Tài liệu Chuyển vị của dầm chịu uốn docx

KHÁI NIỆM II.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ÐƯỜNG ÐÀN HỒI III.PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ÐẦU IV.PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO PHƯƠNG PHÁP ÐỒ TOÁN V.. Như vậy : vz = yz = fz Hệ số góc tg của tiế

CHƯƠNG 8

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

I KHÁI NIỆM

II.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ÐƯỜNG ÐÀN HỒI

III.PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ÐẦU

IV.PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ÐỒ TOÁN)

V BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

Dưới tác dụng của ngoại lực, trục của dầm bị uốn cong, đường cong của trục sau khi sau khi biến dạng gọi là đường đàn hồi

Xét một điểm K nào đó sẽ di chuyển tới vị trí mới là K Khoảng cách KK được gọi là chuyển

vị thẳng của điểm K

Ta có thể chia chuyển vị này thành hai thành phần là v và u song song với trục y và z

Trong diều kiện biến dạng của dầm bé thì u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v vì vậy ta có thể bỏ qua u và xem KK = v

Chuyển vị v song song với trục y gọi là độ võng tại K của dầm và là một hàm số đối với z Như vậy : v(z) = y(z) = f(z)

Hệ số góc tg( của tiếp tuyến đường cong (đường đàn hồi) tại một điểm chính là đạo hàm bậc I của phương trình đường cong tại điểm đó, vì vậy ta có :

Ðạo hàm của đường đàn hồi là góc quay ( của mặt cắt ((>0 khi mặt cắt xoay thuận chiều kim đồng hồ)

( gọi là chuyển vị góc của mặt cắt ngang tại điểm K

Trong đó y là phương trình của đường đàn hồi

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ÐƯỜNG ÐÀN HỒI TOP

Ta đã biết độ congĠ

Mà trong hình học vi phân:Ġ

Thông thường các chi tiết máy có biến dạng rất nhỏ:Ġ

Cho nên (2 = y2 ( 0

VậyĠ

Vì y và Mx luôn luôn ngược dấu nên (hình 8-1)

Ðây là phương trình vi phân của đường đàn hồi

Ðề tìm phương trình đường hồi ta tính tích phân:

Trong đó C và D là hai hằng số tích phân được xác định từ điềìu kiện ban đầu Tùy trường hợp ta có thể có các điều kiện sauĠ

Tính liên tụcĉ

M=Pl

p

1

A

B

1

z

l

VA=P

Hçnh 8-2

M=Pl

p

1

A

B

1

z

l

VA=P

Hçnh 8-2

Ví dụ 1: cho dầm bị ngàm ở đầu A chịu lực như hình 8-2 Tính chuyển vị y và góc xoay ( ở đầu B

Giải:

Phương trình moment uốn ở mặt cắt 1-1 là:

Mx = -P(l-z) (dấu (-) vì uốn lên)

Vậy:Ġ

Ðiều kiện biênĠ C=D=0

Vậy:Ġ

Tại B: z = lĠ

Ví dụ 2: cho dầm chịu lực như hình vẽ 8-3î, hãy xác định chuyển vị và góc xoay tại điểm C Cho l=a+b

z2

P

A

B

b

a

VA

VB

2

2

1 C

1

z1

Hçnh 8-3

Giải:

Xét mặt cắt 1-1:Ġ

Xét mặt cắt 2-2: Ġ

VậyĠ

Suy ra

Ðể xác định các hằng số tính phân C1, D1,C2,D2 ta nhờ điều kiện biên sau :

suy ra

Tính ra Ġ

Qua ví dụ này ta thấy rằng nếu trên dầm có nhiều đoạn chịu lực khác nhau thì phải thiết lập phương trình vi phân của đường đàn hồi cho từng đoạn riêng biệt Ở mỗi đoạn phải xác định hai hằng số tích phân, tức là phải tìm 2n phương trình với 2n ẩn số nhờ vào điều kiện biên Bài toán càng trở nên phức tạp nếu số đoạn chịu lực khác nhau càng lớn vì vậy, khi dầm có nhiều đoạn người ta không dùng phương pháp này mà dùng phương pháp thông số ban đầu

III PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ÐẦU TOP

(ya và (ya' : bước nhảy của độ võng và góc xoay tại mặt cắt có hoành độ z = a

Xét một dầm có mặt cắt ngang thay đổi từng bậc trong từng đoạn như hình vẽ Ðánh số thứ tự các đoaün là 1,2 m, m+1 n và gọi độ cứng của các đoạn tương ứng là E1J1, EmJm,

