

n n n

u

n

u n

n

v n

ç - = -÷

Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau

(các bài sau có thể làm tương tự) :

Nhập sin 5( ) 2.

3

X

X - Bấm CALC và nhập 9999999999(một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn

Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT

Ví dụ 3 : Kết quả của giới hạn lim3sin 4 cos

1

n

+ + bằng:

Lời giải Chọn B

-=

A 0. B 1 C 4. D Vô số

Lời giải Chọn A

k n n

Ta có lim cos1 cos 0 1

n= = nên bài toán trở thành tìm k sao cho

*

1 2

, 3

2

k k

( ) ( )

1 1

Q n = b n , viết tắt ( )

( )

m m k k

Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0

Ví dụ 3 : Cho dãy số ( )u n với 2

5 3

n

n b u

n

+

= + trong đó b là tham số thực Để dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu

+ +

= + Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a

+ +

=  = +

Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0

Câu 2: Giá trị của giới hạn lim3 34 2 1

Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0

Câu 3: Cho hai dãy số ( )u n và ( )v n có 1

1

n u n

= + và 2 .

2

n v n

= + Khi đó lim n

Ta có

1 1

n

+ +

+

= + trong đó a là tham số thực Để dãy số ( )u n có giới hạn bằng 2, giá trị của a là:

Lời giải Chọn A

Ta có

4 4

2

1 5 1

1 3

2

Lời giải Chọn C

n

n n

n

n n

æ ö÷

çè ø -

lim

2 1

A 3.

7

Lời giải Chọn B

lim

2 3

n

n n

n

n n

æ ö÷

çè ø -

3 3

lim

3 1

+

- B lim 2 23 3 .

n n

Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường hợp

« bậc tử » < « bậc mẫu » !

3 2

3 2 lim

n n

+

= +¥

- : « bậc tử » > « bậc mẫu » và a b = m k 2.2 = > 4 0.

2 3

n n

-=

- - : « bậc tử » < « bậc mẫu »

3 2

lim

n n n

a b

-= +

Lời giải Chọn C

1 1

< >

ïî



Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau

Câu 14: Tính giới hạn L= lim 3( n2 + 5n- 3 )

Lời giải Chọn D

2

5 3 lim 3 5 3 lim 2

2

5 lim 5n 3 a 2 n limn 3 a 2

+ + + + + bằng:

A 1.

Lời giải Chọn B

Câu 24: Giá trị của giới hạn

1

, 1 2

n n

u u

ì = ïï

Lời giải Chọn B

1 1 9

Lời giải Chọn C

4

4

2 1 1

+ + là:

A 5.

Lời giải Chọn D

3 2

2

Lời giải Chọn B

¾¾  íï =ïî 2 2¾¾  = 8

0

a

S b

Câu 32: Kết quả của giới hạn

10 lim

1

n +n + là:

Lời giải Chọn C

+ +

+ - là:

Lời giải Chọn C

n

+ +

b a

c

ìïï = ï

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

2

1 1

Lời giải Chọn A

n+ - 5 n+ 1  n- n= ¾¾ 0 nhân lượng liên hợp :

a a n

Nếu n2 - 8n- +n a2  n2 - = ¾¾n 0 nhân lượng liên hợp :

3n + - 1 3n + 2  n - n = ¾¾ 0 nhân lượng liên hợp :

3n3 - 2n2 -n 3n3 - = ¾¾n 0 nhân lượng liên hợp :

n2+ - n + là:

Lời giải Chọn C

9n -n- n+ 2  9n = 3n =/ 0 ¾  ¾ giải nhanh :

n + -n là:

Lời giải Chọn B

+

Cách 1: Giải  bằng tự luận 

n 5n 2

9 33

33

n n

a a

Lời giải Chọn A

+ æ ö÷ ç ç ÷÷ -

æ ö÷

ç

- ÷ ç ÷ -

c b n

( ) ( )

A 1. B 1.

4

Lời giải Chọn D

Giải nhanh : Vì 3 > 5 nên 3n- 5n 3n¾¾ +¥

Cụ thể : lim 3 5 lim 3 1 5

3

n n

æ æ ö ÷ ö ç

3

n n

3

n n

Cụ thể : 8.3 24. 3 0

4 4

ïï  +¥

ïï ïî

2 3 10.

2 2 2

n n

n n

ìïï = +¥

ïï ïï

4 2 lim

3 4

n n

n n a

+ +

+

Lời giải Chọn B

( )

1 4

æ ö÷

ç + ç ÷çè ø÷+

Lời giải Chọn C

Ta có lim 2 2 ( )1 lim 2 2 lim( )1 .

2 1

n n n

n

n n

lim 3 ( )1 cos 3 lim 3 ( )1 cos 3 .

