Các khái niệm cơ bản 4
Tập lồi
Các tập hợp quen thuộc như không gian con và siêu phẳng đều là tập lồi, đóng vai trò quan trọng trong giải tích lồi Bài viết này sẽ trình bày định nghĩa và các tính chất của tập lồi, bao gồm tập a-phin, tập lồi đa diện và nón lồi.
1.1.1 Tổ hợp lồi Định nghĩa 1.1
Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong R n là tập hợp tất cả các điểm (véc tơ) xR n có dạng
Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong R n là tập hợp tất cả các điểm (véc tơ) xR n có dạng
Một tập CR n được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi
Ta nói véc tơ xR n gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ x 1 , , , x 2 x m R n nếu
Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1)
Một tập con của R n là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi:
Chứng minh Điều kiện đủ: Suy ra từ định nghĩa tập lồi ứng với k 2 Điều kiện cần: Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm
Với k 2, điều kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi
Giả sử mệnh đề đúng với k 1 điểm, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với k điểm Thật vậy, nếu x là tổ hợp lồi của k điểm x 1 , , x k C Tức là
và j 0 với mọi j 1, 2, , k 1 nên theo giả thiết quy nạp, điểm
nên x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và x k đều thuộc C
Từ định nghĩa của tập lồi ta suy ra lớp các tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tích Decastes
Mệnh đề 1.2 (xem [2], mệnh đề 1.2)
Nếu A B, là các tập lồi trong R n , C là lồi trong R m , thì các tập sau là lồi:
1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện
Trong giải tích cổ điển, chúng ta đã tìm hiểu về các không gian con và các siêu phẳng, đây là những trường hợp đặc biệt của tập a-phin (đa tạp a-phin) Tập a-phin được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.3.
Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là
Nhận xét 1.1 a) Mọi tập affin (bao gồm cả tập và R n ) đều là tập lồi b) Mọi siêu phẳng trong R n đều là tập a-phin
Mệnh đề dưới đây cho ta thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con
Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3)
Tập M là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng M L a với L là một không gian con và a M Không gian con này được xác định duy nhất
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin và a M
Khi đó L M a chứa 0 và là tập a-phin Do đó, L là một không gian con
Vậy M L a Điều kiện đủ: Nếu M L a với a M , L là một không gian con thì
Do x a y , a L và L là một không gian con nên
Không gian con L là duy nhất Thật vậy, nếu M L a và M L ' a ', trong đó L L, ' là những không gian con và a a, 'M thì
Không gian con L trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với tập a-phin M Định nghĩa 1.4
Thứ nguyên của một tập a-phin M được xác định bởi thứ nguyên của không gian con song song với M, ký hiệu là dim M Điểm a thuộc R^n là một tập a-phin có số chiều bằng 0, vì không gian con song song với M chỉ chứa điểm a, tức là L = {0}.
Mệnh đề 1.4 (xem [2], mệnh đề 1.4)
Bất kỳ một tập a-phin M R n có số chiều r đều có dạng
Trong đó: A là ma trận cấp m n b , R m , và rankA n r
Ngược lại, mọi tập hợp có dạng (1.1) với rankA n r đều là tập a-phin có số chiều là r
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin có số chiều là r và M L a với a M Vậy L M a là không gian con có số chiều là r
Theo đại số tuyến tính không gian con r - chiều này có dạng L x Ax | 0
Trong đó, A là ma trận cấp m n và rankA n r
M x A x a x Ax Aa x Ax b Điều kiện đủ: Nếu M được cho bởi (1.1) với a M , ta có Aa b , do đó
Do rankA n r nên L là không gian con có số chiều r
Siêu phẳng trong không gian R n là tập hợp các điểm có dạng
Véc tơ a ở trên được gọi là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng
Nửa không gian đóng là tập hợp có dạng
Nửa không gian mở là tập hợp có dạng
Một siêu phẳng phân chia không gian thành hai nửa, mỗi nửa nằm ở một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa không gian này đều đóng, phần giao nhau của chúng chính là siêu phẳng.
Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng Định nghĩa 1.7
Cho x 0 C, ta nói siêu phẳng a x , là siêu phẳng tựa tại x 0 nếu
Ta nói H x | a x , x 0 0 là nửa không gian tựa của C tại x 0 Định nghĩa 1.8
Giao của tất cả các tập lồi chứa tập SR n cho trước được gọi là bao lồi của S , ký hiệu coS , đó là tập lồi nhỏ nhất chứa S
Tập CR n , giao của tất cả các tập a-phin chứa C là tập a-phin nhỏ nhất chứa C , gọi là bao a-phin của C Ký hiệu affC
Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 3.2)
Cho C là một tập bất kỳ Khi đó:
(i) Bao lồi của C là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C
(ii) Bao a-phin của tập C là tập hợp bao gồm tất cả các điểm có dạng
(i) Gọi M là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C
Vì C coC và coC lồi nên M coC Vì thế để chỉ ra M coC, ta chỉ cần chứng tỏ
Thật vậy, lấy x y, M Theo định nghĩa của M , các điểm này có dạng
nên z là một tổ hợp lồi của các điểm thuộc C Vậy z M Suy ra M lồi, và do đó co
(ii) Cho M là tập hợp các điểm có dạng (1.2)
Giả sử x y, M , theo định nghĩa của M ta có:
Với bất kỳ, ta có
nên z M và do đó M là tập a-phin Suy ra M aff E Định nghĩa 1.9
Các điểm x 1 , ,x k được gọi là độc lập a-phin nếu aff x 1 , , x k có số chiều là k , tức là, nếu các véc tơ x 1 x k , , x k 1 x k là độc lập tuyến tính
Bao lồi a-phin M của tập k điểm độc lập a-phin x 1 , , x k trong R n là tập a-phin (k1)- chiều
Mọi điểm x M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
Một tập C Được gọi là nón nếu
Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc nón Dĩ nhiên, một nón không nhất thiết là một tập lồi
C x R x là một nón nhưng không lồi
Nón nhọn được định nghĩa là nón không chứa đường thẳng, với đỉnh là điểm 0 Trong khi đó, nón lồi là nón đồng thời là một tập lồi Nếu nón lồi này là một tập lồi đa diện, thì nó được gọi là nón lồi đa diện.
Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 1.6)
Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử C là một nón lồi Do C là một nón nên ta có (i)
Do C là một tập lồi nên với mọi x y, C thì 1
2 x y C Vậy theo (i) ta có x y C Điều kiện đủ: Giả sử ta có (i) và (ii)
Từ (i) suy ra C là một nón Giả sử x y, C và 0,1
Từ (ii) suy ra x C , 1 y C Theo (ii) ta có x 1 y C
Vậy C là một nón lồi Định nghĩa 1.11
Bao nón lồi của tập C là giao của tất cả các nón lồi chứa C , ký hiệu là
Cho C là một tập lồi trong R^n Một véc tơ y khác 0 được xem là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ bất kỳ điểm nào của C theo hướng y đều hoàn toàn nằm trong C Điều này có nghĩa là y là hướng lùi xa khi và chỉ khi đáp ứng điều kiện trên.
Tập hợp của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là nón lùi xa của C , ký hiệu là re C
Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn thì re C chỉ gồm duy nhất một gốc
Nhận xét 1.2 Nếu C là tập lồi đóng thì trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với mọi x C , chỉ cần đòi hỏi cho một điểm x C
Mệnh đề 1.6 (xem [2], mệnh đề 1.7)
Giả sử C là một tập lồi đóng Khi đó y là một hướng lùi xa của C khi và chỉ khi
, 0 xyC với một điểm x nào đó thuộc C
Giả sử xyC, 0 với x C Thế thì với mọi u C , mọi 0, do C lồi nên ta có
Cho , do C đóng, ta thấy uyC,với mọi u C và 0
Nhận xét 1.3 Trong trường hợp C không đóng thì bổ đề trên không đúng
Hiển nhiên, véc tơ y 0,1 có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm
0 x C theo hướng này đều nằm trọn trong C nhưng nếu xuất phát từ x 0 thì điều này không đúng Định nghĩa 1.13
Cho CR n là tập lồi và x C
N C x y x y C , Tập N C x gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x
Tập N C x gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x
Tập C * gọi là nón đối cực
Ta có thể kiểm tra được rằng N C x và C * là hai nón lồi đóng chứa gốc
Cho C là một tập lồi khác rỗng và x thuộc C Một hướng d thuộc R^n được coi là chấp nhận được của C nếu tồn tại t0 > 0 sao cho x + td thuộc C với mọi t trong khoảng từ 0 đến t0 Tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được tạo thành một nón lồi chứa gốc, được gọi là nón chấp nhận được.
Nón F x có thể không đóng, nhưng nếu sử dụng bao đóng, chúng ta sẽ có nón tiếp xúc với C tại x, ký hiệu là T C(x) Khi đó, F C(x) sẽ bằng T C(x).
Mệnh đề 1.7 (xem [2], mệnh đề 1.8)
Nón pháp tuyến và nón tiếp xúc là đối cực của nhau
Ta có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa
Giả sử tập lồi C được cho bởi C : x R n | a x j , b j , j 1, , m với x C , đặt
J x j a x b gọi là tập chỉ số tích cực tại x
Hàm lồi
Trong chương trình Toán phổ thông, chúng ta đã được giới thiệu khái niệm hàm lồi một cách cơ bản Bài viết này sẽ trình bày khái niệm tổng quát về hàm lồi cùng với một số tính chất quan trọng của nó.
Cho tập CR n và f C: R Ta sẽ ký hiệu
epi : f x , C R f x | Các tập dom f , epi f lần lượt được gọi là miền hữu dụng và trên đồ thị của hàm f
Bằng cách cho f x nếu x C , ta có thể coi f được xác định trên toàn không gian và
epi :f x, R n R f x| Quy ước nếu 0 thì f x 0 với mọi x Định nghĩa 1.15
Cho C R n lồi và f C : R Ta nói f là hàm lồi trên C nếu epif là một tập lồi trong R n 1 Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu f là hàm lồi trên
Sau đây chủ yếu ta xét hàm f R : n R Dễ thấy định nghĩa trên tương đương với:
Hàm f R : n R được gọi là lồi chặt trên C nếu
Hàm f R : n R được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số 0 nếu
Dễ dàng kiểm tra rằng hàm f lồi mạnh trên C với hệ số 0 khi và chỉ khi hàm
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một bất đẳng thức quan trọng trong chương trình phổ thông, đó là bất đẳng thức tổng quát liên quan đến hàm lồi Các bất đẳng thức nổi bật như giữa trung bình cộng và trung bình nhân, cũng như bất đẳng thức Holder, đều là những trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức này.
Nếu f là hàm lồi và nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì
Mệnh đề 1.8 (xem [2], mệnh đề 8.1)
Một hàm f C : R là lồi trên C khi và chỉ khi
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f lồi, chọn x y, , , như đã nêu trong mệnh đề Chọn ' f x , và ' f y , Vậy x , ' , y , ' epi f Do epi f lồi nên
Điều kiện đủ: Chọn x , , y , epi f và 0,1 Với mọi 0 , ta có
Dưới đây là một định nghĩa khác, tương đương về hàm lồi, lồi mạnh dựa vào khái niệm hệ số lồi Định nghĩa 1.17
Hàm f R : n R (không nhất thiết lồi), CR n là một tập lồi khác rỗng và là một số thực Ta nói là hệ số lồi của f trên C , nếu với mọi
Hiển nhiên, nếu 0 thì f lồi trên C Nếu f có hệ số lồi trên C là 0, thì f lồi mạnh trên C vớih hệ số lồi Định nghĩa 1.18
Một hàm f được gọi là chính thường nếu dom f và f x với mọi x
Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong R n 1
Dựa vào định nghĩa của epi f, có thể xác định một hàm lồi hoàn toàn chỉ dựa vào epi f Nếu f là một hàm lồi trên một tập lồi C, ta có thể mở rộng f lên toàn bộ không gian.
