Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SC=a√ và khoảng cách từ D tới mặt phẳng SHC bằng 2a√ ở đây H là trung điểm[r]
Trang 1http://facebook.com/onthidh 1
Hội Những Người Ôn Thi Đại Học
http://facebook.com/onthidh
Đề thi thử số 3
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn thi : TOÁN - khối A
Thời gian: 180 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= có đồ thì (C) trong đó m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=1
2 Cho đường thẳng (d): y=x+4 và điểm K(1;3) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt A(0;4),B,C sao cho KBC có diện tích bằng √
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx
2 Giải hệ phương trình: {
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: ∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy
nhỏ Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SC=a√ và khoảng cách từ D tới mặt phẳng (SHC) bằng 2a√ (ở đây H là trung điểm AB) Hãy tính thể tích khối chóp theo a
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực a,b,c không âm và a+b+c=4
Tìm min, max của P=√ √ √
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn:
(C): x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0, (C'): x² + y² + 4x - 5 = 0 Cùng đi wa M(1;0) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt 2 đường tròn (C),(C') tại A,B sao cho MA = 2MB
2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (1) có PT x2 ;t yt z; 4; (2) là giao tuyến của 2mp ( ) : x y 3 0 và ( ) : 4 x4y 3z 12 0 Chứng tỏ 1, 2 chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 1, 2 làm đường kính
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: |z-3i|=|1-3i | và z- là số thuần ảo
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp
2 2
E và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
(d1): (d2): Tìm tọa độ giao điểm d1 và d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d2 tạo với d1 một góc lớn nhất
Câu VII.b (1 điểm) Cho hàm số
y
x m
Chứng minh với mọi m thì hàm số
có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị là 1 hằng số không phụ thuộc m
-HẾT -
Cảm ơn từ http://facebook.com/onthidh gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2Câu Nội dung Điểm
2 Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C) là:
x³+2mx²+(m+3)x+4=x+4
x(x²+2mx+m+2)=0
x=0 (y=4) hoặc x²+2mx+m+2=0(1)
0.25
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(4;0),B,C thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
xB, xC là các nghiệm của phương trình: x2 2mx m 2 0
D(K,d)=√ => BC=16
BC2 =(xB-xC) 2+(yb-yC)2=256
0.25
2(xB-xC) 2=256 4m 2-4(m+2)=128 m 1 137
2
2sinxcosx+2cos2
Nhân 4 phương trình 2 rồi công vế theo vế ta thu được
Xét hàm f(u)= u5+2u3
f’(u)= 5y4
+6y2>=0 =>f(u) đồng biến trên R
=>x+2=y
0.25
I= ∫ = ∫
I1 ∫ ; I2= ∫
I=I1+I2
0.25
; I2= ∫ = ∫ = e2ln((1+ee)/(1+e)) 0.25
0.25
I
S
H
G
K
Trang 3http://facebook.com/onthidh 3
0.25
0.25
0.25
Chứng minh bđt phụ:
A2= √ √ √ √ √ √ )2
≤ (2+3+4)( a+b+c+ 1/2 + 1/3+ 1/4)=183/4
=>A≤√
0.25
A>= √ √ √
Áp dụng cho bdt trên thì
√ √ √ ≥ √ √
≥ √ =5
Dấu = khi b=c=0; a=4
0.25