Câu 12: Kết quả của giới hạn lim 2.3n- +n 2 là:

n

n n

2 1

n

n n

C

üïï ïï ïï

ø þ

Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có :

Ta có

1

1 : 1,

Ta có

: 1, 2

S = + + + +  + 

Lời giải Chọn A

Ta có

: 1, 3

n

CSN lv n

h u q n

2 6 18 2.3

n n

+

1

1, 3

n n

q S

Ta có

1 2

1 : 3 :

1 1 3

1

a b

Lời giải Chọn B

Ta có 1 2 n

+ + + + là tổng n +1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và

Ta có

2 1

Lời giải Chọn C

Ta có

( )

2 1

Lời giải Chọn B

Ta có tanaÎ( )0;1 với mọi 0; ,

= + + C A 1 1 1 .

1 1

n N

N n

T = +a b

Lời giải Chọn B

Ta có 0,5111  = 0,5 10 + - 2 + 10 - 3 + +  10 -n+ 

Dãy số 10 ;10 ; ;10 ; - 2 - 3 -n là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 2

u = - công bội bằng q= 10-1 nên 1 2

= + = = ¾¾  íï =ïî ¾¾  = + =

Câu 13: Số thập phân vô hạn tuần hoàn A =0,353535 được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b Tính .

T=ab

Lời giải Chọn B

Câu 14: Số thập phân vô hạn tuần hoàn B =5, 231231 được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b Tính .

T= -a b

Lời giải Chọn A

Ta có

ì = ïï

Câu 15: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323¼ được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b Khẳng định nào dưới đây đúng?

A a- >b 2 15 B a- >b 2 14 C a- >b 2 13 D a- >b 2 12

Lời giải Chọn D

4950

a

T b

Vậy dãy  U  tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi n a limU nlimU  n 1

Ta có: lim Un 2 LimU n  a 2 a a2 2 a  

Lời giải  ĐÁP ÁN C. 

C. lim un  1   D. lim u  không tồn tại. n

Lời giải  ĐÁP ÁN B 

 Dãy số 1, 2, 3, …, n là cấp số cộng có số hạng đầu là u 1 số hạng cuối cùng 1 unn , công sai 

Câu 7:  Tìm giới hạn của dãy: 

1

2

* n

n 1

1U

U1

C.  3   D. Không có giới hạn. 

Lời giải  ĐÁP ÁN B 

Vậy dãy đã cho có giới hạn. Đặt lim Un 1 lim Una a 0    

Ta có: lim Un 1 lim 2Un  a 2aa22a a 2

 Cho hàm số y f x   xác định trên khoảng x ;b 0 

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f x   khi xx0 nếu với dãy số  xn bất kì,

 Cho hàm số y f x   xác định trên khoảng a;x 0 Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm

số y f x   khi xx0 nếu với dãy số  xn bất kì, a x nx và x0 nx ta có: f(x )0 n L Kí hiệu:

x x0lim f(x) L







* Định nghĩa: Cho hàm số y f x   xác định trên khoảng a;.

Ta nói hàm số y f x  có giới hạn là  khi x   nếu với mọi dãy số (x )n bất kì,

3 Một vài quy tắc về giới hạn vơ cực:

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

lim f(x) L 0 và lim g(x) hoặc thì lim f(x)g(x)

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn

( )2 2

2

x

x x

 + là:

2 -

Lời giải Chọn B

( )( )

2 2

Lời giải Chọn C

Lời giải Chọn D

+ -

-Câu 7: Giá trị của giới hạn 2

9 lim

1 lim

lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L

Tử số có giới hạn là 1, mẫu số có giới hạn 0 và khi x 2 thì x22x 0.

x x

Vì ( )

2

2 2

2 lim 2 0 & 2 0, 2

x

x x

2

x

x x

2 2

2 lim 2 0 & 2 0, 2

x

x x

+



-+ + là:

Lời giải Chọn B

13 30 lim

Ta có x + >3 0 với mọi x > -3, nên:

.

x

x x

víi víi Khi đó lim2 ( )

x f x

 là:

Lời giải Chọn C

ìïï

ïî

víi víi Tìm a để tồn tại ( )

víi víi víi

Khẳng định nào dưới đây sai?

Câu 12: Giá trị của giới hạn ( 3 2 )

Giải nhanh: x +¥ : x2 + + 1 x x2 + =x 2x +¥

Đặt x làm nhân tử chung:

1

x x

íï + + = >

ïï ïî

Câu 14: Giá trị của giới hạn lim (3 3 3 1 2 2)

+¥ - + + là:

Lời giải Chọn B

x x

 Nếu tam thức bậc hai

 a b c d 0 thì pt có một nghiệm là x1 1, để phân tích

thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner

 a b c d 0 thì pt có một nghiệm là x1 1, để phân tích

thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính

Ví dụ 6: Tính 2

x 2

4 xlim

CALC 1 10   ta được kết quả  24

Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 24 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:

CALC 4 10   ta được kết quả 8

Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 8 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:

x

x x

-+ + là:

2 2

3 lim 27

x

x x

2 2

+ + + +



+ - là:

Lời giải Chọn C

3 3

Câu 9: Giá trị của giới hạn

Lời giải Chọn B

 Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu)

 Cách tính giới hạn dạng này hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số

CALC 10  ta được kết quả 1

Lời bình: “Bậc tử bằng bậc mẫu” nên kết quả 2 1.

