R n và các tập con
Với n là một số nguyên dương, R^n biểu thị tập hợp tất cả các bộ n số thực (x1, x2, …, xn), được gọi là không gian n chiều Khi bộ số thực này được đặt tên là P, ta ghi là P(x1, x2, …, xn) và xem nó như một điểm trong không gian R^n.
Cho 2 điểm P(x1, x 2 , …,xn) và Q(y 1 , y 2 , …,yn) trong R n , khoảng cách giữa hai điểm P và Q, ký hiệu là d(P, Q) đƣợc định nghĩa bởi: d(P, Q) = (x 1 y 1 ) 2 (x 2 y 2 ) 2 (x n y n ) 2
Khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian Euclide thỏa mãn bất đẳng thức tam giác: d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q) với ba điểm P, Q, R bất kỳ Điểm P có thể được biểu diễn dưới dạng P(x₁, x₂,…, xₙ) hay gọn hơn là x = (x₁, x₂,…, xₙ) Tương tự, điểm y cũng được viết là y = (y₁, y₂,…, yₙ), và khoảng cách giữa hai điểm x và y được ký hiệu là d(x, y).
Cho điểm PR n và r là số thực dương, tập hợp B(P, r) = {QR n | d(P, Q) < r} đƣợc gọi là hình cầu mở tâm P bán kính r hay là lân cận bán kính r của P
Tập hợp E trong R n đƣợc gọi là bị chặn nếu có r > 0 sao cho EB(O,r) với O là điểm O(0, 0, …, 0) hoặc lân cận bán kính ε của Mo hoặc hình cầu mở tâm M o bán kính ε (H.1a)
Điểm M trong tập E thuộc R^n được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận nhỏ ε(M) nằm hoàn toàn trong E Ngược lại, điểm N thuộc R^n được coi là điểm biên của E nếu mọi lân cận nhỏ ε(M) đều chứa cả những điểm thuộc E và những điểm không thuộc E Tập E được gọi là mở khi tất cả các điểm của nó đều là điểm trong, và được gọi là đóng khi nó bao gồm tất cả các điểm biên của nó Tập hợp các điểm biên của E được ký hiệu bằng một ký hiệu đặc biệt.
∂E Bao đóng của E hay tập E đóng ký hiệu E và có E = E ∂E (H.1a)
* Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu nhƣ tồn tại số N sao cho E N (0)
Tập E được gọi là liên thông nếu mọi cặp điểm M1 và M2 trong E đều có thể được nối với nhau bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong E Nếu tập liên thông E bị giới hạn bởi một mặt kín, nó được gọi là đơn liên Ngược lại, nếu E bị giới hạn bởi hai mặt kín trở lên, không chồng lấp nhau, thì E được gọi là đa liên.
Ví dụ 1: Xét các tập sau trong R 2
∂A = {(x; y) : x 2 + y 2 = 4} - đường tròn tâm O bán kính 2, A = {(x; y) : x 2 + y 2 ≤ 4}: hình tròn kể cả biên
A, R 2 là các tập liên thông, B không liên thông (gồm 3 điểm rời rạc)
A, B là các tập giới nội, R 2 không giới nội (cả mặt phẳng Oxy)
Cụ thể cho R 2 : Hình tròn mở tâm M 0 (x 0 ,y 0 ), bán kính r > 0
Hình tròn mở này cũng gọi là một r-lân cận của M 0 và mọi tập con của R 2 chứa một r-lân cận nào đó của M 0 gọi là một lân cận của M 0
Xét một điểm M0 R 2 và một tập AR 2 Có thể xảy ra ba trường hợp loại trừ nhau sau đây:
- Có một lân cận của M 0 nằm trọn trong A, nghĩa là chỉ chứa những điểm của
A Khi đó M 0 đƣợc gọi là điểm trong của tập A
- Có một lân cận của M 0 nằm trọn ngoài A, nghĩa là hoàn toàn không chứa điểm nào của A Khi đó M0 là một điểm trong của phần bù của A
- Bất kỳ lân cận nào của M 0 cũng có cả những điểm của A và những điểm không thuộc A Khi đó M 0 là một điểm biên của A
Chú ý 1) Điểm trong của A là một điểm thuộc A
2) Điểm biên của A có thể thuộc hoặc không thuộc A
+ Một tập hợp đƣợc gọi là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong của nó
+ Một tập hợp đƣợc gọi là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó đều là điểm trong của phần bù của nó
+ Một tập hợp là đóng nếu phần bù của nó là mở
+ Một tập hợp là mở nếu nó không chứa điểm biên nào của nó
+ Một tập hợp là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó
+ Điểm M0 đƣợc gọi là điểm tụ của A, nếu mọi lân cận của M 0 đều chứa vô số điểm của A
Chú ý 1) Điểm tụ có thể thuộc A, có thể không thuộc A
2) Có những tập hợp không là tập đóng, cũng không là tập mở
Ví dụ 2: Xét tập hợp các điểm trong mặt phẳng Cho tập hợp A
Tất cả các điểm trong của A: {(x;y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}
Tất cả các điểm biên của A: {(x;y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}
Tất cả các điểm tụ của A: {(x;y) R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}
Xét tập hợp A gồm các điểm có tọa độ hữu tỉ nằm trong hình tròn đơn vị trong mặt phẳng.
Tập điểm biên và điểm tụ bằng nhau: {(x;y) R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}
Định nghĩa hàm nhiều biến
Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất vào thời điểm t phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó Chúng ta có thể biểu diễn nhiệt độ T như một hàm của hai biến x và y, ký hiệu là T = T(x, y).
2) Thể tích V của một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và chiều cao h Thực tế ta biết V = πr 2 h Khi đó V là một hàm hai biến theo r và h: V = πr 2 h
Một ánh xạ f từ tập D của các cặp số thực (x; y) vào tập R của các số thực đƣợc gọi là hàm của hai biến số độc lập x, y
Nghĩa là mỗi một cặp số thực (x; y)D được tương ứng với một số thực xác định f = f(x; y) Tập D đƣợc gọi là miền xác định của hàm hai biến số f = f(x; y)
Mỗi bộ n biến số độc lập (x1, x2, …, xn) tương ứng với một số thực u, được gọi là hàm của n biến số độc lập này.
(x;y) thì M(x; y) Oxy và ngƣợc lại
Nếu với mỗi M(x;y)D được tương ứng với một số thực xác định f thì f được coi là hàm của điểm M(x;y): f = f(M) = f(x;y)
Cách gọi và ký hiệu như trên giúp hình dung một cách trực quan về mối liên hệ giữa biến số và hàm số, mang lại sự gọn gàng và tiện lợi trong việc hiểu biết.
