CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bịKhi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bịKhi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bị

Chương 8

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

I.KHÁI NIỆM CHUNG

Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong nầy được gọi là đường đàn hồi của dầm

(H.8.1)

Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng.Sau khi biến dạng, điểm K

sẽ di chuyển đến vị trí mới K/ Khoảng cách KK’được gọi là chuyển vị thẳng của điểm

K Chuyển vị nầy có thể phân làm hai thành phần:

Thành phần (v) vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là chuyển vị đứng hay độ võng của điểm K

Thành phần (u) song song với trục dầm (trục z) gọi là chuyển vị ngang của điểm K

Ngoài ra, sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc, ta gọi là

chuyển vị góc (hay là góc xoay) của mặt cắt ngang ở điểm K.Tại K/

vẽ tiếp tuyến với đường đàn hồi và hợp với trục chưa biến dạng của dầm một góc  ta dễ thấy  là góc xoay của mặt cắt ngang

Ba đại lượng u, v,  là ba thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở điểm K

Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vị ngang u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua chuyển vị u và xem KK’ là bằng v, nghĩa là vị trí K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuông góc với trục

K

K

’

z

y





Đường đàn hồi

P

P

u

H.8.1

K

’

z

y





P

P

z

H.8.2

Đường đàn hồi

0 1

V(z)

02





u

dầm trước biến dạng (H.8.2)

Góc xoay  có thể lấy gần đúng: dz

dv

tg 



Nếu chọn trục dầm là z, và trục y vuông góc với trục dầm, thì chuyển vị v chính là tung

độ y của điểm K’.Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm K Ta thấy rõ nếu K có

hòanh độ z so với gốc nào đó thì các chuyển vị y,  cũng là những hàm số của z và

phương trình đàn hồi là:

y(z) = v(z)

Phương trình của góc xoay sẽ là:

dz

dy dz

dv



Phương trình của góc xoay là đạo hàm của phương trình đường đàn hồi

Quy ước của chuyển vị:

- Độ võng y dương nếu hướng xuống

- Góc xoay  dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ

Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính tốn dầm chịu uốn, người ta thường khống

chế độ võng lớn nhất của dầm không được vượt qua một giới hạn nhất định để đảm bảo

yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của công trình , điều kiện nầy được gọi là điều kiện

cứng Nếu gọi f /L độ võng lớn nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là:

1000

1 300

1 











L f

trong đó : L - là chiều di nhịp dầm

Tùy loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số của f L

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI

Xét 1 điểm bất kỳ K trên trục dầm Trong chương 7 (công thức7.1) ta đã lập được

mối liên hệ giữa độ cong của trục dầm tại K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx tại Klà:

x

x

EI

M





1

(a)

Mặt khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z) trong hệ trục (y0z) nên độ cong của đồ thị biểu diễn của hàm số ở 1 điểm K có hoành độ z được

tính theo công thức:

3 2

1

1

y

y









 (b)

(a) va (b) 

x EI

M y

y







2

3 2

(c)

Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải chọn sao cho hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn

Khảo sát một đoạn dầm bị uốn

cong trong hai trường hợp như

H.8.3 Trong cả 2 trường hợp

mômen uốn M x và đạo hàm bậc hai

y” luôn luôn trái dấu, cho nên

phương trình vi phân của đường

đàn hồi có dạng:

x EI

M y

3 2

' 1 ''

Với giả thiết chuyển vị của dầm là bé có thể bỏ qua (y’)2 so với 1 và khi đó

phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng gần đúng như sau:

x

x EI

M

trong đó: Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm

III LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN

Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1) là phương

trình vi phân thường

Tích phân lần thứ nhất (8.1)  phương trình góc xoay:



EI

M y

x

x

'

Tích phân lần thứ hai  phương trình đường đàn hồi:















EI

M y

x

Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác định các điều kiện

biên Các điều kiện nầy phụ thuộc vào liên kết của dầm và phụ thuộc vào sự thay đổi tải trọng trên dầm

z

y

M x > 0 y” < 0

M x

M x

y

M x < 0 y” > 0

M x

M x

H.8 3

z

Đối với dầm đơn giản, có thể có các điều kiện như sau:

+ Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không (H.8.4a):

y A = A = 0

+ Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không (H.8.4b):

y A = y B = 0

+ Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau,

độ võng và góc xoay bên trái bằng với độ võng và góc xoay bên phải ( điểm C trên

H.8.4b):

y C

tr = y C

ph

; Ctr

= Cph

Thí dụ 1

Viết phương trình đường đàn hồi và góc xoay cho dầm

côn son (console) như H.8.5.Từ đó suy ra độ võng và góc

xoay lớn nhất Cho EI x = hằng số

Giải

Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là (gốc

tại A)

M x = –Pz (a)

thế vào (8.1)  phương trình vi phân của đường đàn hồi :

x x

x EI

Pz EI

M

y ''   (b)

EI

Pz y

x







2

2

'

Cz D

EI

Pz y

x







6

3

(d)

C và D được xác định từ các điều kiện biên về độ võng và góc xoay tại ngàm:

z = L;  = 0 v y = 0

thay các điều kiện nầy vào (c) và (d) 

x

x EI

PL D

EI

PL C

3 2

3 2





 ;

Vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:

;

x x

PL z

EI

PL EI

Pz y

3 2

6

3 2

3







H 8.4

y A = 0

A

a)

y A = 0 b) y B = 0

M x

y B = B = 0

P

y

z

z

L H.8.5

P

z

A = 0

x

x EI

PL EI

Pz

2 2

2 2







Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có

x

PL EI

PL y

2 3

2 3





 ; 

max

y max > 0 chỉ rằng độ võng của điểm A hướng xuống

 < 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ

Thí dụ 2:

Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm (H.8.6) Cho EI x = hằng số

Giải

Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành

độ z là: ( gốc tại A)

2

qz

M x   (a)

thế vào (8.1), 

x

EI

qz y

2 ''

2

 (b)

tích phân hai lần,  C

EI

qz y

x







6

3

'

EI

qz y

x







24

4

(d)

hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L;  = 0 v y = 0 cho :

x

x EI

qL D EI

qL C

8 6

4 3





 ;

Vậy phương trình đàn hồi và góc xoay là:

8 6

24

4 3

4

x x

qL z EI

qL EI

qz

x

qL EI

qz

6 6

3 3







Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có:

max

x

EI

qL y

8

4

 và

x

A EI

qL

6

3







Thí dụ 3

Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản chịu tải phân bố đều (H.8.7).Độ cứng EI x của dầm không đổi

Giải

Phương trình mômen uốn tại mặt cắt ngang có hoành độ z là:

z

y B = B = 0

q

y

z

L H.8.6

M x

q

z

 2

2

2 2

q qz z

qL

M x     (a)

thay vào (8.1),  phương trình vi phân của đường đàn hồi như sau:

 2

EI

q y

x







Tíchphân hai lần, 

C z

Lz EI

q

y

x























3 2 2

3 2

'

D z C z

Lz

EI

q

y

x























12 6 2

4 3

điều kiện biên ở các gối tựa trái và phải của dầm:















0 y

;

L

z

:

khi

0 y

;

0

z

:

khi



x EI

qL D

24 0

3



 ; C

Như vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:

















 3 1 2 22 33

z L

z z

EI

qL y

x



















 3 1 6 22 4 33

z L

z EI

qL y

x

'

Độ võng lớn nhất của dầm ở tại mặt cắt ngang giữa nhịp ứng với:

z = L2 (tại đây y’= 0), thay z = L2 vo (e),

x

L

z EI

qL y

y

384

2









 

max

Góc xoay lớn nhất, nhỏ nhất (y’max , y’min) tại mặt cắt ngang có y” = 0 (hay M x =

0), tức ở các gối tựa trái và phải của dầm Thay z = 0 và z = L lần lượt vào (g) 

x EI

qL

24

1



 max

max '

x

EI

qL

24

1





 min

min '



Góc xoay của mặt cắt ở gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay của mặt cắt ở gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ

Thí dụ 4 (tự đọc)

Lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm trên hai gối tựa chịu lực tập trung P như H.8.8 cho biết EI x = hằng số

y

L

B

L/2

H.8.7

q

qL/2

2

qL

M x z

q

z

Giải

Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn trong hai đoạn AC và CB khác nhau nên biểu thức góc xoay và độ võng trong hai đoạn cũng khác nhau Viết cho từng đoạn các

biểu thức M x , y’’, y’, y như sau:

Mômen uốn M x trong các đoạn sau:

L

Pb

L

Pb

M x(2)  2 2 (b) Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong mỗi đoạn:

