Giáo trình Toán rời rạc Chương 3.4

Giáo trình Toán rời rạc

Chương III

SUY LUẬN TOÁN HỌC

Có hai câu hỏi đặt ra trong nghiên cứu toán học là: (1) Khi nào thì một suy luận toán học là đúng? (2) Có thể dùng các phương pháp nào để xây dựng các suy luận toán toán học?

Suy luận là một hoạt động của trí tuệ dựa trên các qui tắc nhất định mà trong thực tiển hoạt động của mình con người chấp nhận được rằng việc áp dụng các qui tắc đó cho phép đạt được các kết quả nhận thức phù hợp với thực tiển Ví dụ: Trong hoạt động thực tiển con người nhận thấy rằng khi hai sự vật đồng nhất với một sự vật thứ ba thì hai sự vật ấy đồng nhất với nhau Do đó mọi người đều đồng ý chấp nhận qui tắc (hay mô hình) suy luận: Nếu A đồng nhất với C và nếu B đồng nhất với C thì A đồng nhất với B bất kể A, B, C là sự vật gì Con người không thể suy luận mà không dựa trên các ý tưởng, các khái niệm Để có thể thống nhất với nhau trong khi giao tiếp con người cần định nghĩa các khái niệm một cách chặt chẻ

Ví dụ cần thống nhất với nhau khái niệm “Hình tam giác” bằng định nghĩa “Hình tam giác là một hình phẳng gồm ba đoạn thẳng nối ba điểm không thẳng hàng” Mỗi một khái niệm được định nghĩa lại cần dựa trên các khái niệm khác để định nghĩa Trong ví dụ trên khái niệm

“hình tam giác” được định nghĩa dựa trên các khái niệm đoạn thẳng, điểm, phẳng, thẳng hàng Dĩ nhiên không thể đẩy việc định nghĩa đến tận cùng được, phải dừng việc định nghĩa ở một số khái niệm xem như có thể thỏa thuận với nhau là khái niệm ban đầu không cần thiết phải định nghĩa hoặc không thể định nghĩa được Trong ví dụ vừa nêu có thể xem “điểm” là khái niệm ban đầu, khi đó “điểm” là “điểm” - đơn thuần là một khái niệm và không dựa vào bất cứ khái niệm nào khác để định nghĩa lại điểm

Mối quan hệ giữa các sự vật, các khái niệm cũng cần được làm sáng tỏ bằng các suy luận, ie: cần được chứng minh Ví dụ: “Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ” là một khẳng định về mối quan hệ định lượng giữa các góc trong một tam giác Mỗi quan hệ giữa các sự vật, các khái niệm được chứng minh đó tùy vào tầm quan trọng của chúng mà được gọi dưới các tên: “Tính chất / Bổ đề / Định lý /Hệï quả” Việc chứng minh các mối quan hệ này đòi hỏi các suy luận dựa trên các khái niệm đã biết, đã được định nghĩa và dựa trên các mối quan hệ đã được chứng minh (hoặc đã được chấp nhận) khác Trong ví dụ trên việc chứng minh “Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ” sẽ dẫn đến việc đòi hỏi quan hệ “Từ một điểm ở ngoài một đường thẳng ta có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng song song song với đường thẳng đã cho” hoặc phải được chứng minh hoặc phải được chấp nhận Trong trường hợp một phát biểu về mối quan hệ giữa các khái niệm được yêu cầu chấp nhận

vì không thể chứng minh được thì phát biểu đó sẽ được gọi là một tiên đề Một tiên đề thì có thể được chấp nhận hoặc không chấp nhận - không làm ảnh hưởng gì đến tính chặt chẻ hoặc tính đúng đắn của hệ thống khoa học đang được nghiên cứu Việc chứng minh một mối quan hệ là “không thể chứng minh được” trong nhiều trường hợp là hết sức khó khăn, vì vậy một

số quan hệ đã được kiểm chứng1 là đúng nhưng chưa chứng minh được sẽ chỉ được gọi là các phỏng đoán mà thôi Trong khoa học tồn tại vô vàn các phỏng đoán