- Miền xác định D của hàm f = f(x;y) có thể là một tập hợp điểm của phần mặt phẳng Oxy được giới hạn bởi một đường cong kín nào đó
- Đường cong kín đó được gọi là biến của miền
- Nếu các điểm trên biên của miền D cũng thuộc miền xác định của hàm thì miền xác định của hàm là một miền đóng (kín)
- Nếu các điểm trên biên của miền D không thuộc miền xác định của hàm thì miền xác định của hàm là một miền mở
* Chú ý 2: Miền xác định của hàm có thể là toàn bộ mặt phẳng Oxy
Các ví dụ
a) Z = x 2 + y 2 Miền xác định D 1 của hàm là cả mặt phẳng Oxy b) Z 1x 2 y 2
D 2 là (x; y): 1 – x 2 – y 2 0 x 2 + y 2 1 D 2 là một đường tròn có bán kính bằng 1 D 2 đóng (kín) (Hình1.2a) a) Z = ln(x + y)
D 3 là nửa mặt phẳng nằm về phía trên của đường phân giác của góc phần tư thứ II,
Miền xác định là tập (x;y;z)R 3 thỏa x 2 + y 2 + z 2 < 9 Đó là hình cầu tâm O, bán kính bằng 3 (Hình 1.2c) Hình cầu mở này mô tả bởi hệ bất phương trình:
Biểu diễn hình học của hàm hai biến số 9 1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số: Z = f(x; y) 11 1.3.1 Định nghĩa giới hạn
Các ví dụ
Chú ý
1) Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn hoặc các định lí về giới hạn: tổng, tích, thương đều giống như hàm số một biến số
2) Từ định nghĩa ta nhận thấy: Giới hạn của hàm số f (x,y) khi M → M o không phụ thuộc đường đi của M tiến đến M o , vì thế nếu chỉ ra hai đường đi của M tiến đến
M o mà f(M) tiến đến hai giá trị khác nhau thì hàm số không có giới hạn tại M o
Sự liên tục của hàm số Z = f(x; y) 12 1 Định nghĩa 1
Định nghĩa 2
Hàm Z = f(x;y) liên tục tại M 0 (x 0 ; y 0 )D nếu nó xác định tại M 0 và có
Hàm Z = f(x; y) gián đoạn tại M 0 (x 0 ; y 0 )D nếu nó không liên tục tại M 0
Z = f(x; y) gián đoạn tại M 0 khi nó rơi vào một trong ba trường hợp sau:
* Hoặc là Z = f(x; y) không xác định tại M 0 (x 0 ; y 0 )
* Hoặc là nó xác định tại M 0 nhƣng không có giới hạn: lim f ( x ; y )
* Hoặc là hàm Z = f(x;y) xác định tại M 0 và có giới hạn lim f ( x ; y )
liên tục tại mọi điểm (x o ;y o ) khác (0;0)
Lưy ý: + Các hàm sau đây đƣợc gọi là hàm sơ cấp cơ bản: Hàm hằng, hàm mũ, hàm lũy thừa, hàm lƣợng giác, hàm lƣợng giác ngƣợc, hàm logarit
+ Hàm thu đƣợc từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn đƣợc gọi là hàm sơ cấp
+ Hàm sơ cấp liên tục tại những điểm mà nó xác định
1) Tìm miền xác định của các hàm số: a) z = x 2 + y 2 b) z 1 x 2 y 2 c) x xy z arcsin 2 d) 2 2
( 2 x x x f c) Cho ( ) x f y x z Hãy tìm các hàm f và z nếu biết z 1 y 2 khi x = 1
4) Tìm các giới hạn sau: a) lim ( 2 2 2 6 4 )
5) Tính liên tục của hàm hai biến tại O(0,0):
ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 15 2.1 Đạo hàm riêng 15 2.1.1 Định nghĩa
Đạo hàm riêng cấp cao
Giả sử Z = f(x;y) có các đạo hàm riêng theo biến x, y; x
Các đạo hàm riêng cấp một của hàm Z theo các biến x và y là những đạo hàm đầu tiên Nếu các đạo hàm riêng này vẫn phụ thuộc vào biến x và y, thì chúng được gọi là đạo hàm riêng cấp hai Ký hiệu cho các đạo hàm này là: x y.
Định lý: Nếu hàm Z = f(x;y) và các đạo hàm riêng của nó: x
, liên tục trong miền D thì ở trong miền D, x y
, nghĩa là các đạo hàm riêng cấp hai x y
Đạo hàm liên tục trong miền D không phụ thuộc vào thứ tự của các biến, và định lý này có thể được mở rộng cho các hàm với nhiều hơn hai biến số cùng với các đạo hàm riêng cấp cao.
nếu các đạo hàm riêng này liên tục
3) u = Z 2 y 2 e x y 2 x 2 ' x Z e u ; u xy '' 2 yZ 2 e x y 2 ; u xyz ''' 4 yZe x y 2 y 2 x 2 ' y 2yZ e u ; u yx '' 4yZe x y 2 ; u yz '' 4yZe x y 2 y 2 x ' z 2 Ze u ; y 2 x zx '' 2 Ze u ; y 2 x zxy ''' 4yZe u
Vậy: u xyz ''' u yzx ''' u zxy ''' 4yZe x y 2
Vi phân toàn phần 19 1 Định nghĩa
Xét hàm Z = f(x; y), nếu ta cho x một số gia x, cho y một số gia y thì hàm Z
= f(x; y) có một số gia tương ứng Z = f(x; y) = f(x +x; y +y) gọi là số gia toàn phần của hàm Z = f(x; y) tại M(x; y) Nếu tại điểm M(x; y), có:
Trong đó A, B là những đại lƣợng không phụ thuộc vào x, y Còn (x;y) là một vô cùng bé cấp cao hơn 2 x 2 y khi 0 Khi đó ta nói rằng hàm số
Và biểu thức A.x + B.y đƣợc gọi là vi phân toàn phần của Z = f(x; y) tại điểm M(x; y)
Ký hiệu: dZ hay df(x; y) dZ = A.x + B.y
Nếu hàm Z = f(x; y) khả vi tại mọi điểm (x; y)D thì ta nói rằng hàm Z = f(x; y) khả vi trong miền D
Chú ý: Nếu A 0 hoặc B 0 thì dZ 0
Tại điểm M(x; y), sự khác biệt giữa Z và dZ chỉ là một đại lượng vô cùng nhỏ (x, y) có cấp cao hơn khi tiến tới 0, cho thấy rằng tại M(x; y), Z tương đương với dZ, tức là dZ là phần chính bậc nhất của Z.
Định lý 1: Nếu hàm Z = f(x; y) khả vi tại M(x; y) thì tại M(x; y) hàm Z = f(x; y) có các đạo hàm riêng theo biến x, biến y
Vì x và y là các biến số độc lập nên x = dx; y = dy đều là những hằng số nên y y x Z x dZ Z
Định lý 2: Nếu tại M(x; y) hàm Z = f(x; y) có các đạo hàm riêng liên tục theo biến x, y thì hàm số Z = f(x; y) khả vi tại M(x;y)
1) Định lý 1 và định lý 2 nói trên là điều kiện cần và đủ để hàm Z = f(x;y) khả vi
Định lý 1 là điều kiện cần, trong khi định lý 2 là điều kiện đủ Cần lưu ý rằng điều kiện liên tục của hàm số rất quan trọng; nếu không xem xét điều kiện này, định lý 2 sẽ không còn chính xác.
2) Biểu thức: f(x;y)Z = f(x;y)dx gọi là vi phân riêng đối với x của Z = f(x; y)
3) Suy ra quy tắc vi phân toàn phần của u = f(x 1 , x 2 , …, x n ) là n n
1) Tìm Z và dZ của Z = xy tại M(2;3) với x = 0,1; y = 0,2
Tại cùng điểm M(2, 3) thì Z = dZ = 0,72 – 0,70 = 0,02
Xét Z = f(x;y), giả sử tồn tại dy y dx Z x dZ Z
Vi phân toàn phần cấp một của hàm Z, ký hiệu là dZ, là hàm của Z theo các biến độc lập x và y Vi phân này có thể được lấy vi phân toàn phần thêm một lần nữa, dẫn đến vi phân toàn phần cấp hai của hàm Z.
người ta dùng ký hiệu lũy thừa 2 ( Z Z ) 2 d Z dx dy Z x y
Tương tự như vậy: Vi phân của vi phân toàn phần cấp 2 là vi phân toàn phần cấp 3 Kí hiệu: d 3 Z = d(d 2 Z); d 4 Z = d(d 3 Z)
Vi phân (toàn phần) của vi phân toàn phần cấp (n – 1) là vi phân toàn phần cấp n Kí hiệu: d n Z = d(d n –1 Z) = dy ) Z y dx Z x
Z Z Z Z dx dx dy dxdy dy x x y y x y
Ví dụ 4: Cho Z = e x siny y sin e
Z ' x x ; Z xx '' e x siny; Z xy '' e x cos y y cos e
) ydy cos ydx (sin e dy Z dx Z dZ ' x ' y x
d 2 Z Z xx '' dx 2 2 Z xy '' dxdy Z yy '' dy 2 =e x sinydx 2 + 2e x cosydxdy– e x sinydy 2
Nếu x và y là các biến số độc lập thì do x = dx; y = dy là hằng số nên ta có công thức (1) để tính d 2 Z
Nếu x và y là các hàm của các hàm số s và t, thì Z được biểu diễn dưới dạng Z = f(x; y), với x = x(s; t) và y = y(s; t) Trong trường hợp này, dx và dy không còn là hằng số, do đó vi phân d2Z không còn đúng như trước.
