Chuyen de He PT luyen thi DH

Cách giải: + Đưa hệ về hệ có một phương trình chứa một ẩn hoặc một biểu thức có dạng Y =f X =g m với m là tham số + Tìm điều kiện của ẩn X hoặc của biểu thức X.. + Dựa vào bảng biến thi[r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

I Hệ đối xứng loại 1:

* Có dạng:

¿

f (x ; y)=0 g(x ; y)=0

¿ {

¿

với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x)

* Biến đổi hệ theo x+y và x+y

Đặt S = x + y và P = xy

 Biến đổi hệ theo S, P và giải hệ tìm hai ẩn đó

 Với mỗi nghiệm (S;P) ta giải pt X2 – SX + P = 0 để tìm x, y

 Chú ý: với mỗi bài toán phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y

Ví dụ 1 Giải hệ

a 2 2

5 6

3 2

3 3

2

S

P S

S S

x y xy

x y xy

x y

2 3

3 2

x y

x y

S S

S

S P

1

u v

1 1

x x

y y

; v = y +

1 2

v u

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được

* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được x2+4 x +4=0 ⇔ x=−2 ⇒ y=− 2

Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )

*Với x=y thay vào (4) ta được: y2− 10 y +25+3− y=0 ⇔ y2−11 y +28=0

+ Thay x = 0 vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình không.

+ Với x 0 đặt y=tx, biến đổi đưa về pt bặc hai theo t giải t suy ra x, y.Cách khác:

+Khử các số hạng tự do để đưa phương trình về dạng ax2+ bxy +cy2=0

f/(t) - +

f(t) +∞ +∞

√1 −3 t1

Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm

IV Phương pháp thế, cộng đại số:

⇔( x −1)(2 x3+7 x2+5 x −2)=0

⇔ x=1

¿ {

¿

a/ Giải hệ khi a=1

b/ Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt

c/ Gọi (x1 ,y1); ( x2 ,y2) là các nghiệm của hệ đã cho

2 2

x

x

x y

Thay (2) vào (1) ta được:

* Với y = 0 thay vào (2) ta được x = 0 hoặc x = 1

Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm (0; 0), (1; 0)

* Với x 1 thay vào (2) ta được y = 0 hoặc y = -1

Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm (1; 0), (1; -1)

* Với y x 1 thay vào (2) ta được

Suy ra trong trường hợp này hệ có nghiệm: (0;-1), (1; 0)

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: (0; 0), (1; 0), (0; - 1), (1; -1)

* Với x = 0 thay vào (2) ta được 0 = 6

Suy ra hệ vô nghiệm

* Với x = - 4

17 4

y

Vậy nghiệm của hệ là

17 4;

Vậy nghiệm của hệ là (1; 2), ( 2;5)

Ví dụ 9 Giải hệ phương trình sau

Thay (2) vào (1) ta được x3 – 7xy2 + 3x2y + 3y3 = 0 (3)

* Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm

* Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được x2+4 x +4=0 ⇔ x=−2 ⇒ y=− 2

Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 )

¿ {

* Với y=x +1 thay vào (1) ta được: - 3= 0 (Vô nghiệm)

* Với y = 2x thay vào (1) ta được:

Thay vào phương trình (2) ta được x = 2, suy ta y = 2

Vậy nghiệm của hệ là (2; 2)

* Với y = 9 – x thay vào (4) ta được

* Với u=1-v thay vào (1) ta được:

u v

*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)

Ví dụ 12 Giải hệ phương trình sau:

x y

1 1

Vậy nghiệm của hệ là (1; 1).

,

2 2

3 ( )

( ) 2

x y

 ; f/(u) =

2 2

2



5 8

2 Đặt ẩn phụ bằng cách chia hoặc nhân hai vế của phương trình của hệ cho một biểu thức hoặc chia hai phương trình của hệ:

Hệ

⇔ y

 x 2 4x 3 0

x 3y    hay x 2 5x 12 0

x 1 1 y 3

+ Khi v  1 u 1 ta có

1

1 1

y y

x x

y y

x x

2 2

y y

x x

2 2

y y

x x

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y  

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình sau:

2

2 2

3 0 5

y x

3

2 2

x

x y

y x

x x

y y

1

2 1

x y

x

x x

x y

* Với

2

4 3

1 4

y x

thay vào (1) ta được

4 375 2

x 

Với

3 5

y x

thay vào (1) ta được x 

+Khi

2 2

6

a b ab

x

x y y

x

x y y

u v

u v uv

x y

Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5)

VI Phương pháp giải một phương trình của hệ:

Cách giải:

+ Giải một phương trình của hệ, tìm điều kiện ràng buộc của ẩn.

+ Thay vào phương trình còn lại để tìm nghiệm của hệ

Ví dụ 1 Hãy giải hệ sau:

Thay vào (2) ta được

Điều kiện:

x y







Nên f(y) nghịch biến trên đoạn 0; 2

Ta lại có y = 1 là nghiệm của (3)

Suy ra (3) có nghiệm duy nhấy y = 1  x 2

* Với x y thay vào (2) ta được 8 y  2 y  3 8 y  3 2 y

x − ∞

3 1 4  +∞

f/(x) - 0 +

+∞

f(x) +∞

3 3 1 1 2 256  4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x( ) 0  x R nên phương trình (*) vô nghiệm Vậy nghiệm của hệ là 1 5 1 5 1 5 1 5 (1;1), ; , ; 2 2 2 2                       Ví dụ 9 Giải hệ phương trình 3 2 2 2 2 0 2 2 0 xy x x x y x y xy y             (x, y  R) ( ĐỀ TSĐH KHỐI DNĂM 2012) Giải: Ta có: 3 2 2 2 2 0 2 2 0 xy x x x y x y xy y               2    2 0 2 1 0

xy x







 2

2 0

xy x

x y







2 0

xy x

y x









3 2

2 0

x x

x y







2

y x







1 1

x

y









 hay

2 5

x y







 

2 5

x y







 



VII Phương pháp sử dụng đạo hàm:

Kiến thức: Cho phương trình f (x)=g (x)(∗) Khi đó, phương trình (*)

có n nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số y=f (x) và đồ thị hàm số y=g(x )

+ Tìm điều kiện của ẩn X hoặc của biểu thức X.