Chúng ta xét đến khái niệm “chứng minh”: Như đã nói trên mỗi chứng minh là một dãy các suy luận đi từ các khái niệm ban đầu, các giả thiết, các khái niệm đã được định nghĩa, các tính chất, các định lý để đạt được các kết luận mới Để đảm bảo cho các kết luận mới này được chặt chẻ2 thì dãy các suy luận đó phải thỏa mãn:

- Áp dụng đúng các qui tắc suy luận

- Chỉ được suy luận dựa trên các khái niệm ban đầu, các giả thiết, các khái niệm đã được định nghĩa, các tính chất, các định lý (đã được chứng minh) Không được sử dụng các phỏng đoán

Các qui tắc suy luận.

Mặc dù các chứng minh thì vô cùng vô tận nhưng chúng ta lại chỉ có một số rất ít các qui tắc suy luận mà thôi

Ví dụ:

“Nếu hôm nay mưa, chúng ta sẽ không học thêm 1 tiết.

Nếu hôm nay chúng ta không học thêm một tiết thì ngày mai chúng ta phải học thêm một tiết.

Do đó nếu hôm nay trời mưa thì ngày mai chúng ta phải học thêm một tiết.”

Quy tắc suy luận nào làm cơ sở cho suy lý đó vậy? Nếu đặt :

p là mệnh đề: “Hôm nay mưa”

q là mệnh đề: “Chúng ta không học thêm một tiết”

Thì suy lý trên có dạng hình thức: [(p q) (q r)] (p r) (*)

Có thể chứng minh rằng (*) là một hằng đúng, ie: luôn lấy giá trị TRUE với mọi tổ

hợp giá trị của p và q Vì (*) là một hằng đúng nên suy lí trên chắc chắn là một suy luận chặt

chẻ và ta nói ta đã áp dụng một qui tắc suy luận (tam đoạn luận giả định) Qui tắc đó được

viết như sau:

p q

q r

p r





 

Khi dùng kí hiệu này, các giả thiết (hay các tiền đề) được viết trên gạch ngang và kết luận được viết dưới gạch ngang sau kí hiệu (đọc là vậy thì)

1 Đừng nhầm lẫn “chứng minh” với “kiểm chứng” Dù có kiểm chứng hàng trăm nghìn lần phát biểu “Mỗi bản đồ phẳng đều có thể được tô bằng không quá bốn màu sao cho không có hai quốc gia nào có cùng đường biên giới được tô cùng màu” là phù hợp thì đó vẫn không phải là một chứng minh, nghĩa là phát biểu đó vẫn chưa trở thành một định lý được

2 Lưu ý: “Chặt chẻ (valid)” chứ không phải “đúng (true)” Đôi khi ta cũng dùng từ “hợp thức” hoặc “có cơ sở” thay cho “chặt chẻ”

Có thể liệt kê các qui tắc suy luận như sau:

p

p q

 

p  (p q) Luật cộng

p q

p





(p q)  p Luật rút gọn

p

q

p q

 

((p) (q)) (p q) Luật hợp

p

p q

q





[p (p q)] q Modus ponens

q

p q

p







[q (p q)] p Modus tollens

p q

q r

p r





 

[(p q) (q r)] (p r) Tam đoạn luận giả định

p q

p q







[(p q) p] q Tam đoạn luận tuyển

Có thể thấy rằng một suy luận hợp thức, ie: áp dụng đúng các qui tắc suy luận, chưa chắc đã cho kết luận đúng

Ví dụ:

“Nếu 101 chia hết cho 3 thì 1012 chia hết cho 9 Vì 101 chia hết cho 3 nên 1012 chia hết cho 9”

Đây là một suy luận áp dụng modus ponens, hoàn toàn chặt chẻ Tuy nhiên kết luận của suy luận này sai vì thực tế 1012 = 10201 không chia hết cho 9 Vấn đề ở chổ người ta đã dùng mệnh đề “101 chia hết cho 3” là một mệnh đề sai

