Tài liệu Thanh thẳng chịu uốn pptx

Giả thiết về các thớ dọc III.ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG 1.Ứng suất 2.Xác định vị trí đường trung hòa 3.Xác định momen chống uốn của các mặt cắt ngang đơn giản 4.Hình dạng mặt cắt ngang

CHƯƠNG 7

THANH THẲNG CHỊU UỐN

KHÁI NIỆM VỀ THANH CHỊU UỐN

A.UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

I KHÁI NIỆM

II CÁC GIẢ THUYẾT

1 Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng

2 Giả thiết về các thớ dọc

III.ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG

1.Ứng suất

2.Xác định vị trí đường trung hòa

3.Xác định momen chống uốn của các mặt cắt ngang đơn giản

4.Hình dạng mặt cắt ngang hợp lý của thanh chịu uốn phẳng thuần túy 5.Ðiều kiện bền của dầm chịu uốn thuần túy phẳng

B THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

I.KHÁI NIỆM

II.ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG

PHẲNG

III.ỨNG SUẤT TIẾP ÐỐI VỚI MỘT SỐ MẶT CẮT NGANG ÐƠN GIẢN

1.Mặt cắt ngang hình chữ nhật

2.Mặt cắt ngang chữ I

3.Mặt cắt ngang tròn

IV.KIỂM TRA BỀN DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

1.Tại mép

2.Tại vị trí đường trung hòa

3.Ðiểm giữa mép và đường trung hòa

V.DẦM CHỐNG UỐN ÐỀU

VI.THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ÐÀN HỒI

VII.QUỸ ÐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH KHI UỐN

VIII.KHÁI NIỆM VỀ TÂM UỐN

KHÁI NIỆM VỀ THANH CHỊU UỐN TOP

Thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm

Nếu tất cả ngoại lực nằm trong mặt phẳng ( chứa trục của thanh, thì ( gọi là mặt phẳng tải trọng

Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng

Nếu trục của thanh sau khi uốn vẫn nằm trong mặt phẳng chính trung tâm tức Jxy = 0 thì gọi là thanh chịu uốn phẳng

A.UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

Một thanh được gọi là uốn thuần túy phẳng khi trên

mặt cắt ngang chỉ có thành phần nội lực là momen uốn

khác không, các thành phần nội lực khác đều bằng 0

Quan sát một thanh chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình chữ nhật Trước khi chịu lực, ta kẻ những đường thẳng song song với trục để biểu diễn những thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với trục để biểu diễn mặt cắt ngang

Sau khi biến dạng ta thấy những đường thẳng song song với trục thanh bây giời trở thành những đường cong nhưng vẫn song song với trục thanh Những đường thẳng vuông góc với trục thanh bây giờ vẫn còn vuông góc với trục (Như vậy góc vuông sau khi biến dạng vẫn còn là góc vuông) (hình 7-3)

Từ nhận xét trên ta đưa ra các giả thiết sau để làm cơ sở tính toán cho dầm chịu uốn thuần túy phẳng

1 Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng TOP

Trước khi biến dạng mặt cắt ngang của dầm là phẳng và vuông góc với trục thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm (Giả thiết Bernoulli)

Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không nén ép lên nhau và cũng không đẩy nhau ra Ngoài ra ta vẫn coi vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi

III ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG

Quan sát biến dạng ta thấy khi thanh bị uốn cong về phía dưới thì phần trên của thanh bị nén còn phần dưới của thanh bị kéo Như vậy tất nhiên từ phần bị kéo sang phần bị nén sẽ có một đường không bị kéo cũng không bị nén, tức là không bị biến dạng Ta gọi các thớ này là thớ trung hòa Các thớ trung hòa hợp thành lớp trung hòa, giao tuyến của lớp trung hòa với mặt

cắt ngang gọi là đường trung hòa

Xét một đoạn thanh dz được cắt bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 sau khi biến dạng hai mặt cắt này tạo với nhau một góc d(

Gọi ( là bán kính cong của thớ trung hòa Vì thớ trung hòa không bị biến dạng nên:

dz = r.dj

Ðối với thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng là y thì chiều dài sau khi biến dạng là:

dz = Ddz = (r + y)dj

(z : biến dạng tỉ đối

Ta cóĠ (VII-1a) như vậy những điểm có cùng khoảng cách y đến trục trung hòa thì ứng suất có cùng giá trị như nhau

Ta có : Ġ

Tổng momen gây ra do (z trên mặt cắt F bằng với giá trị Mx

Jx: momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x

Rút ra ĉ (VII-1b)

Trong đó tích EJx được gọi lă độ cứng của dầm khi uốn Khi độ cứng của dầm căng lớn thì độ cong 1/( của dầm căng nhỏ