Hàm f e(x) = f(x) với mọi x thuộc C và f e(x) lồi trên R^n Hơn nữa, f e(x) là chính thường khi và chỉ khi f cũng chính thường Tương tự, f e(x) đóng khi và chỉ khi f đóng Nếu f là một hàm lồi trên R^n, thì miền xác định của f (dom f) là một tập lồi, vì dom f chính là hình chiếu trên R^n của epi f.
Ví dụ 1.4 Một số hàm lồi
1 Hàm a-phin: f x a x , , trong đó aR n ,R Dễ dàng kiểm tra được rằng f là hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian
Khi 0 thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính
Cho C là một tập lồi Đặt
Ta nói C là hàm chỉ của C Do C lồi nên C là một hàm lồi
Cho S : x R n | x 1 là một mặt cầu và h S : R là một hàm bất kỳ Định nghĩa hàm f như sau:
Hàm này được gọi là hàm mặt cầu Dễ thấy rằng f là một hàm lồi trên R n
Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của C
5 Hàm khoảng cách nếu nếu nếu nếu nếu
Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định nghĩa bởi
Định lý tách các tập lồi 21
Định lý tách 1
Cho C , C R n (không nhất thiết lồi) và y là véc tơ bất kỳ, đặt
Ta nói d C y là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại C sao cho
C d y y , thì ta nói là hình chiếu (vuông góc) của y trên C Ký hiệu
Mệnh đề 2.1 (xem [2], mệnh đề 5.1)
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong R n Khi đó:
(i) Với mọi yR n , C hai tính chất sau là tương đương: a) p C y , b) y N C ( )
(ii) Với mọi y R n , hình chiếu p C ( ) y của y trên C luôn tồn tại và duy nhất
(iii) Nếu yC, thì p C y y x , p C y 0 là siêu pẳng tựa của C tại p C ( )y và tách hẳn y khỏi C , tức là
(i) Giả sử có a) Lấy x C và 0,1 Đặt
Do x,C và C lồi, nên x C Hơn nữa do là hình chiếu của y , nên y y x
Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho 0, ta có
Điều này đúng với mọi x C và 0,1 Do đó khi cho tiến đến 0 ta được
Bây giờ giả sử có b) Với mọi x C , có
Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy – Scharz ta có:
2 T y y y x y y x Suy ra y y x x C , và do đó p y( ) ii) Do d C ( ) y inf x C x y , nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (infimum), tồn tại một dãy x k C sao cho lim k C ( ) k x y d y
Vậy dãy x k bị chặn, do đó nó có một dãy con x kj hội tụ đến một điểm nào đó Do C đóng nên C Vậy
Chứng tỏ là hình chiếu của y trên C
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm và
1 đều là hình chiếu của y trên C , thì
Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra 1 0, và do đó 1 iii) Do y N C , nên
Vậy y x , y , là một siêu phẳng tựa của C tại Siêu phẳng này tách y khỏi C vì y , nên
Mệnh đề 2.2 (xem [2], mệnh đề 5.4)
Cho C là một tập lồi khác rỗng và x 0 riC Khi đó tồn tại siêu phẳng tựa của C tại hình chiếu của x 0 trên C
Gọi hình chiếu của x 0 trên C là p x ( 0 )
Trước hết xét trường hợp int C Vậy x 0 intC Phân biệt trường hợp: a) x 0 C Do C lồi, đóng, nên theo (iii) của mệnh đề 2.1, siêu phẳng
Trong bài viết này, chúng ta xem xét siêu phẳng tựa của tập hợp C tại điểm p(x) = (0) tách biệt với x0 Khi x0 thuộc C, nhưng không nằm trong phần trong của C, điều này cho thấy x0 thuộc R^n \ C Do đó, tồn tại một dãy xk hội tụ về x0, với mọi xk không thuộc C Vì C là tập lồi và đóng, theo Mệnh đề 2.1, tồn tại siêu phẳng tựa của C tại p(xk), tức là tồn tại một siêu phẳng πk khác không thỏa mãn điều kiện nhất định.
Bằng cách chuẩn hóa k , ta có thể coi k 1, và do đó có thể giả sử k 0
Do ánh xạ chiếu liên tục, nên từ bất đẳng thức trên, qua giới hạn và chú ý là
Vậy 0 , x = 0 , x 0 x C là siêu phẳng tựa của C tại x 0 Định ngh ĩa 2.2
Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a x T tách C và D nếu
Ta nói siêu phẳng a x T tách chật C và D nếu
Ta nói siêu phẳng a x T tách mạnh C và D nếu y D sup T inf T , , x C a x a y x C y D
Cho CR n là một tập lồi khác rỗng Giả sử x 0 C Khi đó tồn tại
Do x 0 riC, nên sự tồn tại siêu phẳng tách trong bổ đề được suy ra từ mệnh đề 2.2 Định lý 2.1 (Định lý tách 1) (xem [2], định lý 6.1)
Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong R n sao cho C D Khi đó có một siêu phẳng tách C và D
Do C và D là lồi, nên C D cũng lồi Hơn nữa, 0 C D , vì C D
Theo bổ đề 2.1 áp dụng với x 0 0, tồn tại véc tơ tR n , t0 sao cho t z , 0 với mọi z C D Vì z x y , với xC y, D, nên ta có
khi đó siêu phẳng t x , tách C và D
Định lý tách 2
Bổ đề 2.2 (xem [2], bổ đề 6.2)
Cho CR n là một tập lồi đóng khác rỗng sao cho 0 C Khi đó tồn tại một véc-tơ t R n , t 0 và 0 sao cho
Do C đóng và 0 C , nên tồn tại quả cầu B tâm ở gốc, bán kính r 0 sao cho C B Áp dụng định lý tách 1 cho hai tập C và B , ta có t R n \ 0 và
Bằng chuẩn hóa ta có thể xem t 1 và do đó khoảng cách từ gốc đến siêu phẳng ít nhất là bằng r Vậy thì
Theo bổ đề này thì C và điểm gốc tọa độ có thể tách mạnh, ví dụ bởi siêu phẳng , t x 2
Định lý 2.2 (Định lý tách 2) (xem [2], định lý 6.2)
Cho hai tập lồi đóng C và D không giao nhau (C ∩ D = ∅), giả sử ít nhất một trong hai tập là compact Khi đó, tồn tại một siêu phẳng có khả năng tách biệt mạnh mẽ hai tập này.