Từ (2) nếu x, y độc lập thì d 2 x = 0; d 2 y = 0 khi đó (2) trở về (1)
2.2.4 Ứng dụng để tính gần đúng
Tại điểm M0 (x0; y0), sự thay đổi của Z = f(x; y) được biểu diễn qua ΔZ và dZ, với ΔZ = dZ Do đó, chúng ta có thể sử dụng phương pháp này để ước lượng giá trị của số gia toàn phần ΔZ cũng như giá trị của hàm tại một điểm gần kề.
Phép tính này càng đúng bao nhiêu khi x ; y càng nhỏ bấy nhiêu
Ví dụ 5: 1) Tính gần đúng giá trị ln( 3 1 , 03 4 0 , 98 1 )
05 , arctg 1 = f(x o +x; y o +y), trong đó xo= y o = 1;x = 0,05;y = – 0,03 Áp dụng công thức xấp xỉ, ta có: y y y x x f x y x y f x f y y x x f
3) Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy r = 4 cm Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn Δh = Δr = 0,1 cm Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên
Ta có: V = r 2 h, V’ r = 2 rh, V’ h = r 2 Áp dụng công thức gần đúng, ta có: V(r+r;h+h) r 2 h+2 rh+ r 2 h
Đạo hàm của hàm hợp 24 2.4 Đạo hàm của hàm ẩn 26 BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 30 3.1 Cực trị tự do 30 3.2 Quy tắc tìm cực trị 30 3.3 Cực trị có điều kiện 32 3.3.1 Định nghĩa
Giả sử u = f(x;y) với x = x(s;t); y = y(s;t) Trong đó u là hàm hợp của hai hàm s, t u = f[x(s;t); y(s;t)] Tính u s
Giả sử u, x, y là các hàm khả vi Định lý cho rằng nếu u = f(x;y) với x = x(s;t) và y = y(s;t) thỏa mãn điều kiện các biến trung gian x(s;t) và y(s;t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm (a;b), đồng thời f(x;y) khả vi tại điểm (x₀;y₀) (x(a;b); y(a;b)), thì hàm hợp u = u(s;t) sẽ có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a;b) theo công thức: t y s y t x s x t s D y x D.
Ma trận Jacobi của x, y đối với t, s được định nghĩa là một ma trận chứa các đạo hàm riêng Định thức của ma trận này được gọi là định thức Jacobi của x, y đối với t, s, hay còn gọi là Jacobian của x, y đối với t, s.
Ví dụ 6: 1) Cho Z = e u sinv cho u = xy; v = x + y
2) Tính các đạo hàm riêng: u = e x lny, x = st, y = s 2 – t 2
1 đối xứng với x, y, z Do đó ta chỉ cần tính '' 2 u x Ta có:
Chú ý rằng nếu u = f(x; y) và y = y(x), thì u trở thành hàm số hợp của biến x Do đó, khái niệm đạo hàm toàn phần được đưa ra, kèm theo công thức tính toán tương ứng.
Trường hợp đặc biệt ta có đạo hàm toàn phần như sau:
Nhƣ vậy, đạo hàm của hàm Z đƣợc gọi là đạo hàm toàn phần theo biến x Kí hiệu: dx dZ dx
Ví dụ 7: Cho Z = x 2 + yvới y = sin 2 x thì x cos x sin 2 y. 2 x 1 dx 2
2.4 Đạo hàm của hàm ẩn
Giả sử y là hàm ẩn của biến x, x xác định bởi hệ thức F(x;y) = 0 (a)
Từ (a) lấy vi phân toàn phần của hai vế: dy 0 y dx F x
0 thì từ đó ta có y
Giả sử Z là một hàm ẩn phụ thuộc vào hai biến độc lập x và y, được xác định bởi phương trình F(x; y; z) = 0 Để tính đạo hàm riêng của hàm Z theo biến x và y, chúng ta sẽ xem xét từng biến x và y như những hằng số Sau đó, chúng ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm ẩn một biến để tìm ra kết quả.
Ví dụ 8: 1) Cho y là hàm ẩn của biến x đƣợc xác định 1 b y a x
2) Giả sử Z là một hàm ẩn của hai biến độc lập x, y đƣợc xác định bởi hệ thức:
Lấy đạo hàm toàn phần (hay vi phân) và xem y là hàm theo biến x hai vế của phương trình đã cho có: y + xy’ – e x siny – e x cosy.y’ = 0
Thay x = 1 vào phương trình hàm ẩn, nhận được y(1) – = e.siny(1)
Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm y(1) =
Lấy đạo hàm toàn phần hai vế, coi y = y(x) Ta có: 0
Lấy đạo hàm tiếp, ta có: 2yy’ 2 + y 2 y’’ = 2yy’ y y y 2 y ' ( 1 ' )
1) Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: a) z = x 2 y + 3xy 4 +4y 2 b) z = x y (x > 0) c) u x y z x 2 y 2 z 2 c) z = (sinx) xy (sinx > 0) d) x z arctg
2) Cho z = yln(x 2 – y 2 ) Chứng minh rằng: 1 z 1 z z 2 x x y y y
x Chứng minh rằng: x z 2 ' x xyz ' y yz
4) Tìm vi phân của các hàm số sau: a) ze sin y x 2 2 b) z 3 x 2 y 2 c) z = xy 2 d) x z arctg
6) Tính gần đúng giá trị của biểu thức: Aln( 1,03 3 0,98 1)
7) Cho z = e u sinv, với u = x 2 + y 2 , v = xy Tính z z x , y
9) Cho z = e x siny với x = uv, y = u + v Tính z z u , v
10) a) Cho z x 3 y trong đó y = sin 2 x Tính dz dx b) Cho z = arctg(x + y), y ln(x x 2 1) Tính dz dx , z x
11) Cho hàm z = sin 2 (x + y 2 ), trong đó x = cos 3 t, y = sin 3 t Tính dz dt
12) Cho z = x y , trong đó x = sint, y = t 2 Tính đạo hàm dz dt , x > 0
14) Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z = z(x,y) các định bởi phương trình: x 2 + y 2 + z 2 = 1
15) Tính các đạo hàm riêng của hàm z, biết: a) x 2 + z 3 – 3xyz = a 3 b) z 3 – x 3 – y 3 = a 3 c) x 3 + y 3 – z 3 = sin(xyz)
16) a) x 3 + y 3 + ln(x 2 + y 2 ) = a 2 Tính y’ b) y y sin y x x Tính dx dy c) z x z ln
y Tính dz và dx d) xe y + ye x – xe z = 1 Tính dz
17) Tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của các hàm số sau: a) z = 2x 2 y 3 ; b) z = sinx.cosy c) x y 2 z e
18) Cho hàm y z x.e x Chứng minh rằng:
Tính các đạo hàm riêng cấp hai và u (3) xyz
21) Cho y là hàm ẩn của x xác định bởi: 2 2 y ln x y arctg
22) Tính vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số: a) z = ln(x – y) b) z = (x + y)e x + y c)
BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
- Tìm đƣợc cực trị của hàm nhiều biến số (2 biến số)
- Tính đƣợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trong một miền đóng
Giả sử Z = f(x; y) là một hàm xác định và liên tục ở trong miền D, M 0 (x 0 ;y 0 )
Ta nói rằng hàm f(x; y) đạt đƣợc giá trị cực đại (cực tiểu) tại M 0 (x 0 ; y 0 ) nếu tại mọi điểm (x; y) thuộc một lân cận nào đó của M 0 (x 0 ; y 0 ) thì:
( f 0 0 0 0 với mọi x; y phải khá bé
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm f(x; y) đƣợc gọi là cực trị của hàm số
Tại M 0 (x 0 ; y 0 ) mà hàm đạt đƣợc cực trị gọi là điểm cực trị của hàm số
Cũng giống như hàm một biến, khái niệm cực trị của hàm nhiều biến số có tính chất địa phương Cụ thể, giá trị cực đại (hay cực tiểu) tại điểm M0 (x0; y0) là giá trị lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) mọi giá trị khác của hàm trong khu vực lân cận điểm M0, chứ không phải là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trong toàn bộ miền xác định.
