Phân tích chuyển vị của dầm liên tục tiết diện thay đổi dưới tác dụng của tải trọng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

NGUYỄN VĂN QUẾ PHÂN TÍCH CHUYỂN VỊ CỦA DẦM LIÊN TỤC TIẾT DIỆN THAY ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM

- -

KS NGUYỄN VĂN QUẾ

PHÂN TÍCH CHUYỂN VỊ CỦA DẦM LIÊN TỤC TIẾT DIỆN THAY ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG

BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH THỦY

MÃ SỐ: 60580202

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH THỦY

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Phan Anh

HẢI PHÒNG - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Phan Anh Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đều có cơ sở khoa học và đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hải Phòng, ngày 18 tháng 9 năm 2016

Học viên

Nguyễn Văn Quế

TS Nguyễn Phan Anh đã tận tình hướng dẫn để luận văn được hoàn thành theo đúng các yêu cầu của đề tài

Các đồng nghiệp, bạn bè và người thân trong gia đình đã giúp đỡ động viên trong suốt thời gian học tập và làm luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC BẢNG iv

DANH MỤC CÁC HÌNH vi

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN CẦU DẦM HẪNG, CẦU DẦM LIÊN TỤC 3

1.1 Các sơ đồ tĩnh học của cầu dầm liên tục và cầu dầm hẫng 3

1.2 Các sơ đồ tĩnh học của cầu dầm liên tục và cầu dầm hẫng 6

1.3 Một số hình ảnh cầu dầm liên tục tiết diện thay đổi ở Việt Nam 8

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 10 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn và các mô hình phân tích bài toán kết cấu 10

2.2 Phân tích bài toán động lực học kết cấu – dao động tự do 12

2.3 Tính toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn 17

CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN CHUYỂN VỊ CỦA DẦM LIÊN TỤC TIẾT DIỆN BIẾN ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA HOẠT TẢI 40

3.1 Hoạt tải HL93 40

3.2 Mô hình nghiên cứu 42

3.3 Các kết quả tính chuyển vị của dầm cầu ứng với các vị trí xếp tải: 44

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

DANH MỤC CÁC BẢNG

2.1 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn thuần tuý 18

2.6 Quy đổi lực về nút của lực phân bố trên phần tử 28 2.7 Quy đổi lực về nút của lực tập trung trên phần tử 29 2.8 Véc tơ lực nút phần tử trong toạ độ địa phương và toạ độ tổng thể 30 2.9 Véc tơ chuyển vị nút phần tử trong toạ độ địa phương và toạ độ 30

2.10 Hệ thống chỉ số tổng thể và Hệ thống chỉ số phần tử 33

2.11 Ví dụ áp dụng dầm giản đơn chịu lực tác dụng của lực tập trung 34

3.13 Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 10 47

3.14 Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 11 48

3.15 Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 12 48

3.16 Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 13 49

3.17 Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 17 49

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Tại Việt Nam, hiện nay, hệ dầm cầu liên tục tiết diện biến đổi được sử dụng ngày càng nhiều Ưu điểm của hệ dầm liên tục so với hệ dầm giản đơn là tung độ dương lớn nhất của biểu đồ bao momen nhỏ hơn, do đó, chiều cao dầm giảm đi và lượng cốt thép sử dụng là ít hơn

Ngoài ra, tính chất liên tục của bề mặt xe chạy trên các nhịp dầm liên tục cũng đảm bảo tốt cho xe chạy êm thuận với tốc độ cao qua cầu Độ võng của dầm liên tục nhỏ hơn so với độ võng của dầm giản đơn cùng khẩu độ

Thông thường, việc tính toán hệ dầm liên tục tiết diện biến đổi được thực hiện trên các phần mềm chuyên dụng như Midas, RM, … Về mặt bản chất, các phần mềm này cũng sử nguyên lý của phương pháp phần tử hữu hạn