Giả sử C là tập Compact Ta chỉ ra tập C D đóng
Thật vậy, giả sử z k CD và z k z Ta có z k x k y k với x k C y, k D Vì
C compact, nên có một dãy con x k j x khi j Vậy j j j k k k y x z x z D Vậy z x y CD Chứng tỏ C D là tập đóng
Do 0 C D nên theo bổ đề 2.2, tồn tại t 0 sao cho t x , y 0 với mọi
Chứng tỏ C và D có thể tách mạnh
Nhận xét 2.2 Điều kiện một trong hai tập là com-pắc trong định lý là không thể bỏ được
Rõ ràng hai tập này lồi, đóng, không có điểm chung, nhưng chúng không thể tách mạnh được
Nếu hai tập hợp nằm trong cùng một siêu phẳng, chúng vẫn có thể tách biệt bằng siêu phẳng đó Để giải quyết vấn đề này, khái niệm "tách đúng" đã được đưa ra.
Hai tập C và D được gọi là tách đúng bởi siêu phẳng a x T nếu
T T a xa y x C y D và cả hai tập này không cùng nằm trọn trong siêu phẳng tách
Mệnh đề 2.3 (xem [2], mệnh đề 6.1)
Cho hai tập lồi khác rỗng A và B Điều kiện cần và đủ để hai tập này tách đúng là ri A ri B
Chứng minh Điều kiện cần
Giả sử có siêu phẳng t x T tách A và B , tức là
Giả sử siêu phẳng này không chứa B , khi đó t y T , y riB Suy ra ri A ri B Điều kiện đủ
Giả sử ri A ri B Khi đó, 0 ri A ri B ri A B Xét hai trường hợp: i) Trường hợp int A B
Khi đó 0 int A B Vậy tồn tại t 0 và t x T t y T , x int , A y intB Đặt
Nếu \(\alpha \in \mathbb{R}\) và \(\beta \in \mathbb{R}\) với \(\alpha \leq \beta\), và có \(\alpha \leq \gamma \leq \beta\), thì siêu phẳng \(t_x T = \gamma\) sẽ phân tách hai tập hợp A và B, nhưng không thể chứa đồng thời cả A và B Trong trường hợp mà \(\text{int}(A - B) = \emptyset\), ta định nghĩa \(C = A - B\) và \(F\) là không gian con song song với bao a-phin của C.
Khi đó, áp dụng lập luận ở phần trên cho không gian F , sẽ tồn tại một siêu phẳng '
H (trong F ) tách đúng A và B Gọi t ' là phiếm hàm tuyến tính từ F R xác định siêu phẳng H ' Gọi F là không gian vuông góc với F Với mỗi xR n đặt
t x là hàm hợp giữa t ' và p , trong đó p là ánh xạ chiếu xuống không gian con
F Do p là tuyến tính, nên dễ thấy t và t ' cũng là tuyến tính và là siêu phẳng tách đúng hai tập A và B
Nếu A và B là hai tập lồi mà ri A ri B , thì hai tập này vẫn có thể tách được
A và B là hai đường chéo của một hình chữ nhật trong mặt phẳng 2-chiều
Rõ ràng A và B là hai tập lồi mà ri A ri B , chúng vẫn tách được bằng chính mặt phẳng nhưng chúng không tách đúng được
Một hệ quả quan trọng của định lý tách là bổ đề Farkas, được chứng minh bởi nhà toán học Hungary vào năm 1892 dưới dạng định lý hình học Bổ đề này có tính trực quan cao và dễ dàng áp dụng trong nhiều lĩnh vực như tối ưu hóa, điều khiển và lý thuyết toán tử.
Hệ quả 2.1 (Bổ đề Farkas) (xem [2], hệ quả 6.1)
Cho A là một ma trận thực cấp m n và aR n Khi đó trong hai hệ dưới đây có một hệ và chỉ duy nhất một hệ có nghiệm:
Một cách phát biểu tương đương dưới ngôn ngữ hình học là:
Nửa không gian x a x | T 0 chứa nón x Ax | 0 khi và chỉ khi véc tơ a nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A tức là
Tính chất hình học của bổ đề này rất rõ Nó nói rằng nón lồi, đóng
x Ax | 0 nằm trong nửa không gian x a x | T 0 khi và chỉ khi véc tơ pháp tuyến a ở trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A
Giả sử (2.2) có một nghiệm y nào đó Nếu như Ax 0, thì từ A y T a, nhân tích vô hướng với x , và do Ax0,y0, ta có a x T y Ax T 0 Vậy (2.1) không thể có nghiệm
Giả sử hệ (2.2) không có nghiệm Lấy tập
Hiển nhiên C là tập lồi đóng và 0 C
Do (2.2) không có nghiệm nên a C Theo định lý tách 2, tồn tại p0 và một số
R sao cho p a T p x T với mọi x C Do 0 C nên 0.Thay xA y T , với 0 y , ta viết được p A y T T y Ap T
Bên cạnh đó, nếu x C thì xC với mọi 0 Vì từ x A y T , có x A T y
Vậy các tọa độ của y có thể lớn tùy ý, nên từ bất đẳng thức
Vậy, ta đã chỉ ra sự tồn tại của một véc tơ p sao cho Ap0 và a p T 0 Chứng tỏ rằng (2.1) có nghiệm.