3.2 Quy tắc tìm cực trị
Định lý 1: (điều kiện cần)
Nếu hàm Z = f(x; y) đạt cực trị tại điểm M0(x 0; y 0) thuộc miền D và tại điểm này hàm số có các đạo hàm riêng liên tục và hữu hạn, thì các đạo hàm riêng này phải bằng không Cụ thể, f’ x (x 0; y 0) = 0 và f’ y (x 0; y 0) = 0 Ngoài ra, định lý 1 cũng có thể được diễn đạt theo một hình thức khác.
* Nếu hàm khả vi Z = f(x;y) có cực trị tại M 0 (x 0 ; y 0 )D thì tại đây vi phân toàn phần của hàm Z = f(x;y) phải bằng 0
Định lý 1 chỉ là điều kiện cần, chưa đủ để xác định cực trị của hàm số Nếu Z = f(x; y) đạt cực trị tại điểm M0 (x0; y0), thì các đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm này phải bằng 0 Tuy nhiên, điều ngược lại không chắc chắn đúng; tức là, khi các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0, không thể khẳng định hàm số có cực trị tại điểm đó Hơn nữa, hàm số cũng có thể đạt cực trị tại những điểm mà không có đạo hàm.
Ta cũng gọi những điểm có đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không có đạo hàm là những điểm nghi ngờ cực trị
Định lý 2: Giả sử M 0 (x 0 ; y 0 ) là điểm nghi ngờ cực trị của hàm Z = f(x;y) và tại đây hàm Z = f(x;y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và ta gọi ; x
1 Nếu B 2 – AC < 0 thì Z = f(x;y) có cực trị tại M 0 (x 0 ; y 0 ) và hàm Z = f(x;y) đạt cực đại nếu A < 0, đạt cực tiểu nếu A > 0
2 Nếu B 2 – AC > 0 thì Z = f(x;y) không có cực trị tại M 0 (x 0 ; y 0 )
3 Nếu B 2 –AC = 0: chƣa kết luận đƣợc cực trị của hàm Z = f(x;y) tại M0(x 0 ; y 0 )
Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f(x,y):
2) Tìm các đạo hàm riêng cấp một: z x
4) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai:
5) Khảo sát từng điểm dừng: P 1 (x;y)
Nếu B 2 – AC = 0, không kết luận đƣợc, khảo sát bằng định nghĩa
Nếu B 2 – AC > 0, P 1 không là điểm cực trị
Nếu B 2 – AC < 0 và A > 0, P 1 là điểm cực tiểu
Nếu B 2 – AC < 0 và A < 0, P 1 là điểm cực đại
Tương tự xét các điểm còn lại
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
Tọa độ các điểm dừng là: M1(1; 1); M 2 (0; 0)
Ta có: B 1 2 A 1 C 1 936270 hàm số đạt cực tiểu tại M 1 (1; 1) và Z(M 1 ) = – 1
B 2 2 2 2 hàm số không có cực trị tại M 2 2.) Z = x 2 y 2
Chứng tỏ rằng tại M(0; 0) thì Z = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm Tại (0; 0) hàm đạt giá trị cực tiểu minZ = 0
3.3 Cực trị có điều kiện
Cực trị của hàm Z = f(x;y) trong miền D chứa điểm M0(x0; y0) được xác định khi giá trị của hàm Z tại M0 lớn hơn hoặc nhỏ hơn mọi giá trị khác Điều này được gọi là cực trị tự do hoặc cực trị tuyệt đối.
Để xác định cực trị của hàm Z = f(x;y) với điều kiện ràng buộc của x và y là (x;y) = 0 hoặc phương trình y = (x), cực trị của hàm Z tại điểm M0 (x0; y0) được gọi là cực trị có điều kiện hoặc cực trị tương đối.
Từ điều kiện ràng buộc giữa x; y: (x;y) = 0 Z = f(x;y) = f(x;(x)) Ta sẽ tìm cực trị điều kiện bằng cách sử dụng phương pháp cực trị của hàm một biến số
Ví dụ 2: Tìm cực trị của Z 1 x 2 y 2 với điều kiện y =a (0 < a < 1)
Tại x = 0 tức tại (0; a) hàm Z 1 x 2 y 2 đạt được cực trị tương đối maxZ = Z(1; a) = 1a 2
3.3.3 Phương pháp nhân tử của Lagrange
Phương pháp tìm cực trị có điều kiện có thể gặp khó khăn khi không thể dễ dàng rút ra giá trị y từ điều kiện (x;y) = 0.
Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f(x; y), người ta áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange Điểm M0 (x0; y0) thuộc R2 được xác định là điểm cực đại của hàm số với điều kiện φ(x; y).
0 nếu thỏa mãn φ(M0) = 0 đồng thời tồn tại lân cận đủ bé của M 0 trên đường cong φ(x;y) = 0, trong lân cận đó xảy ra bất đẳng thức f(M) < f(M 0 )
Điểm cực tiểu của hàm số được xác định với ràng buộc φ(x;y) = 0 Định lý về điều kiện cần cho hàm số có cực trị chỉ ra rằng nếu M0(x 0 ;y 0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số f(x;y) với ràng buộc φ(x;y) = 0, thì các điều kiện cần thiết phải được thỏa mãn.
- Các hàm f(x;y) và φ(x;y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân x y’
0 0 cận của M0(x 0 ;y 0 ) của đường cong ràng buộc φ(x;y) = 0
- M 0 (x 0 ;y 0 ) không phải là điểm dừng của hàm φ(x:y) Khi đó tồn tại số thực thỏa mãn hệ phương trình:
Lưu ý: Hàm số L(x;y;) = f(x;y) + φ(x;y) được gọi là hàm Lagrange và đƣợc gọi là nhân tử Lagrange
Để xác định giá trị và tọa độ x, y của điểm mà tại đó Z = f(x; y) đạt cực trị tương đối với φ(x; y) = 0, ta sử dụng nhân tử Lagrange như một điều kiện cần Điều kiện đủ có thể được suy ra từ các vấn đề thực tế và phương pháp Lagrange có thể mở rộng cho hàm nhiều hơn hai biến số Định lý về điều kiện đủ cho hàm số có cực trị yêu cầu rằng f(x; y) và φ(x; y) phải có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong lân cận của điểm (x₀; y₀), nơi (x₀; y₀; λ) là điểm dừng của hàm Lagrange.