Khi có nhiều tiền đề, thường cần phải dùng phối hợp các qui tắc suy luận để chứng tỏ một suy diễn là đúng

Ví dụ:

“Nếu Ông Fuji Mori là công dân Nhật thì phía Nhật không phải trao trả ông Fuji Mori cho Pêru Còn nếu Fuji Mori không phải là công dân Nhật thì vì giữa Nhật và Pêru không có hiệp định về dẫn độ nên Nhật không phải trao trả Fuji Mori cho phía Pêru Cho nên trong mọi trường hợp phía Nhật thấy không cần trao trả Fuji Mori cho phía Pêru.” 3

Đặt:

p là mệnh đề: “Fuji Mori là công dân Nhật”

q là mệnh đề: “Nhật không phải trao trả ông Fuji Mori”

r là mệnh đề: “Nhật và Pêru không có hiệp định về dẫn độ”

t là mệnh đề: “Fuji Mori là công dân Peru”

(trong trường hợp này ta có một ẩn tàng p  t )

Ta thấy:

3 (r p)  q Giả thiết tương đương

5 (p  p)  (p  q)  [(r p)  q]

6 (p  (p  q)  [(r p)  q])  ((p)  (p  q)  [(r p)  q] )

7

8 TRUE

Qui tắc suy luân đối với mệnh đề lượng hóa:

Khi các suy luận liên quan đến các lượng từ tồn tại và phổ dụng ta có các qui tắc suy luận sau:

(Giả sử U là không gian khảo sát)

( ) ( )

x P x

P c if c U



Cá biệt hóa phổ dụng

( )

( )

P c doi voi mot c U ngau nhien

x P x





Tổng quát hóa phổ dụng

( ) ( )

x P c

P c doi voi phan tu nao do c U





Cá biệt hóa tồn tại

3 Trả lời của Bộ ngoại giao Nhật khi chính phủ Pêru đòi Nhật trao trả cựu tổng thống Pêru Fuji Mori để xét xử về tội chuyên quyền và tham nhũng

( )

( )

P c doi voi phan tu nao do c U

x P x





Tổng quát hóa tồn tại

Ví dụ:

1 Tất cả phụ nữ dều khôn ngoan vì vậy chị Sáu cũng khôn ngoan (Cá biệt hóa phổ dụng)

2 Lấy ngẫu nhiên một xA, ta chứng minh dược rằng x >0 Vậy   x A x , > 0 (Tổng quát hóa phổ dụng)

3 Có ít nhất một người trong lớp K1-CNTT là dân Mõ Cày Vậy có người nào đó trong lớp K1-CNTT là dân Mõ Cày (Cá biệt hóa tồn tại)

4 Vì Hưng là sinh viên lớp CNTT là dân Mõ Cày nên có ít nhất một người trong lớp K1-CNTT là dân Mõ Cày (Tổng quát hóa tồn tại)

Các phương pháp chứng minh định lý.

Phần lớn các định lý toán học đề có thể đưa về dạng p  q Vì vậy nếu p là đúng ta chỉ cần chứng tỏ phép kéo theo (p  q) là đúng chứ không cần chứng minh q đúng

Chứng minh trực tiếp: chứng minh mệnh đề (p  q) bằng cách chứng tỏ nếu p đúng thì q cũng phải đúng Điều này chứng tỏ tổ hợp (P đúng, Q sai) không khi nào xảy ra

Ví dụ: Chứng minh” Nếu n lẻ thì n2 cũng lẻ”

Giải: Giả sử n lẻ

n lẻ  n = 2k+1 với k là một số nguyên

 n2 = (2k+1)2 = 2.2(k2+k)+1

 n2 là một số lẻ

Chứng minh gián tiếp: Vì ta có (p  q)  (q  p) nên thay vì chứng minh (p

 q) ta chỉ cần chứng minh (q  p) (Đoi khi còn gọi là chứng minh phản chứng)

Ví dụ: Chứng minh rằng “Nếu 3n+2 lẻ thì n cũng lẻ”

Giải:

Giả sử n không lẻ, ie: n chẵn

n chẵn  n = 2 k với k là một số nguyên

 3n+2= 3(2k)+2 =2(3k+1)