Từ biểu thức (VII-1a) vă (VII-1b) ta rút ra

(Công thức Bernouilli) (VII-2a)

Trong đó:

Mx: momen uốn trín mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x

Jx: momen quân tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x

y : tung độ của điểm cần tính ứng suất đang xĩt đến trục trung hòa x

Ðể thuận tiện ta viết công thức Bernouilli dưới dạng:

(VII-2b)

Trong đó ta lấy dấu (+) cho vùng bị kĩo, dấu (-) cho vùng bị nĩn

Ta có: Ġ

Nhưng ta đê giả thiết Nz = 0Ġ

Vậy momen tĩnh Ġ Như vậy đường trung hòa x trùng với trục trung tđm của mặt cắt ngang vì vậy còn gọi lă trục trung hòa Ðối với một mặt cắt ngang bất kỳ đường trung hòa không chia đôi mặt cắt ngang Phần bị kĩo

Trong đóĠ vàĠ được gọi là momen chống uốn của mặt cắt ngang

VớiĠ vàĠ

Ðối với mặt cắt ngang hình chữ nhật thì đường trung hòa chia đội mặt cắt ngang Nếu hình chữ nhật có chiều cao h

thì:

3 Xác định momen chống uốn của các mặt cắt ngang đơn giản TOP

Mặt cắt ngang chữ nhật:

Mặt cắt ngang tròn:

Mặt cắt ngang hình vành khăn:

Ðối với mặt cắt ngang dạng định hình như chữ I, U , momen chống uốn được cho trong các bảng

4 Hình dạng mặt cắt ngang hợp lý của thanh chịu uốn phẳng thuần túy TOP

Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang ta nhận thấy ở gần đường trung hòa vật liệu chịu lực rất ít mà ở càng xa đường trung hòa vật liệu càng làm việc nhiều hơn Do đó người ta có các dạng mặt cắt ngang hợp lý tiết kiệm nguyên liệu như sau:

Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là làm sao cho khả năng chịu lực của thanh lớn nhất đồng thời ít tốn vật liệu nhất

Dựa vào điều kiện :

Ta có:Ġ (*)

Ðối với vật liệu dẽo :Ġ

Ðường trung hòa chia đôi mặt cắt nên mặt cắt hợp lý có dạng đối xứng

Ðối với vật liệu giòn:

Vậy hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là không đối xứng qua trục trung hòa và phải bố trí sao cho thỏa phương trình (*)

Ðể đặc trưng cho tính hợp lý của mặt cắt ngang, người ta dùng tỉ sốĠ

Ðối với vật liệu dẽo

Mặt cắt ngang tròn ĉ = 0,141

Mặt cắt ngang chữ nhật Ġ = 0,167

Mặt cắt ngang vành khăn ĉ = 0,73 ( 0,81

Mặt cắt ngang chữ U ĉ = 0,57 ( 1,35

Mặt cắt ngang chữ I ĉ = 1,02 ( 1,51

Nên trong thực tế các dầm thường chế tạo dạng chữ I, U

Vật liệu dẽo

Vì ứng suất cho phép khi kéo và nén bằng nhau

[s]k = [s]n = [s]

Nên trong hai giá trị (max và (min ta sẽ chọn giá trị lớn hơn về trị tuyệt đối để so sánh

Vật liệu giòn: (max ( [(]k

f(y2) nên nếu giảm y đến một giá trị nào đó thì trị số Wx lại tăng lên

ặt cắt ngang tròn nếu độ dày gọt (=0,011d thì Wx tăng lên 0,7%

B THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Ðôi khi những loại dầm có mặt cắt ngang là tròn hoặc tam giác đều nếu ta gọt dầm đi một ít (theo chỗ gạch chéo) thì lại làm cho khả năng chống uốn của dầm tăng lên Quả vậy vìĠ Nếu gọt như vậy sẽ làm cho ymax giảm đồng thời làm Jx cũng giảm Nhưng vì Jx =

Ví dụ: đối với m

Thanh chịu uốn ngang phẳng là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang có cả hai thành phần nội lực là lực cắt và

ong

và vuông góc với trục của thanh thì sau khi biến dạng, những

hông còn đúng nữa

goài ứng suất pháp do momen uốn Mx gây ra còn có ứng suất tiếp do lực cắt

a Tuy nhiên trong lý thuyết đàn hồi, người ta chứng minh được rằng

i sai số không lớn

ắm nên ta vẫn dùng công thức này để tính ứng suất pháp Bây

Thực tế ở đây còn có (y quá bé so với những ứng suất khác nên ta bỏ qua

II ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

Nói chung, ứng suất tiếp (z ở một điểm bất kỳ không cùng phương với lực cắt Qy

Cách xác định ứng suất tiếp (z ở một iểm bất kỳ trên mặt cắt ngang là một vấn đề khó khăn Trong thực tế người ta thường

