Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và cắt E tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3... Tìm điểm M trên d sao cho tích MA.MB nhỏ nhất.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3x2 (1)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2
3 2 log ( 1)
x x m
có 4 nghiệm thực phân biệt
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
sin 3 cos3 cos 2 sin (1 tan )
2sin 2 1
x
2 Giải hệ phương trình:
2 2
2
( , )
7
x y y
x x
y
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:
2 4
2 4
sin 1
1 2cos
x x
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3,
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và SAB SCB 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC).
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
a b c b c a c a b
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – 4 = 0 và elip
9 4
x y
Viết
phương trình đường thẳng vuông góc với (d) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 3
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 2), B(3; 1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x – 6y + z + 18 = 0 Tìm tọa độ điểm M trên (P) sao cho tích MA MB .
nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z i z z 2i và
2 ( )2 4
z z
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), trực tâm H(14; –7), đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình: 9x – 5y – 7 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0), B(1; 2; 5) và đường thẳng (d) có phương
trình:
x y z
Tìm tọa độ điểm M trên (d) sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình: log32x3 2 3log3 2x2
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:………
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu 1: 1, Cho hàm số y x 3 3x2 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
TXĐ:
(1) ( 1)
' 3 3; ' 0 3 3 0 1; 0, 4
Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 ; 1;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y CT = 0 và hàm số đạt cực đại tại x = 1, y CĐ = 4
Giới hạn: xlim y ; limx y
Bảng biến thiên:
y’’= 6x; y’’= 0 x = 0, y(0) = 2 đồ thị có điểm uốn I(0; 2) là tâm đối xứng và đi qua các điểm (2; 0),
(2; 4)
Đồ thị:
2
3 2 log ( 1)
x x m
có 4 nghiệm thực phân biệt Phương trình
đã cho là phương trình hoành độ giao điểm giữa 4
2 2 ( ) :d ylog (m 1)
và
3 ( ') :C yx 3x2
, với (C’) được suy ra từ (C) như sau:
Từ đồ thị suy ra (d) cắt (C’) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
4
2
2
0 log ( m 1) 4
2
1 m 1 2
0
m m
m
Câu 2: 1 Giải phương trình:
sin 3 cos3 cos 2 sin (1 tan )
2sin 2 1
x
Đk
1 sin 2
(*) 2 cos 0
x
x
Với đk (*) phương trình đã cho tương đương:
3sin 4sin 4cos 3cos
2sin 2 1 (sin cos )(2sin 2 1) sin (sin cos ) cos sin
x
sin cos 0 (1)
sin cos sin 1 (2)
cos
x
x
4
x x k k
cos sin 0 tan 1
So với đk (*) suy ra các họ nghiệm của pt là: x 4 k ,x k2 ,k
1
x
y’
y
1
+
4
0
x
y
2
2 4
x
y
2 2
4
Trang 3Câu 2: 2 Giải hệ phương trình:
2 2
2
( , )
7
x y y
x x
y
Đk y 7 Khi đó hệ đã cho tương đương với:
Đặt: u x 2 x 3;v y2 7,v0 Khi đó hệ phương trình trở thành:
2 2
13 6
u v uv
Giải các hệ phương trình:
,
0; 11 , 1; 11 , 1 5; 4 , 1 5; 4
Câu 3: Tính tích phân
2 4
2 4
sin 1
1 2cos
x x
x
Xét:
0
0
1 2cos 1 2cos 1 2 cos
= I1 + I2
Đặt x t dxdt Đổi cận: x 4 t 4; x 0 t 0
Khi đó:
( )
1 2cos 1 2cos ( ) 1 2cos 1 2cos
Suy ra I 1 0
2
1
cos
x
1 tan
cos
x
Đổi cận: x 4 t 1; x 4 t 1
1
1
1 3
t
Lại đặt t 3 tanu dt 3(1 tan 2u du) Đổi cận: t 1 u 6;t 1 u 6
2
6 6
Vậy 1 2
3
= 9
I I I
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3, khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 3 và SAB SCB 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa SB với mặt phẳng (ABC).