 3n+2 chẫn

Điều này trái với giả thiết 3n+2 lẻ vậy giả sử n chẵn là sai, tức n phải lẻ

Quy nạp toán học:

Qui nạp toán học dựa trên tiên đề sau đây (gọi là tiên đề về tối thứ tự : well - ordering axiom):

“Mọi tập con khác rổng các số nguyên không âm đều có phầân tử nhỏ nhất”

Từ tiên đề này người ta có thể chứng minh định lý về sự qui nạp sau đây:

Dạng I:

Giả sử với mỗi số nguyên n  1 chúng ta có phát biểu A(n) thỏa mãn:

(1) A(1) đúng

(2) Với mỗi số nguyên n  1, nếu A(n) đúng thì A(n+1) đúng Thì phát biểu A(n) đúng với mọi n  1

Dạng II:

Giả sử với mỗi số nguyên n  0 chúng ta có phát biểu A(n) thỏa mãn:

(1) A(0) đúng

(2) Với mỗi số nguyên n  0, nếu A(k) đúng với mọi k thỏa 0k<n Thì phát biểu A(n) đúng với mọi n  0

Có thể chứng minh hai dạng này là tương đương Chúng ta bỏ qua chứng minh hai định lý này cũng như bỏ qua chứng minh chúng tương đương nhau

Để minh họa cho phương pháp chứng minh này theo dạng I ta có thể quan sát sơ đồ sau:

A(1) được kiểm chứng đúng

Áp dụng cửa sổ này cho n lần lượt từ n=1 trở đi

Ví dụ:

Chứng minh rằng:

1

n

  : A(n) : 1+2+3+ + n = ( 1)

2

n n 

Giải:

A(1) =1=1(1 1)

2



(đúng) Giả sử A(n) đúng với n  1 Thế thì:

1+ +n+(n+1) = ( 1)

2

n n 

+(n+1)

Cửa sổ này cho thấy nếu A(n) đúng thì A(n+1) cũng đúng

= ( 1) 2( 1)

2

n n   n 

= ( 1)( 2)

2

n  n 

=( 1)(( 1) 1)

2

n  n  

Vậy A(n) đúng với mọi n  1

Nguỵ biện.4

Nếu hiểu một cách chính xác thì động từ nguỵ biện để chỉ một hành vi ngôn ngữ dựa vào một cách thức suy lý mà chúng ta không thể chấp nhận được do dựa vào hoặc sự mơ hồ của chức ngôn ngữ để đánh tráo khái niệm hoặc cố tình (hay vô tình!) dựa vào các liên hệ không hợp các qui tắc suy luận Các nguỵ biện thường rất tinh vi vì chúng thường dấu mình dưới một dãy các liên hệ logich mà tính đúng đắn của toàn bộ dãy liên hệ hệ này rất khó kiểm chứng được Nhìn chung có thể phân biệt các loại nguỵ biện thành:

a) Nguỵ biện từ trong định nghĩa khái niệm

Định nghĩa dùng để xác định một cách duy nhất một đối tượng mà chúng ta cần nói tới, nhằm làm cho chúng ta thống nhất với nhau về từ ngữ dùng để chỉ đối tượng đó Tuy nhiên từ ngữ thường dễ sa vào sự mơ hồ làm cho chúng ta thống nhất với nhau về từ được dùng nhưng lại không thống nhất với nhau về phạm vi áp dụng (ngoại diên) của từ đó

Ví dụ5: Phát biểu “Tiểu thuyết là một công trình văn chương dài hơn truyện ngắn” Trong phát biểu này có ba điều cần nghi ngại:

Một là: “Thế nào là một công trình văn chương?” Phải chăng mọi văn bản đều là công trình văn chương?

Hai là: “Thế nào là dài hơn?” Đại lượng dùng để đo chiều dài này là gì?