Với mục đích tìm hiểu về phương pháp phần tử hữu hạn, từ đó có thể giải quyết các bài toán phức tạp như bài toán dao động của dầm cầu dưới tác dụng của

hoạt tải, của gió, … tác giả thực hiện đề tài “Phân tích chuyển vị của dầm liên tục tiết diện thay đổi dưới tác dụng của tải trọng bằng phương pháp phần tử hữu hạn” Tác giả sử dụng các công thức gốc trong phương pháp phần tử hữu hạn

để tính toán, sau đó áp dụng phần mềm toán học Maple để xác định chuyển vị của dầm cầu, phần cuối của đề tài, tác giả áp dụng tính toán cho một mô hình dầm cầu

cụ thể

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng cho tính toán hệ dầm

- Sử dụng phần mềm Maple để tính chuyển vị của dầm cầu, từ đó có thể xác định được ứng suất trong dầm cầu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đối tượng nghiên cứu: Dầm cầu liên tục tiết diện biến đổi

Phạm vi nghiên cứu: Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính chuyển

vị của dầm cầu

4 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp thu thập, tổng hợp, phân tích tài liệu: thu thập tất cả các tài liệu đã có nghiên cứu về nội dung, đối tượng nghiên cứu của phương pháp phần tử hữu hạn

- Phương pháp tính toán lý thuyết: ứng dụng để phân tích, tính toán chuyển

vị của dầm cầu dưới tác dụng của hoạt tải tại các vị trí đặt tải khác nhau

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Kết quả nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ nguyên lý tính toán của phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm cầu liên tục tiết diện biến đổi

- Kết quả nghiên cứu là cơ sở để mở rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn khi tính dao động của dầm cầu dưới tác dụng của hoạt tải, của gió,

Đối với dầm giản đơn, biểu đồ momen do tải trọng thẳng đứng chỉ có một dấu dương như trên hình 1.1

Nếu thay cho việc dùng hệ thống 3 nhịp dầm giản đơn, chúng ta dùng hệ thống dầm liên tục 3 nhịp thì biểu đồ momen có một đoạn mang dấu âm ở gần gối giữa, ngoài ra các trị số tung độ dương lớn nhất của hình bao momen cũng giảm đi

M

Hình 1.2: Hệ thống dầm liên tục hai nhịp

Như vậy có thể làm kết cấu nhịp dầm liên tục với chiều cao thấp hơn, ít cốt thép hơn, nghĩa là tiết kiệm vật liệu hơn so với phương án hệ thống hệ thống dầm giản đơn nhiều nhịp

Trong hệ thống dầm liên tục, trên mỗi trụ chỉ cần đặt 1 gối di động hoặc 1 gối cố định nên trụ cầu cso thể làm nhỏ hơn, tiết kiệm vật liệu hơn

Áp lực gối thẳng đứng từ kết cấu nhịp dầm liên tục truyền xuống trụ hầu như đúng tâm hoặc nén lệch tâm ít và gây ra ứng suất nén phân bố gần như đều trong mặt cắt thân trụ và đáy móng trụ Đây là ưu điểm so với hệ thống dầm giản đơn nhiều nhịp

Tuy nhiên trong hệ thống dầm liên tục thì lực hãm xe do 2 nhịp liên tục truyền lên

1 gối cố định đặt ở mố hoặc ở trụ sẽ lớn hơn lực hãm trong phương án hệ thống 2 nhịp dầm giản đơn Như vậy, riêng trụ hoặc mố sẽ tốn vật liệu hơn

Ngoài ra, tính chất liên tục của bề mặt xe chạy trên các nhịp dầm liên tục cũng đảm bảo tốt cho xe chạy êm thuận với tốc độ cao qua cầu vì trắc dọc trên cầu sẽ là một đường cong đều đặn, không có điểm gẫy góc