Trang 4Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) Ta có:
+
( )
(gt)
SH ABC
HA AB
SA AB
Suy ra tứ giác HABC là một hình vuông
+ Có: AH / /BC(SBC) AH / / (SBC)
[ ,( )] [ ,( )] 2
d A SBC d H SBC a
BC HC
BC SHC BC HK
BC SH
(1) và (2) suy ra HK (SBC) Từ đó d H SBC[ ,( )]HK a 2
tanSCH HK SH SH HK HC a a a 6
Thể tích Khối chóp S.ABC được tính bởi:
3
a
V S SH AB BC SH a a a
+ Góc giữa SB với mp(ABC) là góc SBH 450 (do SHB vuông cân)
Câu 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3
P
a b c b c a c a b
b b c c a a P
Áp dung bất đằng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có:
3 3
3
Tương tự
3 3
3
3 3
3
Cộng vế theo vế các bất đẳng thứ trên ta được:
b b c c a a a b c
a b c P
Câu 6a: 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – 4 = 0 và elip
9 4
x y
Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (d) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng 3
vuông góc với đường thẳng (d) nên có phương trình x – 3y + m = 0
Phương trình hoành độ giao điểm của và (E):
4x2 + (x + m)2 = 36 5x2 + 2mx + m2 36 = 0 (1)
Đường thẳng cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
nghiệm x1, x2 phân biệt = 720 – 16m2 > 0 3 5m3 5 (2)
AB x x y y x x m
( , )
10
m
d O
1
( , ) 3 2
OAB
S AB d O
16 720 8100 0
2
m m m
(thỏa điều kiện (2)) Vậy phương trình đường thẳng :
3 10
2
x y
S
B
A
K
Trang 5Câu 6a:2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 5; 2), B(3; 1; 2) và đường thẳng (d) có
phương trình:
x y z
Tìm điểm M trên (d) sao cho tích MA MB .
nhỏ nhất
Ta có trung điểm của AB là I(2; 3; 0)
2 2 2
MA MB MI IA MI IB MI IA MI IA MI IA MI
Suy ra MA MB.
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I trên (d).
( 3 4 ; 2 ; 3 2 ) ( 5 4 ; 5 ; 3 2 )
M d M t t t IM t t t
(d) có vectơ chỉ phương u (4; 1; 2) IM u IM u. 0 4( 5 4 ) 5 t t 2( 3 2 ) 0 t t 1
(1; 3; 1), 38
Vậy MA MB min 29
đạt được khi M(1; 3; 1)
Câu 7a: Tìm số phức z thỏa mãn 2 z i z z 2i và
2 ( )2 4
z z Giả sử z x yi x y ( , ) Từ giả thiết ta có:
( 1) ( 1)
x y i y i
x yi x yi
2 ( 1)2 ( 1)2 1
xy
2 2
3
0
4 0
4
x y
x y
3
3
4
2
2
x
y
3
4 2
z i
Câu 6b: 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), trực tâm H(14; –7), đường
trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình: 9x – 5y – 7 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C.
Gọi M là trung điểm AC Khi đó phương trình tham số của
2 5
5 9
B, M BM B 2 5 ; 5 9 ,b b M 2 5 ; 5 9m m
M là trung điểm BC C10m 6;18m11
Ta có:AH (12; 8), BC(10m 5b 4;18m 9b 6),BH (16 5 ; 2 9 ), b b
(10 8;18 12)
AC m m
AH BC. 0 12(10m 5b 4) 8(18 m 9b 6) 0
2
b m
0 (16 5 )(10 8) ( 2 9 )(18 12) 0
BH AC b m b m
(2) Thế (1) vào (2), ta được :
2 53
m m m m
Với
1
, 1
2
m b
ta được B(3;4), C(-1;-2) Với
26 52 ,
53 53
m b
ta được
154 203 58 115
B C
Câu 6b: 2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 0), B(1; 2; 5) và đường thẳng (d) có
phương trình:
x y z
Tìm điểm M trên (d) sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất
M (d) nên M(1 + 2t; 3 + 2t; t) MA (2 2 ) t 2(1 2 ) t 2t2 9t212t 5 (3t2)21
MB 4t2(1 2 ) t 2 ( t 5)2 9t2 6t26 (3 1)t 225
Trong mpOxy xét các vectơ u(3t2; 1), v ( 3 1; 5)t
Có: |u v | 3 5 ; | | u (3t2)21; | |v ( 3 1) t 225
Trang 6Ta luôn có bất đẳng thức đúng: |u v | | | | |u v 3 5 (3t2)2 1 ( 3 1) t 225
hay
3 5
MA MB Đẳng thức chỉ xảy ra khi uvà v cùng hướng
t
t t
Vậy (MA MB )min 3 5 đạt được khi
1 0; 2;
2
M
Câu 7b: Giải phương trình: log32x3 2 3log3 2x2
Với điều kiện x > 0, ta đặt ulog2 x và v3 2 3 u v3 2 3 u
Ta có hệ:
3
3
2 3
2 3
u v v u u v u uv v
Do
2
u uv v u v v u v
3
3
1
2 3
(*)
2
u v
1
1 log 1
2
u x x
Với u 2 log2 x 2 x4