CALC 10  ta được kết quả  

Lời bình: Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên kết quả là 

CALC 10  ta được kết quả 0

Lời bình: “Bậc tử bé hơn bậc mẫu” nên kết quả là 0

Cách 2: Mẹo giải nhanh

51

100 94

2x

A - 2. B +¥ C 3. D 2

Lời giải Chọn D

2

5 3 2

2

5 3 2

Lời giải Chọn D

Khi x  -¥ thì x2 = - ¾¾x  x2 + - 1 x x2 - = - - = -x x x 2x= / 0

¾¾ chia cả tử và mẫu cho x, ta được

2

2

3 2

Khi x  +¥ thì x2 = ¾¾x  x2 + - 1 x x2 - = - =x x x 0

¾¾  Nhân lượng liên hợp:

2 2

2

2 2

lim

lim 1

x

x x

Lời giải Chọn C

Giải nhanh : khi

 Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

 Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

 Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định    ;0 hoặc chuyển về dạng vô định ;0

Giải nhanh : x -¥ ¾¾  2x3 -x2  2x3  -¥

x x

x

L

x x

2 2

Câu 5: Giá trị của giới hạn lim ( 2 1 )

x +¥ ¾¾  x2 + - 1 x x2 - = - = ¾¾x x x 0 Nhân lượng liên hợp

x

-¥

ìïï ï

Khi x +¥ ¾¾  x2 + 3x- x2 + 4x x2 - x2 = 0

¾¾ Nhân lượng liên hợp:

Giải nhanh: x +¥ ¾¾  x + 3x- x + 4x

1

+ + + là:

A 2.

Lời giải Chọn B

1 lim sin

1

x

x x

-BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y=f x( ) xác định trên khoảng K và x0 ÎK.

Hàm số y= f x( ) được gọi là liên tục tại x0 nếu ( ) ( )

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một ''đường liền'' trên khoảng đó

Hàm số liên tục trên khoảng ( )a b; Hàm số không liên tục trên khoảng ( )a b;

III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

b a

y

O

x

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; và f a f b <( ) ( ) 0, thì phương trình f x =( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng ( )a b;

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

çè + ø Hàm số liên tục trái tại x =3.

Vậy hàm số liên tục trên (- 4;3 ]

Câu 2: Hàm số ( ) 3 cos sin

Vì 2sinx + =3 / 0 với mọi TXD

f

Lời giải Chọn D

Vì f x( ) liên tục trên  nên suy ra

Vì f x( ) liên tục trên [- 3;3] nên suy ra

Lời giải Chọn C

Vì f x( ) liên tục trên (- +¥ 4; ) nên suy ra

( )0 lim0 ( ) lim0 lim0( 4 2) 4.

x 3 2 neáu x 1

x 11

-= liên tục tại x =2.

Lời giải Chọn D

Tập xác định: D = , chứa x =2 Theo giả thiết thì ta phải có

Hàm số xác định với mọi x Î  Theo giả thiết ta phải có

= ïï

Hàm số f x( ) có TXĐ: D =[0; +¥). Điều kiện bài toán tương đương với

-= liên tục tại x =3 (với m là tham số) Khẳng

định nào dưới đây đúng?

A m Î -( 3;0 ) B m £ -3. C m Î[ )0;5 D m Î[5; +¥).

Lời giải Chọn B

Hàm số f x( ) có tập xác định là (- +¥ 1; ). Theo giả thiết ta phải có

x x

-Câu 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 2sin1 khi 0

ïî

liên tục tại x =0.

A m Î - -( 2; 1 ) B m £ -2. C m Î -[ 1;7 ) D m Î[7; +¥).

Lời giải Chọn C

 = Hàm số ( )

tan khi 0

x x

liên tục trên khoảng nào sau đây?

x

x x

 = Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )

sin

khi 1 1

khi 1

x x

Lời giải Chọn A

Tập xác định D = . Điều kiện bài toán tương đương với

t



Câu 8: Biết rằng

0

sin lim 1.

x

x x

 = Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) ( )2

1 cos

khi khi

x x

p p

p

ìïï

ïï +íï ïï ïî

¹

-= liên tục tại x=p.

Hàm số xác định với mọi x Î  Điều kiện củz bài toán trở thành:

2 2

+

=

liên tục tại:

A mọi điểm trừ x= 0, x= 1. B mọi điểm x Î .

