Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC và tính diện tích tam giác ABC.. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH
TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN
Đề thi có 01 trang
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN III
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN – LỚP 10 - KHỐI A, A1, B
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1(2.5 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số : y=x2
+2 x +1 .
Câu 2(2.5 điểm)
√x − 1 +√x −1<
2 x +1
√x −1
Câu 3(1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(2; 1) và đường thẳng (D) có phương trình x + y - 2 = 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với (D) và tìm tọa độ giao điểm M của ∆ với (D).
Câu 4(1 điểm)
Cho
1
x y z
7
27
II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 3 đường thẳng (D1):3x + 4y -6 =0,
(D2): 4x + 3y – 1 = 0, (D3): y = 0 Gọi A = (D1) (D2), B = (D2) (D3), C = (D3)(D1)
a) Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC và tính diện tích tam giác ABC
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu 6a (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
¿
x4+4 x2y + y2=6 x2
x2
+x+ y=3 xy
¿{
¿
B Theo chương trình Nâng cao:
Câu 5b (2 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình 3x – y = 0, đường thẳng BD có phương trình x-2y=0, góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450 biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương
b) Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu 6b (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
¿
x −1
x=y −
1
y
2 y =x3+1
¿{
¿
HẾT
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh : Số báo danh :
Trang 2SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH
TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN
(Đáp án – thang điểm có 5 trang)
ĐÁP ÁN
ĐỀ THI KSCL LẦN III, NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN - KHỐI A, A1, B – LỚP 10
Câu 1
2.5 đ
a)
1.5 đ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số : y=x2+2 x +1 .
Bảng biến thiên:
X - -1 +
Y + +
0
Hàm số nghịch biến trên (-; -1), đồng biến trên (-1; )
Đồ thị
f(x)=x*x+2*x+1
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
0.5
0.25
0.25
0.5
b) 1 đ
Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn không âm: f(x) = m.x 2 – 4x + m
m = 0: loại
m ≠ 0, ĐK:
¿
Δ' ≤ 0 a>0
¿{
¿
m ≥ 2
0.5 0.5
Câu 2
Trang 32.5 đ
a)
1.5 đ
Giải bất phương trình: √x2− x −2
√x − 1 +√x −1<
2 x +1
√x −1
-Đkxđ :
x2− x −2 ≥ 0
x −1>0
⇔
x ≤ −1
¿
x ≥ 2
¿
¿
¿x>1
¿
⇔ x ≥ 2
¿
¿ ¿
- Với x ≥ 2, BPT ⇔√x2− x − 2+ x −1<2 x+1 ⇔√x2− x −2< x +2
⇔ x2− x − 2<x2
+4 x+4 ⇔5 x >− 6 ⇔ x> − 6
5
- ĐS: x ≥ 2
0.5
0.5 0.25 0.25
b)
1.5 đ Giải phương trình : √2 x −1+x
2
−3 x +1=0
- Đkxđ : x ≥1
2
- PT ⇔(2 x −1)−√2 x − 1− x2+x=0
- Ta có: 2 x −1¿
2≥ 0 ∀ x≥1
2
Δ t=1+4 x2− 4 x=¿
- t=1− x ∨t=x
- t=x ⇒ x=1
t=1− x ⇒ x=2−√2
Cách 2:
√2 x − 1−1
2
⇔
¿
¿
¿
¿
¿
x −1
2¿
2
¿
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 4Cách 3:
x ≥1
2
−1+3 x − x2≥ 0
2 x −1=9 x2+1+x4−6 x − 6 x3+2 x2
¿
¿
x ≥1
2
−1+3 x − x2≥ 0
x −1¿2(x2− 4 x +2)=0
¿
¿
¿
¿
Cách 4: Đặt t=√2 x −1 ⇒ x= t +1
2 thế x theo t vào pt đã cho…
Câu 3
1 đ
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1) và đường thẳng (D) có phương trình x + y - 2 = 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua
A vuông góc với (D) và tìm tọa độ giao điểm M của ∆ với (D).
- Vectơ pháp tuyến của (D) là ⃗n=(1 ;1)
Vì vuông góc với (D) nên có vectơ chỉ phương u n⃗⃗ và (D) đi qua A(2; 1) ,
Suy ra phương trình tham số của là :
¿
x=2+t y=1+t
¿{
¿
- Tọa đô điểm M là nghiệm của HPT:
¿
x=2+t y=1+t x+ y − 2=0
¿{ {
¿
2 1 2 3
y x
Vậy M (3
2;
1
2)
0.5 0.25
0.25
Câu 4
1 đ
Cho
1
x y z
7
27
.
