Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy bằng a , khoảng cách từ tâm O a của tam giác ABC ñến mặt phẳng A’BC bằng.. Tìm thể tích của khối lăng trụ ñều ñó.[r]
Trang 1
SỞ GD VÀ ðT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ðÀO DUY TỪ ðỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ðẠI HỌC (LẦN 1)
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI :TOÁN,Khối D
Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao ñề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu 1.(2,0 ñiểm) Cho hàm số:
3
1 ) 2 ( ) 1 2 ( 3
4 3− + 2 + + +
y có ñồ thị (C m),m là tham số
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho khi m=2
b Gọi A là giao ñiểm của (C m) với trục tung.Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C m) tại A tạo
với hai trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng
3
1
Câu 2.(1,0 ñiểm) Giải phương trình: 3(sin2x+sinx)=2cos2x−cosx+2
Câu 3 (1 ñiểm) Giải hệ phương trình:
= + + + +
= + + +
2 3 2 1 3 1
1 3 2
1 3
y x y
x
y x y x
Câu 4.(1,0 ñiểm) Tìm giới hạn sau:
2 2
0
2013 cos 2012
1 lim
x
x x
L
x
− +
=
Câu 5.(1,0 ñiểm) Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy bằng a, khoảng cách từ tâm O
của tam giác ABC ñến mặt phẳng (A’BC) bằng
6
a
Tìm thể tích của khối lăng trụ ñều ñó
Câu 6.(1,0 ñiểm) Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn:x + y = 1
Chứng minh rằng:3 1+2x2 +2 40+9y2 ≥5 11
II.PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần(phần A hoặc B)
A.Theo chương trình chuẩn
Câu 7a.(1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy ,cho ñiểm M(1;1) và hai ñường thẳng
0 5
3
:
1 x − y− =
d ,d2:x + y−4=0.Viết phương trình tổng quát của ñường thẳng d ñi qua M ñồng thời
cắt d1, d2 lần lượt tại hai ñiểm A,B sao cho 2MA=3MB
Câu 8a.(1.0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz,cho 3 ñiểm A(1;2;3),B(2;0;1),C(3;2;1)
Hãy tìm tọa ñộ ñiểm M trên mặt phẳng (Oxy), sao cho MA+2MB+3MC ñạt giá trị nhỏ nhất
Câu 9a.(1,0 ñiểm) Khai triển và rút gọn biểu thức P(x)=1−x+2(1−x)2 + +n(1−x)n,ta thu
ñược ña thức P ( x ) = a + a x + a x2 + anxn
2 1
0 Tính hệ số a8 ,biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: 2. 3 ( 3 7 2)
n n
n
B.Theo chương trình nâng cao
Câu 7b.(1,0 ñiểm).1 Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy,cho tam giác ABC có A(4;6),phương
trình các ñường thẳng chứa ñường cao và trung tuyến kẻ từ ñỉnh C lần lượt là :2 x − y + 13 = 0
và 6x−13y+29=0.Lập phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 8b.(1,0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1;4;3),B(4;2;5)
Tìm tọa ñộ ñiểm M trên mặt phẳng (Oxy ) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất
Câu 9b.(1,0 ñiểm) Giải phương trình: 4x + 5 2x+ 2 + 4 + 2x = 2x+ 1 + 4
……… Hết………
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích thêm
Họ và tên thí sinh……….Số báo danh………