ỉ xác định

y là tzy

Ký hiệu (zy chỉ ứng suất tiếp ( thuộc mặt phẳng vuông góc với trục z và (theo phương y (song song trục y)

Tưởng tượng tách ra khỏi thanh một phân tố có chiều dài dz

có momen uốn tăng từ Mx đến Mx+dMx

Ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH

BCD làĠ vớiĠ Lực tác dụng lên mặt EFGH làĠ vớiĠ

hương z ta được:

momen uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của mặt cắt ngang

Qua thực nghiệm ta thấy khi kẻ những đường thẳng song s đường này vẫn còn song song nhưng không còn vuông góc với trục của thanh, giả thiết mặt cắt ngang phẳng k

Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, n

Qy gây ra, công thức Bernoulli không còn đúng nữ công thức BernoulliĠy được áp dụng vớ

l giờ ta chỉ còn tính trị số ứng suất tiếp (

đ

không xác định ứng suất tiếp toàn phần (z mà ch thành phần ứng suất tiếp song song với lực cắt Q

Lực tác dụng lên mặt A

Lực tác dụng lên mặt ABEF là (yzbc.dz

Thiết lập phương trình cân bằng phần ABCDEFGH lên p

Chú ý:Ġ momen tĩnh của phần diện tích bị cắt ABCD đối với trục trung hòa x

Trong đó:

ứng suất tiếp song song với lực cắt

Qy : lực cắt

Sxc : momen tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục x

Jx : momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x

bc : bề rộng của dầm tại vị trí bị cắt

Durápski: tên một kỹ sư cầu đường Nga đã tìm ra công thức trên

III ỨNG SUẤT TIẾP ÐỐI VỚI MỘT SỐ MẶT CẮT NGANG ÐƠN GIẢN

1 Mặt cắt ngang hình chữ nhật

Ở đây bc = b

Hay

(zy : là thành phần

VậyĠ

Nhận xét: sự phân bố của (zy dọc theo chiều cao là một Parabol bậc II

Tại hai phía : y =Ġ; (zy = 0;Ġ

Hình 7-8

Tại vị trí đường trung hòa y = 0

2 Mặt cắt ngang chữ I

rất bé nên ta xét ứng suất trong phần lòng của chữ I

Ở đây bc = d

momen tĩnh của phần có gạch

Vì trị số ứng suất tiếp trên đế là

Trong đó Sx momen tĩnh của nữa mặt cắt chữ I đối với trục x

VậyĠ

Nhận xét: quy luật phân bố ứng suất tiếp dọc theo lòng chữ I cũng là Parapol bậc II Ðối với điểm B:Ġ

òn

Ở đây bc = b(() = AB = IJ;Ġ

(zy phân bố theo quy luật Parabol bậc II theo y

Khi y = r ; tzy = 0

Tại trục trung hòa : y = 0 Ġ

3 Mặt cắt ngang tr

Tại trục trung hòa y = 0 => (zy = (zy max =Ġ với F = (r2

IV KIỂM TRA BỀN DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

1 Tại mép

g hòa

a Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất

ền thế năng biến đổi hình dạng

2 Tại vị trí đường trung hòa

sz = 0

3 Ðiểm giữa mép và đường trun

b Thuyết b

c Ðối với vật liệu giòn ta dùng thuyết Mohr

ỐNG UỐN ÐỀU

Dầm chống uốn đều khi ứng suất trên mọi mặt cắt ngang của dầm đều

giá trị ứng suất cho phép

Ví dụ: giả sử có dầm chịu lực như hình vẽ 7-12, biểu thức của momen uốn và l c cắt trên một mặt cắt ngang nào đó là :

ạng lớn dần như nét đứt hình 7-12

ầm phải tính đến lực cắt

Ðó là hình dạng hợp lý của dầm, nhưng vì khó gia công nên người ta chế tạo thành trục bậc

ĂNG BIẾN DẠNG ÐÀN HỒI

ng riêng biến dạng đàn hồi u là

Trong trường hợp uốn ngang phẳng:

(2 = 0 vàĠ

Với Ġ

ng đàn hồi U =Ġ

V DẦM CH

đạt đến

ự

Ta có

Như vậy hình dạng của thanh dầm có d

Ngoài ra ở hai đầu d

VI THẾ N

Trong trạng thái ứng suất ta đã biết thế nă

Vậy Ġ

Vậy thế năng biến dạ

Mặt cắt ngang tròn : ( = 10/9 = 1,11

ật: ( = 1,2

ặt cắt ngang chữ I: ( =Ġ

FI: diện tích của lòng chữ I

Thanh có chiều dài l

(VII-5a)