Một số ứng dụng của định lý tách 27
Điều kiện tối ưu
Một điểm x * C được gọi là điểm cực tiểu địa phương của f trên C nếu tồn tại một lân cận U của x * sao cho
* f x f x x U C Điểm x * C được gọi là điểm cực đại địa phương nếu nếu tồn tại một lân cận U của x * sao cho
* f x f x x C thì x * được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên C , và nếu
* f x f x x C thì x * được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C
Bài toán OP: Tìm cực tiểu của một hàm lồi trên một tập lồi có dạng sau min f x với các điều kiện
Trong đó X R n là một tập lồi đóng khác rỗng và f g , i i 1, , m là các hàm lồi hữu hạn trên X , còn h j j 1, , k là các hàm a-phin hữu hạn trên tập a-phin của
X Ta sẽ luôn giả sử rằng X có điểm trong và các hàm aphin h j j 1, , k độc lập tuyến tính trên X , theo nghĩa, nếu
với mọi x X , thì j 0 với mọi j
Bài toán (OP) này được gọi là một quy hoạch lồi Hàm f được gọi là hàm mục tiêu Các điều kiện x X g x , i 0 i 1, , m , h j x 0, j 1, , k được gọi là ràng buộc Tập
D xX g x i m h x j k được gọi là miền chấp nhận được Một điểm x D được gọi là điểm chấp nhận được của bài toán (OP) Do X là tập lồi, các hàm g i i 1, , m lồi trên X và
Điểm cực tiểu của hàm f trên tập lồi D được gọi là nghiệm tối ưu của bài toán (OP) Để giải bài toán này, chúng ta xây dựng hàm Lagrange, một công cụ quan trọng trong tối ưu hóa.
Dựa vào hàm Lagrange, ta có kết quả sau: Định lý 3.1 (Karush – Kuhn - Tucker) (xem [2], Định lý 9.1)
Nếu x * là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi (OP) thì tồn tại
và * j j 1, , k không đồng thời bằng 0 sao cho
(điều kiện đạo hàm triệt tiêu)
(điều kiện độ lệch bù)
Hơn nữa nếu int X và điều kiện Slater sau thỏa mãn
Điều kiện cần và đủ để điểm chấp nhận x* là nghiệm tối ưu của bài toán (OP) bao gồm hai yếu tố: đạo hàm triệt tiêu và độ lệch bù, với điều kiện là 0* > 0.
Giả sử x * là nghiệm của (OP) Đặt
Do X lồi, f g, i lồi và h j a-phin hữu hạn trên X nên C là một tập lồi khác trống trong R m k 1 Hơn nữa 0 C Thật vậy, vì nếu trái lại 0 C , thì tồn tại một điểm chấp nhận được x thỏa mãn f x f x * Điều này mâu thuẫn với việc x * là nghiệm tối ưu của (OP)
Khi đó theo định lý tách 1, tồn tại i * i 0,1, , m , * j j 1, , k không đồng thời bằng 0 sao cho
Chú ý rằng với mọi 0 , , m 0, thì 0 , , m , 1 , , k C , vì theo định nghĩa của
C ta chỉ lấy xx * Từ chú ý này, ta suy ra ngay tất cả 0 * , 1 * , , m * 0 Hơn nữa, với mọi 0 và x X , ta lấy
, thì 0 , , m , 0, , 0 C Thay vào (3.1) và cho 0, sẽ được
L x L x x X Đây chính là điều kiện đạo hàm triệt tiêu Để chứng minh độ lệch bù, ta chú ý rằng do x * chấp nhận được, nên
* 0 g x i i Nếu như tồn tại một i nào đó mà g x i * , thì với mọi 0, ta có
Khi thay vào (*) và cho 0, ta nhận thấy rằng i * 0 Tuy nhiên, vì < 0, nên ta có i * 0, dẫn đến kết luận i * 0 Điều này cho thấy điều kiện độ lệch bù đã được thỏa mãn Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử rằng điều kiện Staler được thỏa mãn.
Thật vậy, vì nếu 0 * 0, thì do điều kiện đạo hàm triệt tiêu và điều kiện độ lệch bù, ta có
Thế nhưng do 0 * 0, nên phải có hoặc i * 0 với một i nào đó, hoặc nếu i * 0 với mọi i , thì sẽ có * j 0 với một j nào đó
Trong trường hợp đầu, thay x 0 vào bất đẳng thức trên sẽ được
Trong trường hợp sau, ta có:
Do int X và h j aphin với mọi j, nên từ đây suy ra
Do các hàm h j độc lập tuyến tính trên X, ta có * j 0 với mọi j, điều này mâu thuẫn với việc tất cả các nhân tử i * và * j không thể đồng thời bằng 0 Do đó, ta kết luận rằng 0 * 0.
Do 0 * 0, nên bằng cách chia cho 0 * 0, ta có thể coi hàm Lagrange là
Từ điều kiện đạo hàm triệt tiêu và độ lệch bù, nên với mọi x chấp nhận được, ta có:
Chứng tỏ x * là lời giải tối ưu của (OP)
Khi X là tập mở (nói riêng là toàn không gian) và mọi hàm đều khả vi, thì điều kiện đạo hàm triệt tiêu sẽ là
Bài toán tìm cực tiểu của hàm lồi trên tập lồi cho thấy một cách định lượng rõ ràng Hơn nữa, đã có chứng minh định tính rằng mọi điểm cực tiểu địa phương của hàm lồi trên tập lồi đều là điểm cực tiểu tuyệt đối.
