Tập hợp giao điểm của d và d’ là đường tròn đường kính AB, với A và B lần lượt là điểm cố định trên d và d’.[r]
Trang 1ĐÁP ÁN
I 1 Tập xác định: D = R
y '=3 x2− 6 x ,
y '=0 ⇔ x=0
¿
x=2
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (− ∞ ; 0) và (2; +∞ ) ; nghịch biến trên khoảng
0;2
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0 ;2) , điểm cực tiểu là (2; − 2)
lim y
x →+∞=+ ∞ , lim y
x →− ∞= − ∞
0,25
Điểm uốn: (1; 0) , đồ thị vẽ đúng, không dùng bút chì 0,25
2 d qua I(1;0), có hệ số góc là k ⇒ d : y=kx −k
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
x3−3 x2− kx +k +2=0 ⇔( x −2)(x2
− x − k − 2)=0
⇔ x=2
¿
x2− x −k − 2=0(∗)
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
d cắt (C) tại ba điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔− 9
4 < k ≠ 0
0,25
M (0 ;2) , B (x1; x13− 3 x12) , C( x2; x32−3 x22)
với x1, x2 là hai nghiệm phân biệt khác 2 của (*)
⃗MB.⃗MC=0 ⇔ ( x1x2)3− 3 ( x1x2)2( x1+ x2)+ 9 ( x1x2)2+ x1x2= 0
k +2 ¿2−(k +2)=0
⇔ −(k+2)3+ 6 ¿
0,25
⇔
k +2=0
¿
k +2=3− 2 √ 2
¿
k +2=3+2 √ 2
¿
¿
¿
¿
¿
⇔ k=− 2
¿
k =1− 2 √ 2
¿
k=1+2 √ 2
¿
¿
¿
¿
¿
(thỏa đk)
Vậy d : y=−2 x +2 , d : y=(1− 2 √ 2)x − 1+2 √ 2 ,
d : y=(1+2 √ 2)x − 1− 2 √ 2
0,25
II 1
Điều kiện sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ
2 , k ∈ Z
Phương trình tương đương:
0,25
Trang 22 cos2x +sin2x +
cos2x
2sin2x +cos2x =
15cos 4 x
8+sin22 x
⇔ sin
2
x (2sin2x+cos2x)+cos2x (2cos2x +sin2x)
(2 cos2x+sin2x )(2sin2x +cos2x) =
15 cos 4 x
8+sin22 x
⇔ 2(sin
4x +cos4x)+2 sin2x cos2x
2(sin4x +cos4x)+5 sin2x cos2x =
15 cos 4 x
8+sin22 x
⇔ 2(1 −2 sin
2
x cos2x )+2sin2x cos2x
2(1 −2 sin2x cos2x )+5 sin2x cos2x =
15 cos 4 x
8+sin22 x
0,25
⇔
2− 1
2 sin
22 x
2+ 1
4 sin
22 x
= 15 cos 4 x
8+sin22 x
⇔8 − 2sin22 x=15 cos 4 x
0,25
⇔7+cos4 x =15 cos4 x ⇔cos 4 x= 1
12 +
kπ
2 , k ∈ Z (thỏa điều kiện) 0,25
2
Đặt a= x
y +1 , b=
y
x +1 ⇒ab= xy
xy +x + y +1 =
xy
xy +3 xy =
1 4
0,25
Ta được hệ (I)
¿
4
a2
+ b2
= 1 2
¿ {
¿
0,25
Hệ (I) có nghiệm: ( 1 2 ;
1
2 ) , ( − 1
2 ;−
1
Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( − 1
3 ;−
1
III Vẽ được ba đồ thị, xác định đúng phần diện tích cần tìm 0,25
S= ∫ ( 4 − 2
¿ ( 4 x −2 ln | x | ) ¿1
2
1
+ ( 4 x − 2
x
¿ 6 − 2
ln2 −2 ln 2
0,25
IV Gọi O=AC ∩BD , I=SO ∩ AC'
đường thẳng qua I, cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’
I là trọng tâm tam giác SAC ⇒ SB'
SC'
SI
1 3
0,25
VSABCD= 1
3 SA SABCD=
1
3 a
a2
√ 3
a3
√ 3 12
0,25
V SAB ' C '
VSABC
=SA
SA .
SB'
SB .
SC'
2
3.
1
2=
1
3 ⇒VSAB 'C '= 1
3 VSABC
VSAD 'C '
VSADC =
SA
SA .
SD'
SC'
2
3 .