Nếu d 2 L(x 0 ;y 0 ;) xác định dấu đối với dx, dy trong miền thỏa mãn ràng buộc:
( ; ) x ( ; ) y ( ; ) , 0 d x y x y dx x y dy dx dy thì f(x;y) đạt cực trị có ràng buộc tại (x 0 ;y 0 ) Đạt cực đại nếu d 2 L(x 0 ;y 0 ;) 0
Nếu d 2 L(x 0 ;y 0 ;) không xác định dấu trong miền nói trên thì hàm không đạt cực trị ràng buộc tại (x0;y 0 )
Sơ đồ khảo sát cực trị của f = f(x,y) với điều kiện (x;y) = 0
2) Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ:
3) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai:
4) Khảo sát từng điểm dừng:
+ Nếu d 2 F(P 1 ) > 0 thì P 1 là điểm cực tiểu
+ Nếu d 2 F(P 1 ) < 0 thì P 1 là điểm cực đại
Tương tự cho các điểm còn lại
+ Để khảo sát d 2 F(P 1 ) đôi khi ta cần sử dụng điều kiện: (x;y) = 0
, từ đây suy ra dx theo dy hoặc dy theo dx
+ Trong bài toán cực trị có điều kiện, dx và dy không đồng thời bằng 0 + Nếu có nhiều hơn một điều kiện: 1 (x;y) = 0; 2 (x;y) = 0,…
Lập hàm F(x;y; 1 ; 2 ) = f(x;y) + 1 1 (x;y) + 2 2 (x;y) và khảo sát tương tự như trường hợp một điều kiện
Phân tích một số dương a thành tổng của ba số dương x, y, z sao cho tích của chúng u = xyz đạt được giá trị lớn nhất u = xyz, x + y + z = a (x, y, z > 0)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền đóng 35 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 37 BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP 37 1.1 Khái niệm về tích phân hai lớp 37 1.1.1 Bài toán về thể tích của vật thể hình trụ cong
Hàm nhiều biến số Z = f(x; y) liên tục trên miền đóng D sẽ đạt ít nhất một giá trị lớn nhất M và một giá trị nhỏ nhất m trong miền này Cực trị của hàm có tính chất địa phương, do đó nếu Z = f(x; y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một điểm trong miền D, điều này cho thấy sự tồn tại của các cực trị trong hàm.
Điểm M0 (x0; y0) thuộc miền D phải là điểm cực trị của hàm Hơn nữa, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm cũng có thể đạt được ngay trên biên của miền D.
Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm trong miền đóng
Để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong miền D, trước tiên cần tìm điểm cực trị của hàm trong miền này Sau đó, so sánh các giá trị của hàm tại điểm cực trị với giá trị ở biên của miền D.
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm Z = x 2 – y 2 trong hình tròn đóng: x 2 + y 2 4
Tìm cực trị của hàm số Z = x 2 – y 2 tại những điểm trong của miền: x 2 + y 2 < 4
Z = f(x;y) = x 2 – y 2 không có cực trị Hình 1.17
x 2 = 4 – y 2 = 4 x = 2 Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm: m = – 4 tại M 1 (0;2) và M 2 (0; – 2)
Giá trị nhỏ nhất của hàm: M = 4 tại M3(–2;0) và M 4 (2;0)
1) Tìm cực trị của các hàm số: a) z = x 2 + y 2 + xy – 3x – 6y b) 1 x y z xy (47 x y)
2) Tìm cực trị của các hàm số: a) z = 6 – 4x – 3y, với điều kiện x 2 + y 2 = 1 b) z = 6 – 5x – 4y, với điều kiện x 2 – y 2 = 9 c) z = 2x 2 + 12xy + y 2 , với điều kiện x 2 + 4y 2 = 25
3) Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) f(x,y) = x 2 + y 2 – xy + x + y trong miền D {(x,y):x 0, y 0, x y 3} b) f(x,y) = 2x 2 + 2y 2 + (x – 1) 2 + (y – 1) 2 trong miền tam giác OAB, A(1,0), B(0,1) x y
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Tích phân xác định có ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ học, vật lý và kỹ thuật, nhưng thường chỉ phụ thuộc vào một biến số, điều này hạn chế khả năng ứng dụng Việc mở rộng hàm một biến sang tích phân đơn đã nâng cao khả năng ứng dụng, cho phép tính khối lượng của các vật thể hai và ba chiều, từ đó tính được khối tâm và mô men quán tính Nội dung này giới thiệu phương pháp tính tích phân hai lớp, ba lớp và có thể mở rộng cho tích phân bội n lớp Các khái niệm về tích phân bội tương tự như tích phân xác định, đều dựa trên sơ đồ vi phân Để học tốt, sinh viên cần nắm vững các phương pháp tính tích phân xác định và mô tả miền xác định của hàm nhiều biến.
Sinh viên cần nắm vững các kiến thức cơ bản về tích phân hai lớp và tích phân ba lớp, cùng với các ứng dụng thực tiễn của những loại tích phân này.
BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
Mô tả được miền lấy tích phân bội hai bằng hình học và hệ các bất phương trình Từ đó suy ra các cận của các tích phân đơn
Trong một số trường hợp nên thực hiện phép đổi biến số để tính dễ dàng hơn, đặc biệt thường chuyển sang tọa độ cực
1.1 Khái niệm về tích phân hai lớp
1.1.1 Bài toán về thể tích của vật thể hình trụ cong
Vật thể hình trụ cong là một đối tượng được giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, với một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và một mặt cong mà mọi đường thẳng song song với trục Oz chỉ cắt nó tại một điểm duy nhất Để tính thể tích V của vật thể hình trụ cong này, ta cần áp dụng các công thức liên quan đến hình học không gian.
Giả sử đáy dưới của một vật thể là miền phẳng hữu hạn D, được giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng (Oxy) với mặt trụ Đáy trên của vật thể là một mặt cong được biểu diễn bằng phương trình Z = f(x; y), trong đó f(x; y) là hàm liên tục và đơn trị với giá trị không âm trong miền D.
Chia tùy ý miền D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau Gọi tên và có diện tích của những mảnh nhỏ đó là S 1 , S 2 , …, S n
Mỗi mảnh nhỏ được chia tạo thành một vật thể hình trụ nhỏ, với mặt xung quanh có đường sinh song song với trục Oz, trong khi phía trên được giới hạn bởi mặt cong.
Z = f(x;y) Khi đó vật thể hình trụ xoay sẽ đƣợc chia ra làm n hình trụ xoay nhỏ
Trong Z = f(x;y).S i (i1,n) thì f(x i ;y i ).S i là thể tích hình trụ thẳng có đáy
Khi diện tích S i nhỏ, hàm f(x;y) có thể coi là gần như không đổi trên đoạn này, dẫn đến f(x;y) ≈ f(x i , y i ) Do đó, thể tích V i của vật thể hình trụ nhỏ thứ i có thể được xấp xỉ bằng công thức V i f(x i ;y i ).S i.
Nếu mọi mảnh S i đều khá nhỏ thì thể tích V của hình trụ cong đã cho xấp xỉ gần bằng:
Thể tích V của vật thể hình trụ cong sẽ càng chính xác khi số lượng mảnh ΔSi tăng lên (n lớn) và kích thước các mảnh ΔSi giảm xuống (ΔSi nhỏ) Điều này có nghĩa là V được xác định bằng giới hạn của tổng các mảnh ΔSi khi n tiến đến vô cùng và đường kính lớn nhất di tiến đến 0.
1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp
Giả sử f(x;y) là một hàm xác định trong miền phẳng hữu hạn D của mặt phẳng Oxy Chúng ta chia miền D thành n miền nhỏ không chồng lấn lên nhau, và đặt tên cũng như diện tích của các miền này là S 1, S 2, …, S n.