Độ võng của dầm liên tục nhỏ hơn so với độ võng của dầm giản đơn cùng khẩu độ Nhìn chung, việc áp dụng hệ thống dầm liên tục là hợp lý ngay cả khi chiều dài mỗi nhịp chỉ là 12-15m Qua thực tế khai thác cầu này tỏ ra làm việc tốt

Trước kia, do trình độ công nghệ hạn chế , người ta thường xây các cầu dầm liên tục chỉ có 2-3 nhịp Trong khoảng 20-30 năm gần đây để nâng cao chất lượng khai thác cầu và nhờ các tiến bộ công nghệ người ta đã xây dựng các dầm liên tục có nhiều nhịp hơn

Việc nối đầu hẫng của cầu không có mố và nền đường cần phải được thực hiện sao cho nền được không bị lún nhiều và đảm bảo tăng dần được độ cứng của nền bên dưới phần xe chạy khi xe đi từ đường vào cầu

1.2 Các sơ đồ tĩnh học của cầu dầm liên tục và cầu dầm hẫng

Sau khi quyết định chọn sơ đồ tĩnh học của cầu và các kích thước cơ bản, người thiết kế cần lựa chọn dạng mặt cắt của kết cấu nhịp và phân chia kết cấu nhịp thành các khối lắp ghép hoặc thành các phân đoạn đúc bê tông tại chỗ

Trong các cầu lớn đều phải dùng dạng mặt cắt hình hộp Ưu điểm của dạng này là có độ cứng chống xoắn cao hơn các dạng mặt cắt hở đến vài chục lần Do

đó đủ khả năng chịu các lực gây ra bởi hoạt tải đặt lệch tâm ngay cả ở những nhịp lớn và có mặt cầu rộng Khuyết điểm của dạng mặt cắt hình hộp là chế tạo nó phức tạp hơn các dạng mặt cắt hở

Do trị số mômen rất lớn, đặc biệt là khi thi công đúc hẫng hay lắp hẫng, nên dưới tác dụng của tĩnh tải bản thân kết cấu nhịp thường không xuất hiện mômen dương trong các kết cấu nhịp dầm liên tục Mặt khác ở đoạn gần trụ có lực cắt rất lớn Do đó phải có các biện pháp cấu tạo hợp lý để tăng cường khả năng chịu mômen âm và lực cắt của các đoạn kết cấu nhịp gần với trụ

Có thể tăng cường các mặt cắt gần trụ bằng cách tăng chiều dày thành hộp để vừa đồng thời giảm ứng suất kéo chủ vừa tăng được diện tích vùng bê tông chịu nén Bản đáy hộp cũng được làm dày lên

Hình 1.6 Ví dụ kích thước mặt cắt ngang hình hộp

Trong giai đoạn thiết kế sơ bộ cần đưa ra một số phương án với chiều khác nhau của kết cấu nhịp để so sánh lựa chọn phương án hợp lý Có thể dựa vào một

số kinh nghiệm sau:

- Đối với cầu dầm liên tục đường sắt thi ông đúc bê tông tại chỗ bằng BTCT thường chiều cao mặt cắt giữa nhịp vào khoảng (1/16-1/20)L Các cầu ô tô tương

tự có thể lấy chiều cao thấp hơn, bằng (1/20-1/35)L

- Đối với các cầu ô tô bằng BTCT DUL với nhịp dài hơn 60m, có chiều cao kết cấu nhịp thay đổi thì ở các đoạn gần trụ chọn chiều cao bằng (1/5-1/25)L

- Chiều cao mặt cắt giữa nhịp phụ thuộc vào sơ đồ tĩnh học của cầu Đối với dầm liên tục có thể lấy bằng (1/27-1/40)L Đối với cầu dầm hẫng và cầu khung T-dầm đeo thì chiều cao đó phụ thuộc vào chiều cao dầm để sao cho có đủ chỗ đặt gối chốt và đảm bảo vẻ đẹp kiến trúc

