b Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 1 có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 3 đơn vị độ dài.. a Vẽ P và d trên cù[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH 10
NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn: TOÁN (chung) Thời gian: 120 phút (không kể phát đề)
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình x4 6x2 27 0
b) Giải hệ phương trình
5
x 2
x
c) Cho
12
Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức
P = x3 x9 12013
d) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có n 3 + 3n 2 + 2n chia hết cho 6.
Câu 2 (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 2x m 1 0 (m là tham số) (1).
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 3 (đơn vị độ dài)
Câu 3 (2,5 điểm).
Cho các hàm số y = – x 2 có đồ thị là (P) và y = x – 2 có đồ thị là (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên các trục số bằng nhau) b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
c) Tìm điểm M thuộc (P) có hoành độ lớn hơn -2 và nhỏ hơn 1 đồng thời khoảng cách từ M
đến đường thẳng (d) là lớn nhất
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn ( P, Q là các tiếp điểm) Kẻ dây QB song song với AP.
Nối AB cắt đường tròn tại C.
a) Chứng minh rằng:
i) Tứ giác APOQ nội tiếp.
ii) Tam giác PQB cân.
iii) AP 2 = AB AC.
b) Kéo dài QC cắt AP tại I Chứng minh rằng IA = IP.
c) Biết AP = R 3 Tính diện tích hình quạt tròn chắn cung nhỏ PQ của đường tròn tâm O
theo R.
Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2GỢI Ý GIẢI Câu 1 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình x4 6x2 27 0 (1)
+ Đặt t = x 2 0, pt (1) trở thành: t 2 – 6t – 27 = 0
1 2
+ Với t = 9 x 2 = 9 x = 3
+ Vậy pt (1) có hai nghiệm x 1= 3; x2 = – 3
b) Giải hệ phương trình
5
x 2
x
+ Đặt X =
1
x : ĐK: x 0, hệ (I) trở thành:
c)
12
=
12
=
2 3
=
2 3
2 3 = 1
P = x3 x9 12013
= (1 3 – 1 9 + 1) 2013 = 1 2013 = 1.
Câu 2(1,5 điểm)
Phương trình x2 2x m 1 0 (m là tham số) (1).
a) Khi m = 2, pt (1) có 2 nghiệm: x 1 = – 1; x2 = 3.
b)
+ Pt (1) có 2 nghiệm x 1, x2 ’ = 12 – (– 1) (m + 1) = m + 2 0 m – 2 + Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt(1):
1 2
2
+ Theo đề bài: x 1 + x2 = ( 3) 2
(x1 + x2) 2 – 2x1x2 = 3
2 2 – 2(- m – 1) = 3 m =
3 2
(thỏa ĐK)
Câu 3 (2,5 điểm)
Cho các hàm số y = – x 2 có đồ thị là (P) và y = x – 2 có đồ thị là (d).
a) Đồ thị:
+ Bảng một số giá trị của (P):
+ Vẽ (d):
Cho x = 0 y = – 2 (0 ; – 2 ) (d)
Trang 3Cho x = 1 y = – 1 (1 ; – 1 ) (d)
b)
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
– x 2 = x – 2 x 2 + x – 2 = 0
1
2
1 2
x
x
1
2
y y
+ Vậy tọa độ giao điểm của P và (d) là:
(1 ; – 1) và (– 2 ; – 4)
c)
+ Gọi các giao điểm của (P) và (d) là
A(1 ; – 1) và B(– 2 ; – 4) và MH là khoảng cách
từ M (xM; yM) (P) đến (d) MH AB
SAMB =
1
2AB.MH MH lớn nhất khi SAMB lớn nhất + Gọi A’, B’, M’ lần lượt là hình chiếu của A, B, M
lên trục Ox, đặt xM = m yM = – xM2
| yM | = |– xM2| = xM2 = m2 + Ta có:
SAMB = SAA’B’B – [SAA’M’M + SBB’M’M]
=
1
2(AA’ + BB’).A’B’ – [
1
2(AA’ + MM’).A’M’ +
1
2(BB’ + MM’).B’M’]
=
1
2 (1 + 4) 3 – [
1
2 (1 + | yM |).(1 + | xM |) +
1
2 ( 4 + | yM | ).( 2 – | xM |) ]
=
15
2 –
1
2[(1 + m2)(1 + m) + (4 + m2)(2 – m)]
=
15
2 –
1
2(3m2 – 3m + 9)
=
15
2 –
3
2(m2 – m + 3)
=
15
2 –
3
2[(m –
1
2)2 +
11
4 ]
=
27
8 –
3
2(m –
1
2)2
27 8
+ Dấu “ = ” xảy ra m =
1
2(-2 ; 1) Vậy khoảng cách lớn nhất đến (d) tại M (
1
2;
1 4
)
Câu 4 (3,5 điểm)
a)
i) Chứng minh rằng tứ giác APOQ nội tiếp:
APO = AQO = 90 0 nhìn đoạn OA
Tứ giác APOQ nội tiếp đường tròn
đường kính OA.
Trang 4ii) Chứng minh rằng tam giác PQB cân:
+ QB // AP PQB = QPA (so le trong) (1)
+ PBQ = QPA (cùng chắn PC của (O)) (2)
Từ (1) và (2) PQB = PBQ PQB cân tại P.
iii) Chứng minh rằng AP 2 = AB AC:
+ APC và ABP cĩ:
BAP : chung
APC PBC (cùng chắn PC) APC ABP (g-g)
AP AC
b) Chứng minh rằng IA = IP:
+ IPC và IQP cĩ:
PIQ : chung
IPC IQP (cùng chắn PC) IPC IQP (g-g)
IP IC
IQ IP IP 2 = IC.IQ (1)
+
QB AP IAC CBQ so le trong
Mà IQA CBQ cùng chắn CQ
ü ï
ïï
+ IAC và IQA cĩ:
AIQ : chung
IAC IQA (cmt) IAC IQA (g-g)
IA IC
+ Từ (1) và (2) Þ IA 2 = IP 2 Û IA = IP.
c) Biết AP = R 3 Tính diện tích hình quạt trịn chắn cung nhỏ PQ của đường trịn tâm O theo R:
+ D OAP vuơng tại P Þ tan ·AOP = OP AP =
R 3
Þ ·AOP = 60 0
Þ ·POQ = 120 0 Þ n 0 = sđ »PQ = 120 0
Þ Squạt =
2
R n 360
p
=
2
R 120 360
p
=
2 R 3 p
(đvdt).