Trong miền Si (i1,n) lấy tùy ý Mi(x i ;y i ) và lập tổng
I gọi là tổng tích phân của hàm f(x;y) ở trong miền D
Khi n tiến tới vô cùng và max d i tiến tới 0 (với d i là đường kính của S i), nếu I n hội tụ về I mà không phụ thuộc vào cách chia miền D hay cách lấy Mi(x i; y i), thì giới hạn này được gọi là tích phân hai lớp của hàm f(x; y) trong miền D.
f(x;y): hàm số dưới dấu tích phân
S : yếu tố diện tích của miền D
x, y : biến số lấy tích phân
Cách tính tích phân hai lớp 39 1 Đƣa về tích phân lặp
1.2.1 Đƣa về tích phân lặp
Ví dụ 1: Xác định cận của tích phân
D y)dxdy f(x, với miền D xác định bởi các đường: a) y = 0, y = x, x = 2 b) y = 0, y = x 2 , x + y = 2
Giải: a) Có hai cách biểu diễn D: D = {(x;y): 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x} hoặc D = {(x;y): 0 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
, ( dx y)dxdy f(x, y x dx y x f dy y x f b) Có 2 cách biểu diễn D: D = {(x;y): 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 2 – y}
Do đó: x f x y dx dx 2 x f x y dy
D xydxdy, D giới hạn bởi các đường y = x – 4, y 2 = 2x Giải: Hoành độ giao điểm:
Do đó, miền D đƣợc biểu diễn:
1.2.2 Đổi biến trong tích phân kép a Đổi biến tổng quát
Giả sử x = x(u,v), y = y(u,v) là hai hàm có đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng, bị chặn D uv Gọi D xy = {(x;y) : x = x(u,v); y = y(u,v); (u,v)D uv }
Nếu f(x,y) khả tích trên Dxy và định thức Jacobi:
trên D uv thì ta có:
D dxdy , với D giới hạn bởi các đường: y = 1 – x, y = 2 – x, y = 2x – 1, y = 2x – 3
Giải: Các đường thẳng viết lại x + y = 1, x + y = 2, 2x – y = 1, 2x – y = 3 Đặt u = x + y, v = 2x – y thì: 2
b Tích phân kép trong tọa độ cực
Công thức liên hệ tọa độ:
Do vậy: ( , ) ( os , sin ) xy r
sin cos r y r x vào phương trình (x –1) 2 + y 2 = 1, ta được r = 2cos
I e dxdy với D là hình tròn x 2 + y 2 = R 2
Giải: Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta có:
, trong đó: a) D là miền giới hạn bởi: y = x, y = 2 – x 2 b) D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x 2 và x + y = 2
3) Tính theo biến x trước y sau tích phân được cho bởi bài 2)
với D là miền phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x, y = 3x, y = x 2 , y = 3x 2
Ix ydxdy với D giới hạn bởi x 2 y 2 , y = 2x 2 , y = 4
6) Đổi thứ tự lấy tích phân: a)
với D là miền phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x, y = 3x, y = x 2 , y = 3x 2 (bằng phương pháp đổi biến)
Ie dxdy với D là miền tròn: x 2 y 2 R 2
, với D là miền giới hạn bởi x 2 + y 2 = ay (a > 0)
I r sin drd , với D là miền giới hạn bởi: r = 2 + cosφ, r = 1
, trong đó D là miền giới hạn bởi
I (x y)dxdy với D là miền tròn: (x 3) 2 (y 3) 2 1
TÍCH PHÂN BA LỚP 43 2.1 Định nghĩa và tính chất 43 2.1.1 Định nghĩa
Tính chất
5) Nếu f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, bị chặn V thì tồn tại điểm (x o ,y o ,z o )V sao cho:
( (Định lý về giá trị trung bình)
Cách tính tích phân bội ba 44 1 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes
2.2.1 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes
Cho V giới hạn bởi: Mặt trên: z = φ 2 (x,y), mặt dưới: z = φ 1 (x,y)
Xung quanh mặt trụ, có đường sinh song song với trục Oz, trong khi đường chuẩn được xác định là biên của miền D trên mặt phẳng Oxy, với D là hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy.
Ví dụ 6: Cho miền V giới hạn bởi các mặt: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z = 2
V dxdydz z y x f ( , , ) theo các thứ tự: a) dxdydz b) dxdzdy c) dydzdx
Giải: a) Hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy là miền:
V dz z y x f dy dx dxdydz z y x f b) Hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxz là miền:
, , ( c) Hình chiếu V xuống mặt phẳng Oyz là:
Giới hạn trên của V là: x = 2 – y - 2z
Giới hạn dưới của V là: x = 0
V dxdydz z y x f ( , , ) , V là miền giới hạn bởi các mặt: z = x 2 + y 2 ; z = 4; x = 0; y = 0
Hỡnh chiếu của miền V xuống mặt phẳng Oxy là ẳ hỡnh trũn:
2.2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ trụ
Toạ độ trụ của điểm M(x,y,z) là bộ ba số (r,φ,z), với (r,φ) là toạ độ cực của hình chiếu của M xuống mặt phẳng Oxy (Hình 2.6)
Mối liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ trụ:
V V dz rdrd z r r f dxdydz z y x f ( , , ) ( cos , sin , )
( 2 2 với V là miền giới hạn bởi z = x 2 + y 2 ; z = 4 Hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn x 2 + y 2 ≤ 4
Chuyển sang toạ độ trụ:
2.2.3 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ cầu
Toạ độ cầu của điểm M(x,y,z) được xác định bởi bộ ba số (r,θ,φ), trong đó r là khoảng cách từ gốc O đến điểm M, θ là góc giữa trục Oz và đoạn thẳng OM, và φ là góc giữa trục Ox và đoạn thẳng OM Điểm M’ là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy.
Ta có: Với mọi điểm M trong không gian thì r ≥ 0; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ φ ≤ 2π
Mối liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cầu:
cos sin sin cos sin r z r y r x
Công thức tích phân trong hệ toạ độ cầu:
V V d drd r r r r f dxdydz z y x f ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin
I ( 2 2 2 ) với V là miền giới hạn bởi hai mặt cầu: x 2 + y 2 + z 2 = 1; x 2 + y 2 + z 2 = 4
Chuyển sang hệ toạ độ cầu, ta có:
I 2 2 2 với V là miền giới hạn bởi x 2 +y 2 +z 2 ≤z
Chuyển sang hệ toạ độ cầu ta có:
Miền V xác định bởi 0 ≤ r ≤ cosθ; 0 ≤ θ ≤
, a) với V là miền đƣợc xác định bởi: 0 x 1, 2 y 5, 2 z 4 b) với V là miền đƣợc xác định bởi: x + y + z = 1 x = 0, y = 0, z = 0
, a) với V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x 2 + y 2 = 2x, và các mặt phẳng x = 0, y = 0, z =a b) với V là miền giới hạn bởi nữa trên hình vành cầu a 2 x 2 y 2 z 2 b 2 , z ≥ 0
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP VÀ BA LỚP 49 3.1 Ứng dụng trong hình học 49 3.1.1 Tính diện tích hình phẳng
Tính thể tích của vật thể V
Tính thể tích V có thể dùng tích phân hai lớp hoặc ba lớp
, trong đó f(x;y) 0 liên tục, đơn trị trong miền D
Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể đƣợc giới hạn bởi các mặt: x 2 y 2 2;
4 v ( chuyển sang hệ tọa độ trụ:
Tính thể tích của vật thể đƣợc giới hạn bởi các mặt
Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể đƣợc giới hạn bởi các mặt Z1x 2 y 2 ;
Giao tuyến của hai mặt cong là một Đường tròn x 2 + y 2 = 2 nằm trên mặt phẳng Z = 2 ,
V dxdydz v chuyển sang hệ tọa độ trụ: Hình 2.7
Tính diện tích của mặt cong
Trong không gian Oxyz cho mặt cong có phương trình là Z = Z(x;y), Z(x;y) là
O Z= 4 – (x 2 + y 2 ) hàm liên tục; đơn trị trong miền D và các đạo hàm riêng liên tục trong D với D là hình chiếu của mặt cong S trên mặt phẳng Oxyz
Tính diện tích S của mặt cong S đã cho
Chia miền D thành n nhánh nhỏ không chồng chéo, mỗi nhánh được gọi là 1, 2, , n với diện tích tương ứng Trên từng nhánh i, chọn một điểm M i (x i ;y i ) Từ điểm M i trong miền i, xác định điểm P i (x i ;y i ;z i ) thuộc tập S.