1
2 =
1
3 ⇒VSAD' C '= 1
3 VSADC
0,25
VSAB' C ' D '= 2
3 VSABCD=
a3
√ 3 18
0,25
Trang 3a+b ¿2
a+b ¿2
¿
( ¿¿ ) ≥ 2 ab+a
2
+ b2+ c2+ ab+bc+ca
¿
ab+1
¿
2 ¿
a+b ¿2+( c +a)(c+b)
¿
a+b ¿2
¿
a+b ¿2
¿
¿
¿
¿ ¿
⇒
a+b¿2
(¿¿)≥
ab+1
¿
2¿
a+b¿2
¿
1+(c +a)(c +b)¿
(1)
0,25
Tương tự, ta được:
b+c ¿2
( ¿¿ ) bc+1
¿
2 ¿
b+c ¿2
¿
1+ ( a+b)(a+c ) ¿
(2)
a+c¿2
(¿¿)
ac +1
¿
2¿
a+ c¿2
¿
1+(b+ c)(b+a)¿
(3)
Từ (1), (2), (3), ta được:
a+b ¿2
¿
b+c ¿2
¿
c+a ¿2
a+b ¿2
¿
b+c ¿2
¿
a+c ¿2
¿
¿
¿
¿ ≥3+ ( c +a)(c +b) ¿
¿
¿
ab+1
¿
2 ¿
0,25
Trang 4a+b ¿2
¿
b+c ¿2
¿
a+c ¿2
¿
¿
¿
¿
( c +a)(c +b)
¿
Nên
a+b ¿2
¿
b+c ¿2
¿
c+a ¿2
¿ ≥3+3
¿
¿
ab+1
¿
2 ¿
⇒
a+b ¿2
¿
b+c ¿2
¿
c +a ¿2
¿
¿
¿
¿
ab+1
¿
A ∈Ox ⇒ A (a; 0), a ≠ 1
C ∈ BC⇒C(1+3 t ;4 t)
0,25
⃗ AB ⃗ AC=0 ⇔(1 − a)(1+3t −a)=0
⇔ a=1(loai)
¿
1+3 t −a=0
¿
¿
¿
¿
¿
SΔ ABC= 1
2 | 1 −a | √ (1+3 t − a)2+16 t2=6
⇒ | (1− a)t | =3 ⇒
(1− a)t=3
¿
(1− a)t=− 3
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
Ta được:
¿
1+3 t −a=0
t −at=3
¿ {
¿
hoặc
¿
1+3 t −a=0
t − at=−3
¿ {
¿
0,25
Trang 5⇔ a=1+3 t
t2
¿ {
hoặc
¿
a=1+3 t
t2=1
¿ {
¿
⇔ t=1 a=4
¿ {
hoặc
¿
t=− 1 a=−2
¿ {
¿ Với B (1; 0), C(4 ; 4), A (4 ;0) ⇒ G ( 3 ; 4
3 ) Với B (1; 0), C(−2 ;− 4 ), A(− 2; 0) ⇒ G ( −1 ;− 4
3 )
0,25
Đường thẳng d1 qua A và song song d ⇒d1: x +1
y
4 =
z − 2
1
d1∩(P)=N ⇒ N (− 3;− 4 ;1)
0.25
Ta có ⃗ AC+2⃗ AB=⃗0 ⇒ ⃗ NC+2⃗ NM=⃗0 ⇒C(− 19;− 24 ;−11) 0,25
d ': x +1
y
24 =
z −2
13
0.25
VIIa z+4 ¿2+1=0
z+1 ¿2+ ¿
z+1 ¿4+2 ¿
¿
z+1 ¿2+1
¿
¿
z+4 ¿2=0
¿
⇔ ¿
z+1 ¿2+1
¿
¿
¿
⇔ ¿
0,25
⇔
z +1 ¿2+ 1=i(z+4)
¿
z+1 ¿2+1=−i(z +4)
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
z2+(2 −i) z +2− 4 i=0(1)
¿
z2+(2+i) z+2+4 i=0(2)
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
(1) có 2+3 i ¿2
Δ=−5+12 i= ¿ ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt là 2i và −2 −i 0,25
(2) có 2−3 i ¿2
Δ=−5 −12 i= ¿ ⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt là −2 i và −2+i 0,25
VIb 1 Nhận thấy d ⊥d '
Tập hợp giao điểm của d và d’ là đường tròn đường kính AB, với A và B lần lượt là điểm
cố định trên d và d’
0,5
( m+1) x − my+2 m+1=0, ∀ m
⇔
m(x1− y1+2)+x1+1=0, ∀ m ⇔
x1− y1+ 2=0
x1+ 1=0
⇔
¿ x1= −1
y1=1
¿ {
A (− 1;1)∈ d
0,25
Trang 6m(x2+ y2−5)+ y1− 2=0, ∀ m⇔
x2+ y2−5=0
y2−2=0
⇔
¿ x2=3
y2= 2
¿ {
B (3 ;2)∈ d '
Phương trình đường tròn: ( x − 1)2+ ( y − 3
2 )2= 17 4
0,25
2
d qua A, d (P) ⇒
d : x=t y=−2 t z=1 −2 t
¿ { {
Tâm I của (S) thuộc d ⇒ I(t ;−2 t ;1 −2 t)
0,25
(S) tiếp xúc (Oxy) và tiếp xúc (P) tại A ⇒ IA=d (I ,(Oxy))
⇒3 | t | = | 1 −2 t |
⇒ t=−1
¿
t= 1
5
¿
¿
¿
¿
¿
0,25 * 2
(S): z − 3 ¿2=9
x+1 ¿2+( y −2)2+ ¿
¿
hay ( S ): ( x − 1
5 )2+ ( y + 2
5 )2+ ( z − 3
5 )2= 9 25
0,25
VIIb
z= 7 −i √ 3
1− 2i √ 3 ¿ 1+i √ 3
0,25
z=2 ( cos π
3 + isin
π
S=1+z +z2+ +z2009 ¿ z2010−1
z − 1
0,25
z2010=22010
( cos 2010 π
3 + i sin
2010 π
3 ) =22010
S= ( 1 −22010) i √ 3
3
0,25