Tính chất trên không thể áp dụng cho cực đại của hàm lồi: Cực đại địa phương của một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối
Xét hàm số f x ( ) x 2 trên đoạn 1, 2
Hàm số f x( )x 2 đạt cực đại địa phương trên đoạn 1, 2 là x 1 , nhưng điểm cực đại tuyệt đối lại là x 2.
Hệ bất đẳng thức lồi
Trong phần này chúng ta sử dụng định lý tách để tìm điều kiện cần và đủ để hệ bất đẳng thức lồi có nghiệm Định nghĩa 3.2
Cho DR n là một tập lồi và f 1 , , f m là các hàm lồi trên R n Hệ bất đẳng thức
, i 0, x D f x i I Được gọi là hệ bất đẳng thức lồi, trong đó I là tập chỉ số và ký hiệu có thể hiểu là hoặc
Hệ bất đẳng thức lồi có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Nhờ vào tính chất của hàm lồi, tập nghiệm của hệ bất đẳng thức lồi luôn tạo thành một tập lồi Bằng cách áp dụng các định lý tách, chúng ta có thể xác định các điều kiện cần và đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm cho hệ bất đẳng thức lồi.
Mệnh đề 3.1 (xem [2], mệnh đề 9.5)
Giả sử f 0 , f 1 , , f m là các hàm lồi hữu hạn trên tập lồi D Khi đó, hệ
, i 0, 0,1, , x D f x i m (3.2) không có nghiệm, khi và chỉ khi tồn tại các số i 0 i 0,1, , m không đồng thời bằng 0 sao cho
Ngoài ra, nếu có điều kiện chính quy Slater: tồn tại x 0 D f x , i 0 0 với mọi
Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên, nên ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần
Giả sử hệ (3.2) không có nghiệm Đặt
Do D và f i lồi i 0, , m nên C lồi Theo giả thiết hệ (9.4) không có nghiệm nên
0 C Áp dụng định lý tách, tồn tại 0 , 1 , , m 0 sao cho
Chú ý rằng theo định nghĩa của C , với mọi x D và 0, ta có
Điều này đúng với mọi 0, nên suy ra
Ta sẽ chứng tỏ i 0 i Thật vậy, nếu trái lại có j 0 với một j nào đó, thì do với mọi x D , mọi y i f x i , ta có y 0 , , y m C , nên
Cho y j còn mọi y i khác cố định, ta thấy vế trái của bất đẳng thức trên tiến đến Mâu thuẫn vì vế phải bằng 0 Vậy i 0 với mọi i
Cuối cùng giả sử điều kiện Slater thỏa mãn Nếu như 0 0 thì theo (3.3), có
Lấy xx 0 D, theo điều kiện chính quy Slater thì
Ta có mâu thuẫn và do đó mệnh đề được chứng minh
Trong nhiều ứng dụng, trong một hệ bất đẳng thức lồi thường có sự tham gia của các đẳng thức tuyến tính Khi đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.2 (xem [2], mệnh đề 9.6)
Cho f 1 , ,f m là các hàm lồi hữu hạn trên một tập lồi D và A là một ma trận thực cấp k n Giả sử b ri A D Khi đó, hệ
, , i 0, 1, , x D Ax b f x i m không có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại tR k và i 0, i 1, , m sao cho
Chứng minh Điều kiện đủ: Hiển nhiên Điều kiện cần:
Do D lồi nên E lồi và theo giả thiết, hệ
, i 0, 1, , x E f x i m không có nghiệm Vậy áp dụng mệnh đề 3.1, sẽ tồn tại i , i 1, , m thỏa mãn
Khi đó f lồi và hữu hạn trên D Lấy
Do D và f lồi nên C lồi, từ đó suy ra 0 không thuộc C Theo mệnh đề 2.1, có thể tách biệt C và 0, tức là tồn tại các cặp điểm (t, 0) thuộc R k × R và (y, 0) thuộc C.
Dựa vào định nghĩa của C , lập luận tương tự như mệnh đề 3.2.1 ta có t 0 0
Nhưng t 0 không thể bằng 0, vì nếu t 0 0 thì
Thế nhưng theo giả thiết b ri A D , tức là 0 ri A D b Từ đây và (3.5) suy ra
, 0 , t y t y y y C Mâu thuẫn với (3.4), vì y A D Vậy t 0 0
Từ định nghĩa của C ta có Ax b f x - , C 0, x D Vậy
, - 0 0 t Ax b t f x x D Điều này đúng với mọi 0, nên t Ax b , - t f x 0 0 x D
và chia hai vế cho t 0 0, ta có điều cần chứng minh
Mệnh đề vẫn còn đúng khi thay hệ Ax b bởi hệ Ax b
Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi
Một tập lồi có thể được xấp xỉ với độ chính xác tùy ý thông qua các tập lồi đa diện, được xác định bởi các nửa không gian tựa Tương tự, một hàm lồi cũng có thể xấp xỉ với độ chính xác tùy ý bằng các hàm a-phin non của nó Kết quả này là nền tảng cho việc xấp xỉ các bài toán có cấu trúc lồi bằng các bài toán tuyến tính Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng định lý tách để chứng minh Bổ đề, làm cơ sở cho định lý về sự xấp xỉ một hàm lồi bằng các hàm non a-phin Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét định nghĩa về hàm non a-phin.