C mọi điểm trừ x = -1. D mọi điểm trừ x =0.

Lời giải Chọn B

2 2

2 2

¾¾  hàm số y=f x( ) liên tục tại x =0

Câu 10: Số điểm gián đoạn của hàm số ( ) (2 )

x x

1

1 1

f x

x x

Hàm  số  y f x      được  gọi  là  liên  tục  trên  đoạn  a,b      nếu  nó  liên  tục  trên   a,b   và 

x alim f(x) f(a), lim f(x) f x b (b)

Hướng dẫn giải  ĐÁP ÁN C 

Hàm số  y tan x.cot x  xác định khi  1 1 2

Do  đó  trong  bốn  khoảng  của  đề  bài  thì  chỉ  có  0; 2 

   thỏa  điều  kiện  xác  định  của  hàm  số 

A. 1 và 2.  B. 1 và  1   C.  1  và 2.  D. 1 và  2.  

Hướng dẫn giải  ĐÁP ÁN D 

TXĐ: D =  Hàm số liên tục trên mỗi khoảng (-¥ ;2); (2;+¥)

Khi đó f x( ) liên tục trên   f x( ) liên tục tại x =2

A m <2. B 2 £ <m 3. C 3 <m< 5. D m ³5.

Lời giải Chọn A

Dễ thấy f x( ) liên tục trên mỗi khoảng (0;4) và (4;6) Khi đó hàm số liên tục trên đoạn [0;6] khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x= 4,x= 0, x= 6

Tức là ta cần có

( ) ( )( ) ( )

ïïî( )( )

khi 1

x x

Hàm số f x( ) liên tục trên (-¥ ;1) và (1; +¥). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên  khi

và chỉ khi nó liê tục tại x =1, tức là ta cần có

mọi a Î . Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu

Câu 4: Biết rằng ( )

khi 1 1

-¹

-= liên tục trên đoạn [ ]0;1 (với a là tham số) Khẳng định

nào dưới đây về giá trị a là đúng?

A a là một số nguyên B a là một số vô tỉ C a >5. D a <0.

Lời giải Chọn A

Hàm số xác định và liên tục trên [ )0;1 Khi đó f x( ) liên tục trên [ ]0;1 khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )

A f x( ) không liên tục trên  B f x( ) không liên tục trên (0;2 )

C f x( ) gián đoạn tại x =1. D f x( ) liên tục trên 

Lời giải Chọn D

Vậy hàm số f x( ) liên tục trên 

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số ( )

Điều kiện bài toán trở thành: ( ) ( ) ( ) ( )

1 khi 2 4

x

x x

ìïï ïïï í

£ ïï

ïï ïî

liên tục tại x =2.

A amax = 3. B amax = 0. C amax = 1. D amax = 2.

Lời giải Chọn C

ïï

=

è î

>

= ïïî Khẳng định nào sau đây đúng?

A f x( ) liên tục tại x =0. B f x( ) liên tục trên (-¥ ;1 )

C f x( ) không liên tục trên  D f x( ) gián đoạn tại x =1.

Lời giải Chọn C

íï ïï

ïïî

gián đoạn tại x =0.

Câu 9: Tìm các khoảng liên tục của hàm số ( ) cos 2 khi 1

.

f x

x x

= í ïï ïïî

Mệnh đề nào sau đây là

Ta có f x( ) liên tục trên (-¥ - ; 1 ,) (- 1;1 , 1;) ( +¥).

liên tục tại x =1.

Câu 10: Hàm số f x( ) có đồ thị như hình bên không liên tục tại

điểm có hoành độ là bao nhiêu?

Dễ thấy tại điểm có hoành độ x =1 đồ thị của hàm số bị ''đứt''

nên hàm số không liên tục tại đó

ïï ïïî

Hàm số f x( ) liên tục tại:

A mọi điểm thuộc  B mọi điểm trừ x =0

C mọi điểm trừ x =1 D mọi điểm trừ x =0 và x =1

Lời giải Chọn A

Hàm số y= f x( ) có TXĐ: D = 

Dễ thấy hàm số y=f x( ) liên tục trên mỗi khoảng (-¥ ;0 , 0;1) ( ) và (1;+¥)

Ta có

( )( )( )

íï ïï ïï

íï ïï

ïï ïïî

Hàm số f x( ) liên tục tại:

A mọi điểm thuộc  B mọi điểm trừ x =1

C mọi điểm trừ x =3 D mọi điểm trừ x =1 và x =3

Lời giải Chọn D

gián đoạn tại x =3.

Câu 13: Số điểm gián đoạn của hàm số ( ) 2

Hàm số y=h x( ) có TXĐ: D = 

Dễ thấy hàm số y=h x( ) liên tục trên mỗi khoảng (-¥ ;0 , 0;2) ( ) và (2;+¥)