- Từ giả thiết có x,y,z thuộc [0;1], suy ra xy+yz+zx-2xyz=xy+yz(1-x)+zx(1-y)≥0
- Cũng từ giả thiết và BĐT Cosi ta suy ra
2 1 2
Ta cần chứng minh
7 2
27
xy yz zx xyz
27
Nếu
1 2
x
thì f(yz)=
1 0 108
(hiển nhiên đúng)
Nếu
1 2
x
thì f(yz) là hàm số bậc nhất Để chứng minh f(yz)≤0 ta chỉ cần chứng
0.5
0.5
Trang 5minh f(0) 0 và
1 2
0 4
x
f
Thật vậy,
2
2
2
x
Câu
5a
2 đ
(D 2 ): 4x + 3y – 1 = 0, (D 3 ): y = 0 Gọi A = (D 1 ) (D 2 ), B = (D 2 ) (D 3 ), C =
(D 3 )(D 1 ).
a Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC và tính diện
tích tam giác ABC.
b Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
a 1 đ
- Tọa độ các đỉnh A(-2; 3), B( 1
4;0¿ , C(2; 0).
- Phương trình đường phân giác trong góc A là: x+y-1=0
- d(A;BC)=3; BC ¿7
21 8
0.5 0.25 0.25
b 1 đ
- PT đường phân giác trong góc B là : 4x-2y-1=0
- Tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC là nghiệm hệ:
¿
x + y −1=0
4 x −2 y − 1=0
⇔{x= y=1
2
¿{
¿
- Bán kính đường tròn nội tiếp là r=d (I ; D3)=1
2
- PT ĐT : (x −1
2)2+(y −1
2)2=1 4
0.25 0.25 0.25 0.25
6a
1 đ
Giải hệ phương trình:
¿
x4+4 x2y + y2=6 x2
x2+x+ y=3 xy
¿{
¿
Hpt⇔
(x4+2 x2y + y2)+2 x2y=6 x2
(x2 +y)−3 xy=− x
¿{
- x=0 ⇒(0 ;0)là nghiệm
0 25
0.25
Trang 6-
x ≠ 0 ⇒hpt :
(x2+y
x2+y
x − 3 y=−1
¿{
- Đặt
t= x
2
+y
x ⇒ hpttt :
t2+2 y =6
t − 3 y=−1
⇔ y=1 và t=2
¿
¿
y=− 5/9 và t=−8 /3
¿
¿{
¿
¿ ¿
- t=2 và y=1 , suy ra x=1
- t= − 8
5
9⇒ x=12±√189
9
ĐS:(1;1); (12±√189
5
9)
0.25 0.25
Câu5b
2 đ
Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng
AD có phương trình 3x – y = 0, đường thẳng BD có phương trình x-2y=0, góc tạo
bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 45 0 biết diện tích hình thang bằng 24 và
điểm B có hoành độ dương.
a Chứng minh rằng tam giác ABD là tam giác vuông cân.
b Viết phương trình đường thẳng BC.
a 1 đ
Vecto pháp tuyến của đường thẳng AD và BD lần lượt là n 13; 1 , n21; 2
cosADB= 1
√2 => ADB=45 0
Do tam giác ADB vuông tại A => Tam giác ADB vuông cân=>AD=AB (1)
0.5
0.5
b 1 đ
Tọa độ điểm D là:
=> D(0;0)O
-Vì góc giữa đường thẳng BC và AB bằng 450 => BCD=450 => BCD vuông cân tại
B=>DC=2AB Theo bài ra ta có:
2
24
ABCD
AB
S AB CD AD
=>AB=4=>BD=4 2
-Gọi tọa độ điểm
; 2
B B
x
B x
, điều kiện xB>0
0.25
0.25
0.25
Trang 7=>
2 2
8 10
5
4 2
( ) 5
B B
B
B
x
BD x
⃗
Tọa độ điểm
8 10 4 10
;
B
Vectơ pháp tuyến của BC là n ⃗BC 2;1
=> phương trình đường thẳng BC là: 2x y 4 10 0
0.25
6b
1 đ
Giải hệ phương trình:
¿
x −1
x=y −
1
y
2 y =x3+1
¿{
¿
-Điều kiện: xy 0 : Ta có 1 x y 1 1 0 x y
xy
x y
x y 1
x y
2
x y
2
-Trường hợp 2:
3
4 3
x 2
x
Ta chứng minh phương trình 4 vô nghiệm
Cách 1
x +1
2¿
2
2>0,∀ x
x2−1
2¿
2
+¿
x4+x+2=(x4− x2+1
4)+(x
2
+x +1
4)+
3
Cách 2 Chứng mính vế trái luốn dương theo x….
………
Trường hợp này hệ vô nghiệm.Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
0.25
0.5
0.25