Hàm l là hàm non a-phin của một hàm f trên R n nếu l là hàm a-phin trên
Hàm đồng nhất bằng là hàm non a-phin của mọi hàm
Nếu f * là hàm liên hợp của f , thì
Từ đây thấy rằng mỗi x * xác định một hàm a-phin
: * , * * l x x x f x f x x là hàm non a-phin của f trên toàn không gian
Bổ đề 3.1 (xem [2], bổ đề 10.1)
Cho f là một hàm lồi đóng, chính thường trên R n Khi đó với mọi điểm
x t 0 , 0 epif , đều tồn tại R n , R sao cho
Theo giả thiết, f là hàm lồi đóng chính thường, do đó epi f là một tập lồi, đóng và không rỗng Vì điểm (x₀, 0) không thuộc epi f, nên chúng ta có thể áp dụng định lý tách mạnh cho hai tập lồi, đóng C = {(x₀, 0)} và D = epi f Kết quả là sẽ tồn tại một cặp (a, μ) khác không, với a thuộc Rⁿ và μ thuộc R, cùng với một số.
Trước hết, ta nhận thấy rằng điều kiện 0 là cần thiết Nếu 0, sẽ xuất hiện mâu thuẫn trong bất đẳng thức đầu tiên của (3.6) khi t tiến đến Khi đó, vế trái của bất đẳng thức sẽ tiến đến , trong khi vế phải, tức là , lại là một số hữu hạn cố định.
Nếu \( x_0 \notin \text{dom} f \) thì \( \mu \neq 0 \) Bởi vì nếu \( \mu = 0 \), từ bất đẳng thức (3.5) với \( x = x_0 \), ta có \( a x^T_0 < \alpha < a x^T_0 \), điều này là vô lý Do đó, trong trường hợp này, chia hai vế của (3.6) cho \( -\mu > 0 \) sẽ cho ra điều cần chứng minh.
Bây giờ chỉ cần xét trường hợp x 0 dom f và 0 Từ (3.6) có
Lấy \( x_1 \in \text{dom}f \) và \( t_1 < f(x_1) \) Khi đó, \( (x_1, t_1) \notin \text{epif} \) Áp dụng định lý tách mạnh cho tập gồm duy nhất một điểm \( \{(x_1, t_1)\} \) và tập \( \text{epif} \), ta thấy rằng \( x_1 \in \text{dom}f \) Tương tự như trên, tồn tại \( (b, \beta) \neq 0 \), với \( b \in \mathbb{R}^n \) và \( \beta \in \mathbb{R} \).
Từ đây và (3.6), thấy rằng với mọi 0 và mọi x t , epif , ta có
( b a ) T x t b x T t a x T (3.8) với mọi đủ lớn Vậy với đủ lớn, bằng cách lấy b a, ' thì từ (3.7) và (3.8) suy ra
Nói riêng lấy t f x , ta có
Như vậy trong trường hợp này ta cũng có (3.6)
Từ bổ đề trên chúng ta chứng minh được định lý Định lý 3.2 (xấp xỉ tuyến tính hàm lồi) (xem [2], định lý 10.1)
Mọi hàm lồi đóng chính thường f trên R n đều là bao trên của các hàm non a-phin của nó Tức là:
sup v | v v f x l x l A trong đó A là tập hợp tất cả các hàm non a-phin của f
Chứng minh [xem [2], định lý 10.1]
Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi
Phép tính vi phân là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích cổ điển, đặc biệt trong giải tích lồi Lý thuyết này phong phú nhờ vào các tính chất của tập lồi và hàm lồi Chúng ta sẽ mở rộng khái niệm đạo hàm qua khái niệm dưới vi phân và các tính chất cơ bản của nó Đặc biệt, việc áp dụng định lý tách và siêu phẳng tựa giúp chứng minh sự tồn tại của dưới vi phân của hàm f trong trường hợp f lồi.
Hàm lồi tại một điểm có thể có phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị, nhưng không phải lúc nào cũng khả vi Ví dụ, hàm lồi f(x) = x không khả vi tại x = 0 Để giải quyết trường hợp này, khái niệm đạo hàm được mở rộng bằng dưới đạo hàm, vẫn giữ được tính chất cơ bản của đạo hàm ở hàm lồi khả vi.
Cho f R : n R Ta nói x * R n là dưới đạo hàm của f tại x nếu
Tương tự như hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này cho thấy phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị hàm số Tuy nhiên, khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không chỉ tồn tại một cách duy nhất.
Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là f x Đây là một tập trong R n (có thể bằng rỗng)
Khi f x thì ta nói hàm f khả vi dưới vi phân tại x
Theo định nghĩa, một điểm x * thuộc tập biên f x nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính Do đó, tập biên f x có thể được xem là giao của các nửa không gian đóng.
luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng) Ký hiệu
Hàm f x x x , R n Tại điểm x 0 hàm này không khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân và
CR n là một tập lồi, khác rỗng
là hàm chỉ của C nếu nếu
Khi đó với x 0 C, ta có:
Với x C thì C nên bất đẳng thức này luôn đúng Vậy
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại một điểm x 0 C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x 0
Mệnh đề 3.3 (xem [2], mệnh đề 11.3)
Cho f R : n R lồi, chính thường Khi đó:
(ii) Nếu x int domf thì f x và com-pắc Ngược lại, nếu f x và Com-pắc thì x ri domf
(i) Cho zdomf , thì f z Vậy nếu xdomf , thì f x và do đó không thể tồn tại x * thỏa mãn
Giả sử x thuộc miền xác định của hàm f, điểm (x, f(x)) nằm trên biên của epi f Vì f là hàm lồi, nên tồn tại một siêu phẳng tựa của bao đóng của epi f đi qua điểm (x, f(x)) Điều này có nghĩa là tồn tại một vector p thuộc R^n, với n thuộc R, không đồng thời bằng 0, thỏa mãn điều kiện cần thiết.
Ta có t 0, vì nếu t 0 thì
Do x thuộc tập hợp số nguyên của miền hàm f, nên p bằng 0 Do đó, t không thể bằng 0 và t phải lớn hơn 0 Nếu t nhỏ hơn 0, thì trong bất đẳng thức (3.9), khi cho μ tiến tới dương vô cùng, sẽ dẫn đến mâu thuẫn vì vế trái là cố định.