Ba là: Có khả năng dẫn đến một định nghĩa vòng quanh “Truyện ngắn là một công trình văn chương ngắn hơn tiểu thuyết”

Ví dụ:

b) Nguỵ biện lưỡng nghĩa (đánh tráo khái niệm)

Ví dụ:

"Đây là một tác phẩm nghệ thuật

Mà cái này là của tôi.

Vậy thì đây là tác phẩm nghệ thuật của tôi"

Trong phép nguỵ biện này, từ "của" đã bị đánh tráo Từ "của" chỉ quan hệ sở hữu đã chuyển sang từ "của" chỉ quan hệ chủ thể sáng tạo

4 Mục này chỉ để giúp sinh viên tìm hiểu thêm, không nằm trong chương trình học Tuy nhiên đây là một vấn đề rất thú vị Suy nghĩ kỷ về vấn đề này giúp ta tránh được các "suy lý"gây ngộ nhận

5 Các ví dụ và các lý chứng trong phần này có trích từ: NGÔN TỪ VÀ SỰ NGUỴ BIỆN - Tiến

sĩ Nguyễn Đức Dân - Báo Kiến thức ngày nay - Số 25 (15-12-1989) Các ví dụ khác trích từ LUẬN LÝ TOÁN HỌC ĐẠI CƯƠNG Lê Thành Trị và DISCRETE MATHMATIC and ITS APPLICATIONS

-K H Rosen

Ví dụ:

"Cái gì anh không mất thì anh còn.

Anh không mất sừng.

Vậy thì anh còn sừng!"

Trong "suy luận" trên, người ta đã đánh tráo nghĩa của cụm từ "không mất" Trong tiền đề thứ nhất "không mất" được dùng với nghĩa "không mất cái gì anh đã có" Khi chuyển sang tiền đề thứ hai, cụm "không mất" đã bị đánh tráo thành "không mất cái mà anh không có"

Ví dụ:

Trên đời này đạt được cái gì tốt đều là có ích

Tên bất lương không muốn đạt được cái gì tồi

Như vậy tên bất lương muốn điều có ích

Trong ví dụ này cụm từ “cái gì tốt” đã được dùng hai lần trong tiền đề thứ nhất và thứ hai Trong lần thứ nhất là “cái gì tốt” là của một người lương thiện, còn trong lần thứ hai “cái gì tốt” là của một kẻ bất lương Đây là hai “cái gì tốt” khác nhau nên sự nối kết để cho ra kết luận là không thích hợp

c) Nguỵ biện liên hệ giữa tiền đề và kết luận :

Là ngụy biện xảy ra khi tiền đề không đủ chắc để dẫn đến kết luận

Ví dụ:

- Không ai đưa ra được một chứng cứ nào rằng hắn là vô tội vì vậy hắn chính là thủ phạm

- Vì ABCD không phải là hình vuông nên suy ra ABCD phải là một hình bình hành

- Nó đã năm lần thất bại nên lần này nhất định nó sẽ thất bại nữa cho xem!

Nếu một phát biểu của toán học như một định lí, một hệ quả v.v có thể xác định dễ dàng tính hợp lệ của nó nhờ vào việc kiểm tra dãy các suy luận và các phép tính, dựa vào các

qui tắc suy luận đã được áp dụng và các qui tắc làm tính, trên cơ sở chỉ được áp dụng phép suy diễn từ các khái niệm ban đầu, các tiên đề và các định nghĩa cũng như các phát biểu đã được chứng minh thì việc xác nhận tính đúng đắn của một chương trình máy tính trở nên phức tạp hơn nhiều Một cách tổng quát, cho một chương trình máy tính, mấy vấn nạn sau đây phải được đặt ra:

Tính dừng của chương trình (Terminating problem): Chương trình này có dừng hay không với một dữ liệu nhập cho trước?

Tính đáp ứng của chương trình (Respond problem): Với một dữ liệu nhập đã cho, nếu chương trình là dừng thì kết xuất của chương trình là gì?

Tính đúng của chương trình (Correctness problem): Với dữ liệu nhập đã cho thì kết xuất của chương trình có phù hợp hay không? Mối quan hệ giữa dữ liệu nhập và kết xuất có thích đáng hay không?