Ghi chú: Kì thi khảo sát chất lượng theo khối thi ñại học lần II sẽ ñược tổ chức vào 2 ngày 30 và 31-3-2013
Trang 2
TRƯỜNG THPT đÀO DUY TỪ đÁP ÁN TÓM TẮT đỀ THI KHỐI D
đáp án gồm có 02 trang
1a Thắ sinh tự khảo sát và vẽ ựồ thị hàm sốẦẦẦ 1.0
1b
Ta có A(0;
3
1 ),suy ra tiếp tuyến của ựồ thị tại A là d:
3
1 ) 2
đường thẳng d cắt Ox tại B(-1/3m+6;0).Khi ựó diện tắch tam giác tạo bởi d và hai trục tọa ựộ là:
2 18
1
2
1
+
=
=
m OB
OA
S ,theo giả thiết suy ra
16
11 ,
16
=
−
0.5
0.5
2 .Phương trình ựã cho tương ựương với 3 sin 2 x − cos 2 x + 3 sin x + cos x = 3
2
5 ) 6 sin(
) 6 ( sin 2 2
3 ) 6 sin(
) 3 2
−
x x
x
+ +
− +
−
=
⇔ +
−
= +
−
−
= +
⇔
π π
π
π
2 4
21 1 arcsin 6
) ( 4
21 1 ) 6 sin(
) ( 4
21 1 ) 6 sin(
k x
tm x
l x
và: π 2 π
4
21 1
arcsin 6
7
k
0.5
0.5
3
đặt u=x+3y+1,v= 2 +x 3y,hệ ựã cho trở thành:
= +
= +
−
⇔
= +
= +
2 1
0 )
1 1 )(
( 2 1
2 1
v u
uv v
u
v u
v u
Suy ra u=1,v=1 nên nghiệm của hệ là:(x;y)=(1;
3
1
0.5
0.5
4
Ta có :
2
2013 1006
2013 cos 1 lim 1 2012 1
lim
2
2 0
2 2
0
+
=
− +
− +
=
→
x x
x L
x x
5
Gọi M là trung ựiểm BC ,H là hình chiếu của O lên AỖM ,có
OH BC M
AA BC BC AA BC
AM ⊥ , '⊥ ⇒ ⊥( ' )⇒ ⊥ do ựó
6 ))
' ( , ( ) ' (A BC d O A BC OH a
đặt AAỖ=x,ta có ∆ MOH ựồng dạng với ∆ MA' A nên
2 2
4 3
6 / 3 6
' '
a x
a x
a MA
MO AA
OH
+
=
⇒
0.5
Trang 3Suy ra ( )
16
2 3 '
4
' '
V a
0.5
6 Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số ta
11
11 3 2 1 3 ) 3
2 1 ( ) 9
2 1 )(
2 1
x x
x
3
1
=
11
11 9
40 2 ) 6 40 ( ) 4 40 )(
9 40
y y
y
+
ðẳng thức xảy ra khi
3
2
=
y Từ ñó ta có : (49 6 6 ) 5 11
11
ñẳng thức xảy ra khi
3
2 , 3
1 =
= y
7a Vì A ∈ d1 ⇒ A ( a ; 3 a − 5 ), B ∈ d2 ⇒ B ( b ; 4 − b ),vì A,B,M thẳng hàng và 2MA=3MB suy
ra
−
=
=
MB MA
MB MA
3 2
3
2 Giải hai trường hợp trên cho ta A(5/2;5/2),B(2;2),suy ra d:x-y=0
và A(1;-2),B(1;3),suy ra d:x-1=0
1ñ
8a
3
4
; 3
4
; 3
7 ( 0 0 3
khi ñó ta có :
min
3 2
6 3
ñiều này xảy ra khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng (Oxy),suy ra M(7/3;4/3;0)
0.5 0.5
9a Từ giả thiết suy ra n=9 Suy ra hệ số của x8 chỉ có trong biểu thức 8(1-x)8+9(1-x)9 ñó
là:8 C88 + C 9 98 = 89
1ñ
7b Gọi ñường cao CH:2x-y+13=0,trung tuyến:6x-13y+29=0,suy ra C(-7;-1),phương trình AB là :
x+2y-16=0,suy ra ñiểm M(6;5),suy ra B(8;4)Gọi tâm I(x;y) là tâm ñường tròn ngoại tiếp ,từ ñk IA=IB=IC, suy ra I(2;-3),R= 85,suy ra ptñt:(x-2)2+(y+3)2=85
0.5 0.5
8b Ta có A,B cố ñịnh nên bài toán trở về tim M trên (Oxy) ñể MA+MB nhỏ nhất Vì A,B cùng phía với mp(Oxy) ,gọi A’(1;4;-3) ñối xứng với A qua (Oxy),khi ñóMA+MB=MA’+MB≥A’B,
dấu bằng xảy ra khi M,A’,B thẳng hàng Gọi M(x;y;0).Từ ñk thẳng hàng suy ra M(17/8;13/4;0)
0.5
0.5
9b ðặt 2x = t,phương trình ñã cho trở thành: t2 + 20 t + 4 + t = 2 t + 4.Do t=0 không là
nghiệm ,chia cả hai vế cho t ta ñược : 4 20 1 2( 2 )
t
t t
t+ + + = +
ðặt
t t y
t t
=
=
⇒
=
=
⇒
=
⇒
−
= +
2
0 4
1 3
1 2 16
2
x
x t
t y
y y
0.5
0.5 ……….Hết………