LEI

Pb y

x





EI

P z LEI

Pb y

x x







Tích phân liên tiếp các phương trình trình, ta được:

Đoạn AC (0  z 1  a):

1 2 1 1

LEI

Pb y

x







1 1 1 3 1 1

LEI

Pb y

x







Đoạn CB (a  z 2  L):

2 2 2

2 2

2

EI

P z LEI

Pb y

x x











3 2 3

2 2

6

EI

P z LEI

Pb y

x x











Xác định các hằng số tích phân C 1 , D 1 , C 2 , D 2 từ các điều kiện biên

- Ởgối tựa A, B độ võng bằng không

P

a

H.8.8

b

z1

z2

L

Pab/L

Y

C

bằng nhau

 khi: z 1 = 0; y 1 = 0

z 2 = 0; y 2 = 0

z 1 = z 2 = a; y 1 = y 2 ; y 1 ’ = y 2 ’

Từ bốn điều kiện nầy :





























































2 2 1

2

2 2 3 1

1 3

2 2 3 3

1

2 2

6 6

0 6

6 0

c a LEI

Pb c

a LEI Pb

D a c a LEI

Pb D

a c a LEI Pb

D L C a L EI

P L LEI Pb D

x x

x x

x x

Giải hệ phương trình trên, 

2 1

LEI

Pb C

C

x







Vậy phương trình góc xoay và độ võng trong từng đoạn là:

Đoạn AC (0  z 1  a):





















































6 6

2 6

3 1 1

2 2

1

2 1 2 2

1 1

z z b

L LEI

Pb y

z b

L LEI

Pb y

x

x

'



Đoạn BC (a  z 2  L):

































































6 6

6

6 2

2

3 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

z z b L L b

a

z LEI

Pb y

b

L b

a z L

z LEI

Pb y

x

x

'



Tính độ võng lớn nhất trong dầm bằng cách dựa vào điều kiện y’ = 0,

Giả sử a > b Trước hết ta sẽ xét độ võng lớn nhất trong đoạn nào 

Ở gối tựa A (z 1 = 0) góc xoay bằng:

0 1

2















L

b EI

PbL x A



và ở C (z 1 = a):   0

3

1   ab 

EI

PbL x C

 Như vậy, giữa hai điểm A và C

góc xoay 1 đổi dấu, nghĩa là sẽ bị triệt

tiêu một lần Điều đó cho thấy độ võng

có giá trị lớn nhất trong đoạn AC

Để tìm hoành độ z 1(0) của mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho phương trình

0,500L

A

z

B E

D

0,577L

H.8.9

1 = 0:

2

0 6

0

2 1 2 1















LEI

Pb z

x

) (





3 )

0

z   (o)

Sau đó đưa vào biểu thức (l) của độ võng, giá trị lớn nhất của độ võng





















2

2 2

2

27

3

b EI

b L Pb y

y

x

z )

Các hệ quả:

- Nếu P đặt ở giữa nhịp dầm b L/ 2, thì từ (o) và (p) , ta được:

x EI

PL y

L

L z

48 500

0 2 0

3

- Khi P ở gần gối B, tức b  0 ta có: z 1(0) =

3

L = 0577L

Như vậy, nếu tải trọng di chuyển từ trung điểm D giữa nhịp dầm đến gối tựa B

(H.8.9) thì hoành độ z 1 (0) sẽ biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức là từ điểm D đến điểm

E Trong thực tế người ta thường quy ước là khi tải trọng P tác dụng ở một vị trí nào

đó thì vẫn có thể coi độ võng lớn nhất ở giữa nhịp dầm

Thí dụ: nếu tải trọng P tác dụng ở vị trí như H.8.8 thì độ võng ở giữa nhịp dầm sẽ

EI

Pb y

x

So sánh hai giá trị ymax và y l 2 thấy hai giá trị nầy khác nhau và rất ít

Nhận xét:

Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều

đoạn tương ứng Ở mỗi đoạn phải xác định hai hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn thì phải xác định 2n hằng số, bài toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n cùng lớn, vì vậy

phương pháp nầy ít dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi

VI XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI

TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN)

 Phần trước đã có liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực:

)

(z q dz

dQ y

 , x Q y

dz

dM

 , 2 ( )

2

z q dz

M

 Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm, cũng có phương trình vi phân:

EI

M y

dz

d dz

y

2 2

(b)

Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau:

y

x

x

EI

M y

dz

d dz

y

2

Mx

) (

2

2

z q Q dz

d dz

M d

y

x  

Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ và độ võng y thì phải tích phân liên tiếp hai lần

hàm số

x

x

EI

M

.Tương tự muốn có lực cắt Q y và mômen uốn M x thì phải tích phân liên

tiếp hai lần hàm số tải trọng q Tuy nhiên ở phần trước (nội lực), ta đã tính lực cắt Q y

và mômen uốn M x theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng, và

phương pháp mặt cắt

Như vậy, ở đây ta cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y mà không cần tích

phân Nếu đặt

x

x gt

EI

M

q   .Ta có:

x

x gt

gt gt

EI

M q

Q dz

d dz

M d







 2

2

Ta có tương quan như sau

y’ = Q gt ; y = M gt Đó cũng chính là phương pháp tải trọng giả tạo

 Phương pháp tải trọng giả tạo:

Tưởng tượng một dầm giả tạo có chiều dài giống dầm thật trên đó có tải trọng

giả tạo qgt giống như biểu đồ

x

x

EI

M

 trên dầm thật, lúc đó muốn tính góc xoay y’ và

độ vong y của một dầm thật (DT)(dầm đang khảo sát) thì chỉ cần tính lực cắt Q gt và

mômen uốn M gt do tải trong giả tạo tác dụng trên DGT gây ra

Tuy nhiên, để có được sự đồng nhất đường đàn hồi y và Momen uốn M gt thì điều

kiện biên của chúng phải giống nhau: y’ = Q gt ; y = Mgt tại bất kỳ điểm trên hai DT và DGT

 Cách chọn dầm giả tạo (DGT)

DGT được suy từ DT với điều kiện là nơi nào trên DT không có độ võng và góc xoay thì điều kiện liên kết của DGT ở những nơi đó phải tương ứng sao cho q gt không gây ra

M gt và Q gt

Bảng 8.1 cho một số DGT tương ứng với một số DT thường gặp

Bảng 8.1

Dầm thực Dầm giả tạo

 Cách tìm tải trọng giả tạo q gt

Vì

x

Mx

q   , nên qgt bao giờ cũng ngược dấu với mômen uốn Mx Do đó:

- Nếu: M x > 0 thì qgt < 0, nghĩa là nếu biểu đồ M x nằm phía dưới trục hoành (theo qui ước Mx > 0 vẽ phía dước trục thanh) thì qgt hướng xuống

- Nếu: Mx < 0 thì qgt hướng lên

 q gt luôn có chiều hướng theo thớ căng của biểu đồ mô men M x

Ngòai ra trong quá trình tính các nội lực Mgt, Qgt của DGT, cần phải tính hợp lực của lực phân bố qgt trên các chiều di khác nhau Do đó, để tiện lợi ta xác định vị trí trọng tâm và diện tích  của những hình giới hạn bởi các đường cong như bảng 8.2 dưới đây:

M gt = 0

Q gt = 0

M gt  0

Q gt  0

y = 0

 = 0

y  0

  0

y = 0

  0

y = 0

  0

M gt = 0

Q gt 0

M gt = 0

Q gt 0

M gt  0

Q gt  0

M gt = 0

Q gt  0

M gt = 0

Q gt  0

Q tr = Q ph

y  0

  0

y = 0

  0

y = 0

  0

tr = ph

z

M x > 0

M x < 0

q <0

q >0

Hình vẽ Diện

tích ()

Vị trí trọng tâm

2

Lh

3

L

3

2L

3

Lh

4

L

4

3L

3

2Lh

8

3L

8

5L

Thí dụ 5: Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do B của dầm công xon chịu tải trọng

phân bố đều q.Độ cứng của dầm EIx = const

Giải

+ Biểu đồ mômen uốn M x của DT có dạng đường bậc 2

+ DGT tương ứng với lực phân bố q gt

+ Độ võng và góc xoay tại B của DT chính bằng mômen uốn Mgt và lực cắt Qgt tại B

x x

B

gt

qL L L EI

qL M

y

8 4

3 2

3



x x

B

gt

qL L EI

qL Q

6 2

3







h

L

C

h

L

C Bậc 2

đỉnh

h

L

C

Bậc 2 đỉnh

x

EI

qL

2

2

q

L

M x

DGT

a)

b)

c)

A

2

2

qL