- Trong các cầu dầm hẫng có chốt và cầu khung T có chốt thì chiều ở giữa nhịp lấy nhỏ chỉ cần theo yêu cầu cấu tạo đủ chỗ đặt chốt (1/37-1/64)L

Khi chọn kích thước mặt cắt hình hộp cần lưu ý rằng ứng suất do uốn dầm thường phân bố không đều theo chiều rộng bản nắp và bản đáy của hộp Trị số lớn nhất của ứng suất thường xuất hiện ở vùng tiếp giáp giữa thành hộp với bản đáy hoặc bản nắp hộp

Để giảm chiều dày vữa đệm tạo độ dốc ngang của tầng phủ mặt xe chạy trên cầu, người ta thường làm cho bản mặt cầu BTCT có sẵn độ dốc ngang cần thiết đủ

để thoát nước mưa

1.3 Một số hình ảnh cầu dầm liên tục tiết diện thay đổi ở Việt Nam

Hình 1.7 Cầu Tân Đệ

Hình 1.8 Cầu Thành Trì

Phương pháp phần tử hữu hạn có 2 ưu điểm:

Có khả năng tính được những kết cấu có hình dạng phức tạp Do đó cho phép người kỹ sư suy nghĩ sáng tạo trong những mô hình cụ thể

Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn song song với sự phát triển của máy tính điện tử Do đó cho phép sử dụng máy tính thế hệ mới

Ý nghĩa cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn:

Các cấu trúc cần tính toán được phân thành một số hữu hạn phần tử đơn giản, chú ý đến tính chất liên tục, các điều kiện cân bằng, phương trình chuyển động của mỗi phần tử Từ đó tổng hợp lại cho phép giải toàn hệ Các điều kiện về liên tục cân bằng được xây dựng ở một số hữu hạn nút Đối với phần tử thanh một

chiều, các điều kiện liên tục, tương thích tương ứng với điều kiện thực với mô hình vật lý

Lời giải tĩnh học cần phải thoả mãn 3 điều kiện sau đây:

Điều kiện cân bằng: các nội lực và ngoại lực của hệ tạo thành một hệ lực cân bằng ở mỗi nút Điều kiện này gọi là điều kiện rằng buộc về lực

Điều kiện tương thích: các phần tử của hệ phải phù hợp về mặt biến dạng (điều kiện rằng buộc về chuyển vị)

Quan hệ giữa các lực và biến dạng: mối liên hệ giữa các nội lực và biến dạng được xác định bằng liên hệ nội lực của vật liệu Điều kiện đơn giản nhất là mối liên hệ tuyến tính định luật Hooke:  = D

Tuỳ theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ trong bài toán kết cấu người ta chia ra làm

ba mô hình sau:

 Mô hình tương thích: biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử, ẩn số là các chuyển vị và đạo hàm của nó được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange hoặc định lý dừng của thế năng toàn phần

 Mô hình cân bằng: biểu diễn một cách gần đúng dạng gần đúng của ứng suất hoặc nội lực trong phần tử Ẩn số là các lực tại nút và được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano hoặc định lý dừng của năng lượng bù toàn phần

 Mô hình hỗn hợp: biểu diễn gần đúng dạng phân bố của các chuyển vị và ứng suất trong phần tử Coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt, các ẩn số được xác định từ hệ phương trình lập trên nguyên lý biến phân Reisner – Helinge

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một hệ phương trình đại số vừa nhận được thì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử và từ đó cũng tìm được các đại lượng còn lại

Trong 3 mô hình trên, mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả Trong đồ án này cũng chỉ trình bày PP PTHH theo mô hình tương thích

2.2 Phân tích bài toán động lực học kết cấu – dao động tự do

Trong các bài toán động lực học tải trọng đặt vào kết cấu thường biến thiên theo thời gian, vì vậy chuyển vị của phần tử là một hàm được biểu diễn theo các biến toạ độ điểm và thời gian:

- véc tơ chuyển vị theo các trục x, y, z

Từ định luật Hooke tổng quát ta có phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng là:

 =D (2.3) với:

(2.7)

Trong đó : L = T - 

T - Động năng của cơ hệ

 - Thế năng của cơ hệ

- hàm hao tán

i

q và qi- véc tơ chuyển vị và vận tốc của nút thứ i

Động năng và thế năng của phần tử thứ e đƣợc tính theo công thức:

(2.8)

(2.9)

Trong đó: Ve – thể tích phần tử ; Se – diện tích mặt cắt phần tử

 - khối lƣợng riêng của vật liệu

ge- véc tơ lực khối của phần tử

pe - véc tơ lực mặt của phần tử

e

u - là vectơ vận tốc của phần tử

Nếu xem rằng tồn tại các lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động thì biểu thức hàm hao tán của phần tử thứ e đƣợc biểu diễn nhƣ sau:

Thay (2.6) vào (2.8) ta nhận đƣợc công thức tính động năng của phần tử e

thông qua các véc tơ chuyển vị nút qe:

(2.11)

Với: là ma trận khối lƣợng phần tử (2.12)

Thế (2.4) và (2.5) vào (2.9) ta nhận đƣợc công thức tính thế năng của phần

tử e thông qua các véc tơ chuyển vị nút qe:

e 1 2

Bằng cách “ghép nối” phần tử trên toàn hệ, các đại lƣợng động năng, thế năng và hàm hao tán có thể biểu diễn qua vectơ chuyển vị vận tốc nút tổng thể nhƣ sau:

m

K K

e e=1

+ + =

Mq Bq Kq  P

(2.25)

( q - vectơ gia tốc nút tổng thể) Sau khi áp dụng các điều kiện động học, ta nhận được phương trình động lực học của hệ:

Mq Bq Kq  P (2.26) Phương trình (2.26) được gọi là phương trình dao động cưỡng bức của kết cấu

Các trường hợp riêng:

- Nếu tải trọng ngoài P = 0 thì phương trình (2.26) trở thành

Mq Bq Kq  0 (2.27)

đây là phương trình dao động tự do có cản của kết cấu

- Trong trường hợp không cản (B = 0) phương trình dao động của hệ có

dạng:

Mq Kq 0 (2.28)

đây là phương trình dao động tự do không cản của kết cấu Từ phương trình này ta

có thể tính toán các tần số riêng và các dạng dao động riêng của kết cấu

- Trong trường hợp bài toán tĩnh (xác định chuyển vị tĩnh, q = 0, q = 0  ), phương trình (2.26) trở thành:

Hình 2.1: Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn thuần tuý

w(x)=1 +2 x+3 x 2 +4 x 3 (2.32) (1 , 2 , 3 , 4: đƣợc xác định từ các điều kiện biên)

Áp dụng các điều kiện biên: w(0) = q1, w’(0) = q2, w(l) = q3, w’(l) = q4 ta

q ( )

( )

w dw dx

w l l l l

dw l

l l dx

x u= -y

A B'

x y

(y – khoảng cách từ điểm đang xét tới đường trung hoà)

như vậy, biến dạng dọc trục của dầm là:

2 2

x

u w y

x x

    

  (2.38) Thay (3.7) vào (3.9) ta được:

y x



 



H A

6 12x 4 6x 6 12x 2 6x y

Để ý rằng trong trường hợp thanh chịu uốn thuần tuý ma trận hằng số đàn

hồi D trong công thức (2.3) có dạng: D E (vì  = 0) (2.41)

( - mô men quán tính của mặt cắt ngang dầm)

Ma trận Ke đƣợc gọi là ma trận độ cứng phần tử của thanh chịu uốn thuần tuý

2.3.1.2 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục

Hình 2.3: Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục

x x

H

) (

1 ) (

Trong bài toán này, véc tơ biến dạng ε x , véc tơ ứng suất cũng chỉ còn