Tâm và bán kính của các đường tròn: (C1): I1(1;1), R1 = 1
- Trường hợp 1: Hai điểm A, B nằm cùng phía với điểm M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ A là ảnh của B qua phép vị tự tâm M, tỉ số 2
Gọi (C2') là ảnh đường tròn (C2) qua phép vị tự tâm M, tỉ số 2
Điểm B thuộc (C2) ⇒ Điểm A thuộc (C2')
(C2') có tâm I2' và bán kính R2' = 2.R2 = 6
Với ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ta tìm được I2'(-5;0)
(C2'): (x + 5)² + y² = 36 ⇔ x² + y² + 10x - 11 = 0
A thuộc (C1) và thuộc (C2') nên nó là giao điểm khác M của (C1) và (C2')
⇒ Đường thẳng cần tìm chính là trục đẳng phương của (C1) và (C2')
(x² + y² - 2x - 2y +1) - (x² + y² + 10x - 11) = 0
⇔ 6x + y + 6 = 0
0.25
- Trường hợp 2: Hai điểm A và B nằm về hai phía với điểm M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ A là ảnh của B qua phép vị tự tâm M, tỉ số -2
Gọi (C2'') là ảnh đường tròn (C2) qua phép vị tự tâm M, tỉ số -2
Điểm B thuộc (C2) ⇒ Điểm A thuộc (C2'')
(C2'') có tâm I2'' và bán kính R2'' = 2.R2 = 6
Với ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ta tìm được I2''(4;0)
(C2''): (x - 4)² + y² = 36 ⇔ x² + y² - 8x - 20 = 0
A thuộc (C1) và thuộc (C2'') nên nó là giao điểm khác M của (C1) và (C2'')
⇒ Đường thẳng cần tìm chính là trục đẳng phương của (C1) và (C2'')
(x² + y² - 2x - 2y +1) - (x² + y² - 8x - 20) = 0
0.25
Trang 4Có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán: 6x + y + 6 = 0; 6x - 2y + 21 = 0 0.25
* Cách khác: Thấy R+R' > I1I2 nên có 2 giao điểm với M là 1 trong 2 điểm
(d): a(x-1)+b.y=0
Gọi H, K là trung điểm MA và MB Có MA=2MB => AH=2AK =>R2
- I1H2=4(R'2 - I2K2)
=> giải pt tìm a theo b rồi => (d)
Ta có: 1 đi qua M1 = (0;0;4), có vectơ chỉ phương u1(2;1;0)
Ta tìm được 2 đi qua M2 = (3;0;0), có vectơ chỉ phương u2 (1; 1;0)
1, 2 1 2 12 0
1,2 chéo nhau
0.25
Gọi chân đg vuông góc chung của 1,2 là: A2 ; ; 4t t 1, A2 ; ; 4t t 1
Do AB u 10,AB u 2 0 t 1,s 1
(2;1; 4), (2;1;0)
Mặt cầu cần tìm là mặt cầu đường kính AB có tâm I(2;1;2), bán kính 1 2
2
(x2) (y1) (z 2) 4
0.25
VII.
a
1.0
Đặt z=a+bi (a,b € R)
|a+i(b-3)|=|1-3b-3i.a |
a2
+(b-3)2=(1-3b)2+9a2
a2
+ b2=1 (1)
0.25
z- =
= =
z- là số thuần ảo => (a2
+b2)a-9a=0 => a=0 v a2+b2=9
0.25
Với a2
+b2=9 và (1) => không có a,b thỏa
Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0
Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có
2 2
1
x y và diện tích tam giác ABC là 0.25
ABC
2 2
Dấu bằng xảy ra khi
2 2
2 1
3
2 2
x
y
Vậy (3 2; 2)
2
Trang 5http://facebook.com/onthidh 5
Gọi A là giao điểm của d1 và d2 => Tọa độ điểm A là nghiệm của d1 và d2
Gọi B là 1 điểm bất kì thuộc d1; H là hình chiếu của B lên d2, K là hình chiếu của B lên (P)
Ta sẽ cmđ: BK ≤ BH => BK/BA ≤ BH/BA =>sin(BAK) ≤ sin(BHA) Từ đây ta suy ra để có
góc giữa d1 và (P) đạt max thì H phải trùng với K
0.25
H≡K => (P)⊥BH
….Chọn B bất kì thuộc d2 sau đó tìm được H
=> Vtpt của (P) ⃗ (9;-3;-1)
=> (P): 9x-3y-z-5=0
0.25
VII.
b
1.0
ĐK: x m, ta có:
2
'
y x m x m
0.25
Ta có bảng biến thiên:
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 2 2 1
2
0.25
4 2
AB
không đổi ĐPCM
0.25