+ Dùng đạo hàm để xét tính biến thiên của f (X ).

+ Dựa vào bảng biến thiên kết luận về số nghiệm của hệ.

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất Xét hàm số f (x)=x3− x2

Có f❑

(x )=3 x2− 2 x2

f❑ (x )=0 ⇔ x=0 ¿ x=2 3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Bảng biến thiên x − ∞ 0 32 +∞

f/(x) + 0 - 0 -

+∞

f(x) 0

+∞ − 4

27

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (*) có nghiệm duy nhất

⇔

−m>0

¿

−m<− 4

27

¿

¿

¿

¿

¿

⇔ m<0

¿

m> 4

27

¿

¿

¿

¿

¿

Đối chiếu với yêu cầu m < 0 ta được m < 0

Vậy m < 0 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm duy nhất với mọi a.

¿

2 x2=y+ a

2

y(1)

2 y2

=x+ a

2

x (2)

¿ {

¿

Giải:

Điều kiện: x ≠ 0 , y ≠ 0

Từ (1) và (2) ⇒ x>0 , y>0

Hệ đã cho

⇔ x= y

* Với t=1 ⇔2 x − y =1⇔ y=2 x −1 thay vào (2) ta được: 2√x −√2 x −1=3 m(3)

Để hệ đã cho có nghiệm thì (3) có nghiệm x ≥1

* Với t=2 ⇔ y=2 x − 2 thế vào (2) ta được: 2√x −√2 x −2=3 m (4)

Hệ đã cho có nghiệm (4) có nghiệm x ≥ 1

v = y2+y=(y+1

2)2−1

4≥ −

1 4

Do v ≥−1

4⇒8 −u ≥ −1

4 nên −1

4≤ u≤

33 4

Thế v =8 −u vào (2) ta được 8 u −u2=m (3)

Hệ đã cho có ít nhất một nghiệm (x; y) ⇔(3) có ít nhất một nghiệm

u ∈[−1

4;

33

4 ]

Xét hàm số f (u)=8 u −u2 trên đoạn [−1

4;

33

4 ]

Ta có f❑

(u)=8 −2 u

f❑

Bảng biến thiên

x −1

4 4 334 f❑ (x ) + 0 -

f (x) 16

−33

16 −33

16

Dựa vào bảng biến ta thấy hệ đã cho có ít nhất một nghiệm ⇔−33

16≤m ≤16

Ví dụ 5 Cho hệ phương trình

¿

√x+√y=3(1)

√x+5+√y +3=m(2)

¿ {

¿

Xác định m để hệ có nghiệm x ≥ y

Giải:

Điều kiện: x ≥ 0 ; y ≥ 0

Đặt t=√y ≥ 0

Từ (1)⇒ x=t2

− 6 t+9

Khi đó (2) trở thành : √t2−6 t+14+√t2+3=m(3)

Do x ≥ y ≥ 0 nên √x ≥√y ⇒3 −t ≥t ⇔t ≤3

2

Do đó, 0 ≤t ≤3

2

Hệ đã cho có nghiệm x ≥ y ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈[0 ;3

2]

Xét hàm số f (t)=√t2− 6 t+14+√t2 +3 trên đoạn [0;3

2]

Ta có f❑

(t)= t −3

√t2−6 t+ 14+

t

√t2+3

2 )≤ m ≤ f(32) thỏa điều kiện bài toán

VIII Phương pháp hàm số:

Kiến thức: Nếu hàm số y=f (x) đơn điệu và liên tục trên D thì phương trình

f (x)=k nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất trên D và f (x)=f ( y )⇔ x= y

với mọi x, y thuộc D

Cách giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của hệ

Bước 2

+ Biến đổi hệ đưa một phương trình của hệ về dạng f (u)=f (v ) (*)

+ Chứng minh y=f (x) là hàm số đơn điệu và liên tục trên D

Suy ra, (*) ⇔u=v

+ Ta tìm được điều kiện ràng buộc ẩn này qua ẩn kia

+ Thay vào phương trình còn lại để tìm nghiệm

Do đó, (1)⇔ f (x)=f ( y)⇔ x= y

Thay vào (2) ta được x=±61

√2 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (−61

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau

¿(4 x2 +1)x+( y − 3)√5 −2 y=0(1)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (12;2)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau

Nên hàm số f (t) nghịch biến trên mỗi nữa khoảng ¿ và ¿

Do (*) nên ta có các trường hợp sau

Thay x = y vào (1) ta được: √3+x+√1 − x=m(3)

Hệ đã cho có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm x ∈[− 3 ;1]

Bảng biến thiên

x -3 - 1 1

g❑

(x) + 0 -

Vậy hàm số tăng trên R

Do đó (2)  f  2  x f  2y 1  2  x  2y 1

 2 – x = 2y – 1  2y = 3 – x

Thay vào (1) ta được: x 3 + x – 2 = 0  x = 1

Vậy nghiệm của hệ là (1;1)

Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R

Nếu u > v  f(u) > f(v)  3 v  3  u v > u ( vô lý )

Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý

Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R

Ta có g(0) = 1 Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)Nên (II)  u = 0 = v

Vậy (I)  x = y = 1

IX Các bài tập tự làm:

có nghiệm (x;y) thỏa

Điều kiện x.y<0.