Thanh có nhiều đoạn

(VII-5b)

VII QUỸ ÐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH KHI UỐN

Trong đó: ĉ

(: hệ số điều chỉnh

Mặt cắt ngang chữ nh

M

F: diện tích của chữ I

Nói chung một phân tố bất kỳ nào đó trong lòng của thanh chịu uốn ngang phẳng đều ở trạng thái ứng suất phẳng như hình vẽ 7-13

Ở đây ta xác định phương ứng suất chính của các phân tố khác nhau trên cùng một mặt cắt ngang 1-1

Ðối với các phân tố A và E chịu ứng suất đơn nên phương của ứng suất chính là phương song song với trục thanh

Phân tố C nằm trên đường trung hòa có trạng thái ứng suất trượt thuần túy nên phương chính nghiêng với trục một góc 450

Ðối với các phân tố B và D các phương chính còn tùy thuộc vào trị số các ứng suất

chính ta dùng vòng tròn Mohr

định được phương chính ở nhiều điểm trên dầm

Ðể xác định phương

Bằng phương pháp tương tự ta có thể xác

Ta vã các đường cong có tiếp tuyến là phương của ứng suất chính Ta gọi các đường cong đó

là quỹ đạo của ứng suất chính Các quỹ đạo này hợp thành hai họ đường cong vuông góc nhau: một họ là quỹ đạo ứng suất kéo và một họ là quỹ đạo ứng suất nén

Quỹ đạo ứng suất kéo là đường nét đứt

Quỹ đạo ứng suất nén là đường liền

Người ta thường dùng các phương pháp thực nghiệm để xác định quỹ đạo ứng suất chính như phương pháp quang đàn hồi, phương pháp sơn dòn

Sở dĩ ta cần biết quỹ đạo ứng suất chính vì nó cho ta biết cách sắp xếp vật liệu đúng chỗ, làm tăng khả năng chịu lực của dầm

Ví dụ: đối với bê tông là loại vật liệu chịu nén tốt hơn chịu kéo, để tăng khả năng chịu uốn

VIII KHÁI NIỆM VỀ TÂM UỐN

ứng suất tiếp ở lòng và đế phâ

Nếu lấy momen đối với trục dầm z thì đối với tiết diện chữ I momen này bằng 0 nhưng đối với tiết diện chữ U chữ L thì

Hình vẽ 7-14 biểu diễn quỹ đạo ứng suất chính của một dầm đặt trên hai gối tựa chịu tải trọng phân bố đều:

của dầm bằng bê tông ta đặt cốt thép vào dầm theo phương quỹ đạo ứng suất chính chịu kéo như hình vẽ (7-14)

Nếu trên mặt cắt của dầm có lực cắt Qy thì trên mặt cắt có thành mỏng hở như chữ I, U, L

n bố thành những luồng ứng suất tiếp

momen này khác 0 và gây nên sự xoắn dầm

Cho nên một dầm chịu uốn thì ngoài biến dạng uốn còn có biến dạng xoắn Biến dạng xoắn là

do hợp lực của ứng suất tiếp không nằm trong mặt phẳng tải trọng Biến dạng này làm cho

ầm bị vênh

Bây giờ ta xét mặt cắt chữ U Hiện tượng xoắn có thể mất đi nếu tải trong đặt trong mặt phẳng thẳng đứng nào đó qua điểm

t phẳng tải trọng cách tâm của lòng chữ U một khoảng e

Vì ứng suất tiếp ở đế có phương nằm ngang nên hợp lực của

a tải trọng bằng 0)

M = Qy.e - T.h Như vậy có thể làm mất hiện tượng xoắn nếu momen M = 0 lúc đó khoảng cách e bằng:

Hợp lực của T có trị số là :Ġ (1)

MàĠ (vì t <<h)

Cho nên :Ġ

Từ (1) rút ra :Ġ

Thường t << h nên công thức gần đúng :Ġ

Ðiểm C có đặc tính như trên được gọi là tâm uốn, khoảng cách e xác định vị trí tâm uốn

Vậy đối với dầm có mặt phẳng quán tính chính trung tâm không phải là mặt phẳng đối xứng thì muốn cho dầm chịu uốn ngang phẳng mà không bị xoắn thì mặt phẳng tải trọng phải song song với mặt phẳng quán tính chính trung tâm và đi qua tâm uốn

mặt cắt của d

C Giả sử mặ

ứng suất tiếp ở lòng có trị số bằng lực cắt Qy Gọi T là hợp lực của ứng suất tiếp ở đế Lấy momen đối với điểm C: ta có (vì mặt phẳng tải trọng qua C nên momen củ