Tính tương đương của chương trình (Equivalence problem): Cho hai chương trình Liệu hai chương trình này có cho cùng một kết xuất ứng với cùng dữ liệu nhập hay không?

Tính đặc trưng của chương trình (Specialization problem): Cho một chương trình P được viết để nhận một tập I các dữ liệu nhập, nếu chúng ta giới hạn trên tập con khác rỗng I* của I chúng ta có thể nào đơn giản P thành P* chạy trên I* nhanh hơn P hay không?

Các qui tắc suy luận để kiểm chứng chương trình.

Một qui tắc rất có ích khi chứng minh tính đứng đắn của chương trình là: Chia chương trình đó thành một dãy các đoạn chương trình con rồi sau đó chứng tỏ các đoạn này là đúng đắn

Giả sử chương trình S được phân thành các đoạn chương trình con S1 và S2 Ta viết S=S1; S2 để chỉ rằng S được tạo ra bởi chạy S1 rồi tiếp theo sau đó là S2 Giả sử tính đứng đắn của S1 ứng với khẳng định đầu vào p và khẳng định đầu cuối q (tương tự tính đứng đắn của S2 ứng với khẳng định đầu vào q và khẳng định đầu cuối r) đã được thiết lập Có thể suy

ra rằng nếu p đúng và S1 được thực thi rồi kết thúc, thì q cũng đúng Và nếu q đúng và S2 được thực thi rồi kết thúc, thì r cũng đúng Quy tắc suy luận như vậy gọi là quy tắc hợp thành và có thể diễn đạt như sau:

{ 1}

{ 2}

{ 1; 2}

p S q

q S r

p S S r



Các câu lệnh điều khiển:

Như ta đã biết chỉ cần các cấu trúc tuần tự, lựa chọn và lặp là đủ để viết các chương trình theo hướng thủ tục6

o Suy luận đối với câu lệnh điều kiện (lựa chọn):

IF <điều kiện> THEN

S trong đó S là một khối các lệnh7 Khối S sẽ được thực thi nếu <điều kiện> là đúng và không được thực thi nếu điều kiện là sai Để kiểm chứng tính đứng đắn của đọan chương trình này ứng với khẳng định đầu vào p và khẳng định đàu ra q ta phải làm hai việc:

1 Chứng tỏ khi p đúng và điều kiện cũng đúng thì q cũng đúng sau khi S kết thúc

2 Chứng tỏ khi p đúng và điều kiện sai thì q cũng đúng mặc dù S không được thực thi Từ đây dẫn đến qui tắc suy luận:

p dieukien S q

p dieukien q

p if dieukien then S q

  

    

Ví dụ: Xác minh đoạn chương trình sau đây là đúng đắn:

IF x>y THEN

y:=x

là đúng đối với khẳng định đầu vào T và khẳng định đầu cuối y x

Giai: Khi khẳng định đầu vào T đúng và x>y thì mệnh đề gán y:=x được thực thi Vì khẳng định cuối khẳng định rằng y x nên nó là đúng trong trường hợp này Hơn nữa khi khẳng định đầu vào T đúng và điều kiên x>y sai, ie: x y, khẳng định đầu cuối một lần nữa lại đúng Vì thế theo qui tắc suy luận đối với đoạn chương trình kiểu này thì đoạn chương trình nói trên là đúng đối với các khẳng định đầu vào và đầu cuối đã cho

Tương tự, giả sử ta có đoạn chương trình dạng:

IF điều kiện THEN

S1

6 Procedural driven Ở đây chúng ta chưa xét đến các chương trình viết theo (hoặc sẽ được thực thi theo) hướng biến cố (Event driven)

7 Trong một số ngôn ngữ lập trình ta thường gọi S là một câu lệnh ghép Chẳng hạn trong Pascal câu lệnh ghép thường được bao giữa hai từ khóa BEGIN END Ví dụ:

Begin

Tam:=A;

A:=B;

B:=Tam;

End;

trong ví dụ này S là nhóm 3 lệnh Tam:=A; A:=B; B:=Tam;