Chia hai vế của (x) cho t 0, đồng thời thay f y và đặt x * p
* , dom x y x f x f y y f Nếu ydomf thì f y , do đó
Cách chứng minh trên cho thấy dưới đạo hàm của f tại x chính là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa của bao đóng của epi f tại x f x ,
3.5 Phép vô hướng hóa bài toán véc tơ
Trong cuộc sống, các vấn đề thường liên quan đến nhiều yếu tố khác nhau Khi mô hình hóa những mối quan hệ này bằng toán học, chúng ta gặp phải các bài toán nhiều biến Nếu coi các biến này như là véc tơ, chúng ta sẽ có các bài toán véc tơ.
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán tối ưu véc tơ
min F x : x D R n ( VP ) Trong đó, F f 1 , , f p : R n R p x : biến
D : tập xác định (tập ràng buộc)
F : hàm mục tiêu (hàm tiêu chuẩn)
Với hai véc tơ a T a 1 , , a n và b T b 1 , , b n trong R n , ta nói a b nếu a i b i i và a b nếu a b a i b i i Định nghĩa 3.5
Véc tơ x * D được gọi là nghiệm Pareto lý tưởng của bài toán ( VP ) nếu
Trong trường hợp tổng quát thì nghiệm Pareto lý tưởng nói chung thường không tồn tại Định nghĩa 3.6
Véc tơ x * D được gọi là nghiệm Pareto của bài toán VP nếu không tồn tại x D sao cho F x F x * và F x F x *
Nếu không tồn tại x D mà F x F x * thì x * được gọi là nghiệm Pareto yếu của bài toán (VP) Định nghĩa 3.7
Véc tơ x * D được gọi là nghiệm Pareto lý tưởng của bài toán
max F x :xDR n ( VP max ) nếu không tồn tại x D sao cho F x F x * và F x F x *
Nếu không tồn tại x D mà F x F x * thì x * được gọi là nghiệm Pareto yếu của bài toán ( VP max )
Một điểm là nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) của bài toán cực tiểu
min F x :xDR n khi và chỉ khi nó là nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) của bài toán cực đại
Bài toán véc tơ tuyến tính:
Bài toán ( VP ) hoặc ( VP max) trong đó
F x Cx với C là ma trận thực, xR n
D là tập lồi đa diện được xác định rõ, ví dụ như
D x Ax b với A là ma trận m n và b R m được gọi là bài toán tối uu véc tơ tuyến tính
Bài toán tối ưu véc tơ lồi
Bài toán tối ưu véc tơ lồi được định nghĩa là bài toán (VP) hoặc (VP max) trong đó D là tập lồi và tất cả các hàm mục tiêu đều là hàm lồi trên D.
Giả thiết rằng một công ty sản xuất hai loại hàng hóa Đặt: x j là số lượng của loại hàng hóa j j 1, 2 ,
1 1 , 2 f x x là chi phí sản suất của x x 1 , 2 ,
1 1 , 2 f x x là chi phí xử lý chất thải của các sản phẩm x x 1 , 2 Chẳng hạn:
0x a, 0x a (giới hạn số lượng sản phẩm)
Bài toán cần giải quyết là xác định số lượng hàng hóa cần sản xuất nhằm giảm thiểu chi phí, cụ thể là tìm nghiệm cho bài toán tối ưu véc tơ Để giải quyết các bài toán tối ưu véc tơ, phương pháp vô hướng hóa thường được áp dụng.
(i) Cho 0 R p Khi đó mọi nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán
min T F x :xDR n P đều là nghiệm Pareto của bài toán VP
(ii) Cho 0 0 R p Khi đó mọi nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán
min T F x : x D R n P đều là nghiệm Pareto yếu của bài toán VP
Giả sử VP là bài toán lồi ( F và D là các tập lồi) Khi đó, với mọi nghiệm Pareto u của VP luôn tồn tại 0 0 sao cho
Giả sử yC, khi đó, tồn tại y 1 , , y r K thỏa mãn
Với mọi j , do y j K nên tồn tại x j D thỏa mãn y j F x j F u Đặt
Do F là hàm lồi nên ta có
Từ đó, do u là nghiệm Pareto nên y0 kéo theo y0
Theo định lý tách thì tồn tại 0 thỏa mãn
, chúng ta có thể giả thiết
Từ (3.10) ta thấy 0, từ (2) và định nghĩa của K ta suy ra
Điều đó có nghĩa rằng u là nghiệm nhỏ nhất của P
Như vậy, ta đã vô hướng hóa xong bài toán VP
Bài viết trình bày hai định lý tách và các ứng dụng của chúng, bao gồm việc chứng minh các điều kiện tối ưu, xác định điều kiện có nghiệm cho hệ bất đẳng thức lồi, và chứng minh sự tồn tại xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi thông qua các hàm non a-phin Ngoài ra, bài viết cũng đề cập đến sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi và cách vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ.
Trong luận văn này, tác giả tập trung vào các định lý tách các tập lồi và ứng dụng của chúng trong không gian hữu hạn chiều R^n, mà chưa mở rộng đến trường hợp tổng quát trong không gian vô hạn chiều Một số vấn đề thú vị có thể được khai thác thêm từ đề tài này.
1 Ứng dụng định lý tách trong không gian vô hạn chiều
2 Xây dựng và giải các bài toán tối ưu về kinh tế dựa trên các định lý tách
3 Mô hình hóa toán học hoạt động sản xuất của một doanh nghiệp và dự đoán sự thành bại của doanh nghiệp…bằng việc mở rộng các định lý kiểu tách cho các tập rời rạc
Do hạn chế về thời gian và kiến thức, luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm và ý kiến đóng góp từ các thầy cô cũng như đồng nghiệp để hoàn thiện hơn bản luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!