Gọi t i là mảnh của mặt phẳng tiếp xúc T i có hình chiếu trên Oxy là mảnh i
Do tính chất liên tục của Z = Z(x;y), tại những điểm gần điểm Pi, mảnh phẳng ΔTi sẽ tương tự như mảnh của mặt cong S.
(d i là đường kính của mảnh i ) thì giới hạn này được gọi là diện tích S của mặt cong S đã cho
Gọi I là góc tạo thành giữa mặt phẳng tiếp xúc T i với mặt phẳng (Oxy) đó là góc nhọn giữa trục Oz với n i của mặt cong S tại P i i i i cos
Từ ba hệ số chỉ phương của pháp tuyến n i tại P i và tại M i (x i ,y i )
Do các đạo hàm riêng liên tục: x z
nên khi n sao cho Maxd i 0 thì
luôn luôn tồn tại và do đó ta nhận đƣợc công thức tính diện tích S của mặt cong S đã cho:
1 , D _ hình chiếu của mặt cong S
Ví dụ 4: Tính diện tích phần mặt Paraboloit Z = x 2 + y 2 bị cắt bởi mặt trụ (x 2 + y 2 ) = 1
( 4 1 Chuyển sang tọa độ trụ:
Ứng dụng trong vật lý 52 1 Tính khối lƣợng của vật thể
3.2.1 Tính khối lƣợng của vật thể
Khối lƣợng m của một vật thể hữu hạn V không đồng chất có khối lƣợng riêng tại mỗi điểm M(x;y;z) V là = (M) = (x;y;z) dxdydz ) z , y , x ( m
Để tìm khối lượng m của hình trụ bị giới hạn bởi các mặt x² + y² = 1, z = 0 và z = 1, ta cần biết rằng khối lượng riêng tại mỗi điểm M(x, y, z) tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng Oxy.
Vì khối lƣợng riêng tại mỗi điểm đó đến mặt phẳng Oxy nên = k.Z (k: hằng số) m kz dxdydz k z dxdydz
Chuyển sang hệ tọa độ trụ:
3.2.2 Tính tọa độ trọng tâm của một vật thể
Tọa độ trọng tâm M0 (x0; y0) của một vật thể hữu hạn V không đồng nhất, với khối lượng riêng tại mỗi điểm được xác định bởi hàm = (x; y; z), có thể được tính toán từ tọa độ trọng tâm của hệ thống n chất điểm.
Nếu V là một vật thể đồng chất là hằng số
Ví dụ 6: Tìm tọa độ trọng tâm của một hình lập phương 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1
Nếu khối lƣợng riêng của nó tại mỗi điểm là = x + y + z
dx dy (x xy xz)dz
1) Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: a) y 2 – 2y = x, x – y = 0 b) đường Axtroit:
3 3 3 x y a ; c) Đường Lemnitscat: (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 xy (a > 0) d) Giới hạn bởi: 1 7 1 y x 1; y x 3; y x ; y x 5
2) Tính thể tích vật thể: a) Giới hạn bởi các mặt: x 2 + y 2 = 4, 2z = x 2 + y 2 và z = 0 b) Giới hạn bởi các mặt: x 2 + y 2 = 2z, z = 6 - x 2 - y 2 c) Hình Elipxoit:
2 2 2 x y z a b c 1 d) Giới hạn bởi các mặt: y = 2 x , y = x + 1, z = x 2 + y 2 , z = 2x 2 + y 2 e) Giới hạn bởi các mặt: x 2 + y 2 + z 2 = 2z, x 2 + y 2 = z 2
Để tính diện tích mặt cong, ta xem xét ba phần chính: Thứ nhất, phần mặt cầu được xác định bởi phương trình x² + y² + z² = a², nằm bên trong mặt trụ với phương trình x² + y² = ay (với a > 0) Thứ hai, phần mặt y = x² + z² bị cắt bởi mặt trụ x² + z² = 1 trong góc phần tám thứ nhất Cuối cùng, phần mặt nón được mô tả bởi x² - y² - z² = 0, nằm bên trong mặt trụ x² + y² = 1.
Để tính khối lượng của một bản phẳng hình vuông có cạnh a, ta cần biết rằng khối lượng riêng tại mỗi điểm tỷ lệ với bình phương khoảng cách từ điểm đó đến tâm của bản phẳng, với tỷ lệ này được ký hiệu là k.
5) Tính môment quán tính của hình giới hạn bởi các đường: a) y = 4x, x + y = 3, y = 0 đối với trục Ox b) x + y = 2, x = 0, y = 0 đối với góc tọa độ
Để tính môment tĩnh của bản phẳng đồng chất với mật độ ρ(x, y) = ρ₀ đối với các trục Ox và Oy, ta cần xác định tọa độ trọng tâm của bản phẳng Bản phẳng được giới hạn bởi các đường y = x², y = 2x², x = 1 và x = 2 Việc tính toán này sẽ giúp xác định các giá trị môment tĩnh cần thiết cho các ứng dụng trong cơ học và kỹ thuật.
7) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt: x 2 + y 2 + z 2 = 2z, x 2 + y 2 = z 2
8) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt: (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 3 z
9) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 6 mặt: x y z 3 x 2y z 1 x 4y z 2
Để tính khối lượng của vật thể giới hạn bởi mặt trụ x^2 = 2y và các mặt phẳng y + z = 1, 2y + z = 2, ta cần xác định khối lượng riêng tại mỗi điểm của thể tích, được cho là bằng tung độ của điểm đó.
11) Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi các mặt: x+y=1
12) Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi các mặt: x 2 +y 2 *z; x 2 +y 2 +z 2 = 3a 2 (a > 0, z > 0)
13) Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi các mặt: 2x+3y-12 = 0
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT VÀ ỨNG DỤNG 56 BÀI 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I 56 1.1 Định nghĩa 56 1.2 Cách tính tích phân đường loại I 57 BÀI 2 : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 59 2.1 Bài toán công của một lực biến thiên 59 2.2 Định nghĩa tích phân đường loại II 60 2.3 Cách tính tích phân đường loại II 61 2.4 Mối liên hệ giữa hai loại tích phân đường 63 2.5 Công thức Green 63 2.6 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân 65 BÀI 3: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 69 3.1 Định nghĩa 69 3.2 Cách tính tích phân mặt loại I 69 BÀI 4: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 71 4.1 Mặt cong hai phía 71 4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 71 4.3 Cách tính tích phân mặt loại II 73 4.4 Công thức OXTRÔGRATXKI 75 4.5 Công thức Xtốc 76 CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I, II VÀ ỨNG DỤNG 78 BÀI 1: TỔNG QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 78 1.1 Các bài toán thực tế 78 1.1.1 Bài toán 1
Định nghĩa
Giả sử Z = f(x;y) là một hàm số xác định và liên tục trong miền D Khi giữ y không đổi và cho x một số gia nhỏ Δx ≠ 0, hàm Z = f(x;y) sẽ có một số gia tương ứng, được gọi là số gia riêng theo biến x của hàm tại điểm M(x; y).
