Gọi BE, CF lần lượt là đường phân giác trong của các góc B và C của 3,0đ tam giác ABC.. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua BE và CF.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (6,0 điểm).
1 Giải phương trình:
3
x x 1 9 (x )
2 Giải bất phương trình:
3
x 3x 2 x 2 6x 0 (x )
Câu II (3,0 điểm).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
x 12x y 6y 16 0
(x, y ) 4x 2 4 x 5 4y y m 0
Câu III (5,5 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; SA SB SC 2a Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.BCNM
a) Tính tỷ số
1 V
V .
b) Chứng minh V 2a 3
Câu IV (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1) Đường phân giác trong của các góc B và C lần lượt có phương trình x 2y 1 0 ; x y 3 0 Viết phương trình đường thẳng BC
Câu V (2,5 điểm).
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
P
Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn: TOÁN 12 THPT - BẢNG B
(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)
I.
(6,0đ)
1 (3,0 điểm)
Đặt f (x) x 3 x 1 với x thuộc [1;)
2 x 1
với x 1
hàm số f (x)đồng biến trên [1;)
1,0
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2 0,5
2 (3,0 điểm)
Điều kiện xác định: x2
Bất phương trình trở thành: x3 3xy2 2y3 0
x y 2 x 2y 0 x y
x 2y 0
0,5
x 0
x 2 x
Với x + 2y ≥ 0 thì
2
x 0
x 0
x 0
2 x 2 x
2 2 3 x 0 4(x 2) x
x 2 2 3
0,75
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
T2 2 3;
0,5
II.
(3,0đ)
Ta có hệ:
x 12x y 6y 16 0 (1) 4x 2 4 x 5 4y y m 0 (2)
Điều kiện xác định:
2 x 2
0 y 4
0,25
Trang 3Xét hàm số f (t) t 3 12t, t 2;2
Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên 2;2 (3)
0,5
Ta có x và y 2 cùng thuộc đoạn 2;2 và f (x) f (y 2) nên kết hợp
Thay vào (2) ta có phương trình 3 4 x 2 4x2 m (4)
Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4)
có nghiệm x thuộc đoạn [-2;2]
0,5 Đặt g(x) 3 4 x 2 4x , x [ 2;2]2
0,25
g '(x) 0 x 0 g(0) 6; g( 2) g(2) 16
x [ 2;2]min g(x) 16; max g(x) 6x [ 2;2]
0,5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 16 m 6 0,25
III.
(5,5đ)
a) (3,0 điểm)
Gọi N là trung điểm của cạnh SD
Ta có N là giao điểm của SD và (MBC)
0,5
S.ABC S.ACD
V
2
S.MBC
S.MBC S.ABC
V
S.MCN
S.MCN S.ACD
3V
8
Vậy
1
V 3
b) (2,5điểm)
S
O
Trang 4Dễ thấy SOCBOA SO BO BSD vuông tại S.
Do đó
2
Mà OA BC2 OB2
4
0,25
Vì AO (SBD) nên
Mà
SD 12a SD
2
IV.
(3,0đ)
Gọi BE, CF lần lượt là đường phân giác trong của các góc B và C của
tam giác ABC
Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua BE và CF
Đường thẳng AM có phương trình 2x y 3 0
0,5
Tọa độ giao điểm I của AM và BE là nghiệm của hệ phương trình
2x y 3 0 x 1
x 2y 1 0 y 1
0,5
Đường thẳng BC đi qua M và N nên có phương trình 4x y 3 0 0,5
V.
(2,5đ) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x max x; y;z
1 y 1 z 1 yz
Suy ra
2
1 yz 1 y 1 z 2 1 y 1 z
1 yz
1 y 1 z
0,5
1 x
Từ (1) và (2) suy ra
Ta chứng minh
2 2 x 3 2
1 x 1 x 2 (3)
0,25
Trang 5 2
(3) 2 2 2x(x 1) 3x 3 2x x 1 0
Do đó
3 2
P
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là
3 2
2 .
0,5
Hết