Em+1Jm+1 EnJn

Giả sử xét hai đoạn kề nhau thứ m và thứ m+1 chịu lực tổng quát gồm momen tập trung, lực tập trung, tải trọng phân bố q

Phương trình đường đàn hồi ở đoạn thứ m là ym(z)

Phương trình đường đàn hồi ở đoạn thứ m+1 là ym+1(z)

Ta có : ym+1(z) = ym(z) + (y(z) (VIII-3)

Khai triển (y(z) theo chuổi Taylor tại hoành độ z=a ta được

Nhưng từ phương trình (VIII-3) ta suy ra: Dy(z) = ym+1(z) - ym(z) Như vậy : (y = ym+1 - ym

Chú ý rằng: ĉ

Chọn một độ cứng EJ nào đó sao cho:

Thế vào phương trình (VIII-4) ta được:

(VIII-4b) Thế (y(z) vào phương trình (VIII-3) ta được

Ðặc biệt trong đoạn dầm thứ nhất : m = 0; z1 = a = 0 => ym(z) = 0

Khi đó: (ya = (y0 = y0

Dy’a = Dy’0 = y’0

Trong đó : các trị số Mo, Qo, qo, q0' là momen tập trung, lực tập trung, cường độ lực phân bố

và đạo hàm của lực phân bố tại đầu mút của dầm (z=0)

Các trị số y0, y0', M0, Q0, q0, q0' được gọi là các thông số ban đầu, các thông số này được xác định từ các điều kiện biên hoặc là các giá trị được cho biết trước

Như vậy phương trình đường đàn hồi của đoạn dầm thứ nhất là:

Trường hợp đặc biệt khi E1J1=E2J2= =EnJn=EJ

Thì : K1 = K2 = = Km =Km-1= = 1

Phương trình đàn hồi ở đoạn thứ (m+1) được viết là :

Các hiệu số trong các dấu ngoặc là bước nhảy của biểu đồ momen, lực cắt, cường độ lực phân bố và đạo hàm của lực phân bố tại mặt cắt có hoành độ z

= a Vì vậy các hiệu số đó có trị số bằng momen tập trung, lực tập trung , tại mặt cắt đó Do đó:

Mm+1 - Mm = DM qm+1 - qm = Dq

Qm+1 - Qm = DQ q’m+1 - q’m = Dq’

Phương trình đường đàn hồi của đoạn thứ nhất : z1 = a = 0

Ví dụ 1 : cho một dầm AC chịu lực như hình vẽ 8-5 , vật liệu chế tạo dầm có modun đàn hồi

E

Hãy tính độ võng bằng phương pháp thông số ban đầu tại điểm C

Giải:

RA - P1 - P2 = 0 => RA = P1 + P2

MA= - (P1.a + P2.2l) = - (P1 + 2P2)l

Theo cấu tạo và sự phân bố tải trọng, ta chia dầm thành 2 đoạn AB, BC Chọn độ cứng của đoạn AB làm độ cứng qui ước EJ như vậy:

+

+

-

-

d1

d2

l

l

P2

MA

RA

y

Q

Mx

P2.l

(P1+2P2).l

P1

P2

Hçnh 8-5

E1J1 = EJ => K1 = 1

cònĠ

Tại mặt cắt ngang A : z = a = 0 Tại mặt cắt ngang B : z = a = l (thông số ban đầu) (trị số nội lực)

y0 = 0 ; y0' = 0

M0 = MA = - (P1 +2P2)l

Q0 = RA = P1 + P2

q0 = 0 ; q0' = 0

M1 = - P2.a ; M2 = -P2.a

Q1 = P1 + P2 ; Q2 = P2

q1 = q2 = 0 ; q1’ = q2' = 0

Dya = 0 ; Dy’a = 0

Ta có:

Thay các thông số ban đầu vào ta có:

q=-q

A

B

C

RC

RA

MA

l

l

1

2

Hçnh 8-6

Ví dụ 2: Viết phương trình đàn hồi của dầm chịu

lực như hình vẽ 8-6

Cho EI = const

(dầm nhiều nhịp tĩnh định)

Giải:

Ta có ĉ ;ĉ ;ĉ

z=a=0 (thông số ban đầu)

tại A

z=a=l (trị số nội lực)

tại B

y0 = 0

y0' = 0

Dya = 0 ; Dya' 0

DM = 0 ; DQ = 0

Dq = - q : q1= 0 ; q2 = - q

Dq’ = 0

Phương trình đường đàn hồi trong các đoạn có dạng sau:

Ðể xác định (ya ta dựa vào điều kiện biên tại C : z = 2l ; y2(z) = 0

Ta có

VậyĠ

IV PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ÐỒ TOÁN) TOP Trong phần trước ta đã thiết lập sự liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực như sau:

y ;

Còn đối với phương trình đường đàn hồi, ta có phương trình vi phân

Ta có sự tương đương sau:

Chúng ta thấy rằng muốn tính góc xoay y và độ võng y của một dầm nào đó chịu momen uốn

Mx tương đương với việc vẽ biểu đồ lực cắt Q và momen uốn M của một dầm thay thế tương đương

Người ta gọi các đại lượng thay thế tương đương là đại lượng giả tạo

Ghi chú: qua biểu thứcĠ ta thấy qgt luôn luôn ngược đấu với momen uốn Mx cho nên tải trọng phân bố giả tạo luôn luôn hướng về phía các thớ căng của dầm thực (tức là hướng theo tung độ của biểu đồ momen uốn M)

Việc chọn dầm giả tạo phải đảm bảo các điều kiện biên của nội lực trên dầm giả tạo phù hợp với điều kiện biên của chuyển vị trên dầm thực Nghĩa là nơi nào trên dầm thực không có độ võng và góc xoay thì ta phải chọn điều kiện liên kết của dầm giả tạo ở nơi đó sao cho qgt không gây nên Mgt và Qgt

Với điều kiện đó ta có thể chọn các dầm giả tạo tương ứng với một số dầm thực cho trong bảng sau đây:

m giả tạo y=0

y’¹0

y=0

y’¹0

y=0

y’=0

y¹0

y’¹0

y¹0

y’¹0

y=0

y’¹0

y=0

y’¹0

Mgt=0

Qgt ¹0

Mgt=0

Qgt ¹0

Mgt=0

Qgt =0

Mgt¹0

Qgt ¹0

Mgt¹0

Qgt ¹0

Mgt=0

Qgt ¹0

Mgt=0

Qgt ¹0 y¹0 y’¹0 y=0 y’¹0 y¹0 y’¹0 y=0 y’¹0 y=0 y’=0 y=0 y’=0

Mgt¹0

Qgt ¹0

Mgt¹0

Qgt ¹0

Mgt=0

Qgt =0

Mgt=0

Qgt =0

Mgt=0

Qgt ¹0

Mgt=0

Qgt ¹0

Ðể tiện lợi trong quá trình tính toán sau này, chúng ta xác định trước diện tích và hoành độ trọng tâm của một số biểu đồ

f

C

zc

l

Đường bậc II

l

C

zc

C

l

zc

f

f

Đường bậc II

Đường bậc n

Ví dụ: Xâc định độ võng vă góc xoay tại đầu B của dầm chịu lực như hình vẽ

Giải :

A

B

P EJ=const

l

P.l

M

-

MBgt

QBgt

Biểu đồ momen uốn M phân bố bậc nhất như hình vẽ

Chọn dầm giả tạo thích ứng

Tải trọng giả tạo có chiều hướng lên

Ta có

Cũng như trong các bài toán về kéo, nén và xoắn, ở đây ta cũng gặp những bài toán siêu tĩnh

về uốn Ðể giải loại bài toán này ta phải thiết lập thêm phương trình biến dạng

A

q

l

EJ

q

A

B

RB

Bậc II 3/8l 3/8ql 5/8ql 1/8ql2 9/128ql2

Qy

Mx

Ví dụ:

Cho dầm chịu lực như hình vẽ Ðể tính nội lực trong dầm ta phải biết câc phản lực ở ngăm vă gối tựa Như vậy số ẩn số phải tìm lă 3, nhưng ta chỉ thiết lập được 2 phương trình cđn bằng nín chưa giải được băi toân

Trong trường hợp đang xĩt, dựa văo điều kiện độ võng tại B của dầm bằng 0 để lập phương trình biến dạng :

yB = 0

Ðộ võng B do phản lực RB vă do tải trọng phđn bố q

Dựa văo phương phâp đồ toân ta chọn dầm giả tạo vă tải trọng phđn bố giả tạo như hình vẽ Momen giả tạo tại B do tải trọng qgt gđy nín lă :

Trị số của momen giả tạo đó chính lă độ võng tại B Với điều kiện độ võng bằng không ta có phương trình:

Khi đê có RB ta dễ dăng vẽ được biểu đồ nội lực của dầm