DeDA Olympic Toan 7 ND

Kẻ BH và CK cùng vuông góc với đường thẳng d H, K thuộc d.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..[r]

PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ VIOLYMPIC LỚP 7

NĂM HỌC: 2012-2013

Môn: Toán – lớp 7

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 ( 4,0 điểm)

a) Tìm x, y biết: 1 3

2 5

x y





 và x + y =23 b) Tìm x biết:

2 6

x



Bài 2.(4,0 điểm)

a)Cho a c

b d Chứng minh 2010 2011 2012 2013

2010 2011 2012 2013



b) Thực hiện phép tính

1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 4 16)

Bài 3.( 5,0 điểm)

a) Chứng tỏ rằng nếu đa thức M(x) = ax3 bx2 cxdcó giá trị nguyên với

mọi x nguyên thì 6a, 2b, a+b+c, d là các số nguyên

b) Tìm cặp số nguyên (x;y) thõa mãn: 2 2012 3 6

2013 2

x

y

Bài 4 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A Vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho

B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ d Kẻ BH và CK cùng vuông góc với đường thẳng d (H, K thuộc d) Chứng minh:

a) BH + CK = HK b) BH2 + CK2 = AH2 + AK2 = AB2 c) Lây điểm M nằm trong tam giác sao cho góc AMC bằng 1350 Chứng minh

2

2

Họ và tên: ……….SBD…………

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN

a) Tìm x, y biết: Ta có:

3

y

b) Tìm x biết:

2 6

x



x

x = 5 hoặc x = 1

Bài 2.(4,0 điểm)

a)Cho a c

b d Chứng minh 2010 2011 2012 2013

2010 2011 2012 2013



Đặt a c k k R a kb c; kd

2010 2011

2010 2011 2010 2011

b k



2012 2013

2012 2013 2012 2013

b k



2010 2011 2012 2013



b) Thực hiện phép tính

1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 4 16)

M                 

Áp dụng công thức: 1 + 2 + 3 + n = ( 1)

2

n n 

1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 3 4 5 17 1

1 19

.16 81

M                  

Bài 3.( 5,0 điểm)

a) Chứng tỏ rằng nếu đa thức M(x) = ax3 bx2 cxdcó giá trị nguyên với mọi x nguyên thì 6a, 2b, a + b + c, d là các số nguyên

Vì M(x) đạt giá trị nguyên với mọi x nên với x = 0; x = 1; x = -1; x =2 thì M(x) đạt giá trị nguyên

Ta có M(0) = dZ

M(1) = a + b + c + d

M(-1) = -a + b - c + d

Từ đó suy ra và a + b + c Z và 2b + 2d Z hay 2bZ

M(2) = 8a + 4b + 2c Z  6a + 2a+4b+2c Z  6a + 2b + 2(a + b + c) Z

Vì 2b, a + b + c Z nên 6a Z

Ngược lại ta chứng tỏ nếu 6a, 2b, a + b + c, d Z thì M(x) = ax3 bx2 cxd Z

với mọi x

Thật vậy ta có,

2

M x ax bx cx d ax bx bx ax bx cx d

ax x bx x x a b c d ax x x bx x x a b c d

Vì x x(  1)(x  1) 6  x x(  1)(x 1)  6 (m mZ)và x x(  1) 2  x x(  1)  2 (n nZ)

Suy ra

M x ax bx cx d  amx bnxx a b c  d Z

Mà 6a, 2b, a + b + c + d Z Suy ra M(x) đạt giá trị nguyên với mọi x

b) Tìm cặp số nguyên (x;y) thõa mãn: 2 2012 3 6

2013 2

x

y

2013 2

VP y

  Vì 6 và y 2013  2 là các số dương nên

ta có: y 2013   2 2  y 2013   0 y 2013  0 (Vì y 2013  0 )

nên y = 2013 và x = 2012

Bài 4 (7,0 điểm)

AHB CKA

   (ch.gn) 

AH =KC và HB = KA (2 cạnh tương ứng)

Suy ra HK = AK + AH = BH + CK

BH2 + CK2 = BH2 + AH2 = AB2

AH2 + AK2 = BH2 + AH2 = AB2

Suy ra BH2 + CK2 = AH2 + AK2 = AB2

45 0

45 0

1350

I

K

H

B

C

A

M

Chứng minh

2

2

Vẽ tia AIAM (như hình vẽ)

Ta thấy ngay AIM là tam giác vuông cân  IM 2 = AI 2 + AM 2 = 2AM 2 (1)

Mặt khác:

Xét hai tam giác AIBvà AMC có:

AI = AM; AB = AC; IABMAC (Cùng phụ với góc BAM )

Suy ra AIB= AMC (c.g.c)  IB = MC (2) và   0

135

AIB AMC  BIM = 90 0

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BIM ta có: BM 2 = BI 2 + IM 2 (3)

Từ (1), (2) và (3)suy ra BM 2 = MC 2 + 2.AM 2 hay

2

2