Tương tự, giữ x không đổi, cho y một số gia y 0 khá bé thì Z = f(x; y) có một số gia tương ứng là một số gia riêng theo biến y của hàm tại M(x; y),
) tiến tới một giới hạn xác định thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm riêng theo biến x (hoặc y) của hàm tại điểm M, kí hiệu: Z’(x) = f x ’(x; y) (Z y ’ = f y ’(x; y))
Để tính đạo hàm riêng theo một biến số, ta chỉ cần coi hàm số chỉ phụ thuộc vào biến đó, trong khi các biến khác được xem như không đổi Sau đó, áp dụng quy tắc tính đạo hàm cho hàm một biến để thực hiện việc tính toán.
Trong đó: f(x,y) biểu diễn bởi mặt S
Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c)S Cố định y = b Đường cong C 1 là giao của S và mặt phẳng y = b
Đường cong C1 được biểu diễn bằng phương trình g(x) = f(x, b) Hệ số góc của tiếp tuyến T1 tại điểm P(a, b, c) trên đường cong C1 được xác định bởi đạo hàm riêng theo x của hàm f, tức là g’(a) = f’ x (a; b).
Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T 2 với đường cong C 2 tại P(a,b,c)
4) Cho hàm f(x;y) = 4 – x 2 – 2y 2 Tìm f’x(1;1) và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này?
Mặt phẳng y = 1 cắt ngang được đường cong C 1
Tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng
Hệ số góc của tiếp tuyến với C 1 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm
Hình 1.11 Biểu diễn hình học:
Hình 1.12 Hình 1.13 Tìm f’ y (1;1) và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này?
Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh
Mặt phẳng x = 1 cắt ngang được đường cong C2
Tiếp tuyến với C 2 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng
Hệ số góc của tiếp tuyến với C 2 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm
Hình 1.14 Biễu diễn hình học của f’ y (1;1):
Tính chất của đạo hàm riêng
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến
Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x 0
Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x 0 ,y 0 ) nhƣng không liên tục tại điểm này
2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao
Giả sử Z = f(x;y) có các đạo hàm riêng theo biến x, y; x
Các đạo hàm riêng cấp một của hàm Z được xác định dựa trên các biến x và y Khi các đạo hàm riêng này tiếp tục phụ thuộc vào biến x và y, chúng được gọi là đạo hàm riêng cấp hai Ký hiệu cho đạo hàm riêng cấp hai của hàm Z theo biến x và y là: x y.
Định lý: Nếu hàm Z = f(x;y) và các đạo hàm riêng của nó: x
, liên tục trong miền D thì ở trong miền D, x y
, nghĩa là các đạo hàm riêng cấp hai x y
Đạo hàm liên tục trong miền D không phụ thuộc vào thứ tự của các biến, và định lý này có thể được mở rộng cho các hàm với nhiều hơn hai biến số cùng với các đạo hàm riêng cấp cao.
nếu các đạo hàm riêng này liên tục
3) u = Z 2 y 2 e x y 2 x 2 ' x Z e u ; u xy '' 2 yZ 2 e x y 2 ; u xyz ''' 4 yZe x y 2 y 2 x 2 ' y 2yZ e u ; u yx '' 4yZe x y 2 ; u yz '' 4yZe x y 2 y 2 x ' z 2 Ze u ; y 2 x zx '' 2 Ze u ; y 2 x zxy ''' 4yZe u
Vậy: u xyz ''' u yzx ''' u zxy ''' 4yZe x y 2
Xét hàm Z = f(x; y), nếu ta cho x một số gia x, cho y một số gia y thì hàm Z
= f(x; y) có một số gia tương ứng Z = f(x; y) = f(x +x; y +y) gọi là số gia toàn phần của hàm Z = f(x; y) tại M(x; y) Nếu tại điểm M(x; y), có:
Trong đó A, B là những đại lƣợng không phụ thuộc vào x, y Còn (x;y) là một vô cùng bé cấp cao hơn 2 x 2 y khi 0 Khi đó ta nói rằng hàm số
Và biểu thức A.x + B.y đƣợc gọi là vi phân toàn phần của Z = f(x; y) tại điểm M(x; y)
Ký hiệu: dZ hay df(x; y) dZ = A.x + B.y
Nếu hàm Z = f(x; y) khả vi tại mọi điểm (x; y)D thì ta nói rằng hàm Z = f(x; y) khả vi trong miền D
Chú ý: Nếu A 0 hoặc B 0 thì dZ 0
Tại điểm M(x; y), sự khác biệt giữa Z và dZ chỉ là một yếu tố vô cùng bé cấp cao hơn khi tiến tới 0 Điều này có nghĩa là tại M(x; y), ta có thể coi Z bằng dZ, với dZ là phần chính bậc nhất của Z.
Định lý 1: Nếu hàm Z = f(x; y) khả vi tại M(x; y) thì tại M(x; y) hàm Z = f(x; y) có các đạo hàm riêng theo biến x, biến y
Vì x và y là các biến số độc lập nên x = dx; y = dy đều là những hằng số nên y y x Z x dZ Z
Định lý 2: Nếu tại M(x; y) hàm Z = f(x; y) có các đạo hàm riêng liên tục theo biến x, y thì hàm số Z = f(x; y) khả vi tại M(x;y)
1) Định lý 1 và định lý 2 nói trên là điều kiện cần và đủ để hàm Z = f(x;y) khả vi
Định lý 1 xác định điều kiện cần, trong khi định lý 2 là điều kiện đủ Đặc biệt, cần lưu ý đến tính liên tục của hàm số trong định lý 2; nếu bỏ qua điều kiện này, định lý 2 sẽ không còn chính xác.
2) Biểu thức: f(x;y)Z = f(x;y)dx gọi là vi phân riêng đối với x của Z = f(x; y)
3) Suy ra quy tắc vi phân toàn phần của u = f(x 1 , x 2 , …, x n ) là n n
1) Tìm Z và dZ của Z = xy tại M(2;3) với x = 0,1; y = 0,2
Tại cùng điểm M(2, 3) thì Z = dZ = 0,72 – 0,70 = 0,02
Xét Z = f(x;y), giả sử tồn tại dy y dx Z x dZ Z
Vi phân toàn phần cấp một của hàm Z, ký hiệu là dZ, là hàm của Z theo các biến độc lập x và y, cho phép thực hiện vi phân toàn phần tiếp theo Vi phân của vi phân toàn phần cấp một được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của hàm Z.
người ta dùng ký hiệu lũy thừa 2 ( Z Z ) 2 d Z dx dy Z x y
Tương tự như vậy: Vi phân của vi phân toàn phần cấp 2 là vi phân toàn phần cấp 3 Kí hiệu: d 3 Z = d(d 2 Z); d 4 Z = d(d 3 Z)
Vi phân (toàn phần) của vi phân toàn phần cấp (n – 1) là vi phân toàn phần cấp n Kí hiệu: d n Z = d(d n –1 Z) = dy ) Z y dx Z x
Z Z Z Z dx dx dy dxdy dy x x y y x y
Ví dụ 4: Cho Z = e x siny y sin e
Z ' x x ; Z xx '' e x siny; Z xy '' e x cos y y cos e
) ydy cos ydx (sin e dy Z dx Z dZ ' x ' y x
d 2 Z Z xx '' dx 2 2 Z xy '' dxdy Z yy '' dy 2 =e x sinydx 2 + 2e x cosydxdy– e x sinydy 2
Nếu x và y là các biến số độc lập thì do x = dx; y = dy là hằng số nên ta có công thức (1) để tính d 2 Z
Nếu x và y là các hàm phụ thuộc vào các hàm số s và t, thì Z = f(x;y); với x = x(s;t) và y = y(s;t), do đó dx và dy không còn là hằng số Trong trường hợp này, vi phân bậc hai của Z sẽ không còn đúng như trước.
Từ (2) nếu x, y độc lập thì d 2 x = 0; d 2 y = 0 khi đó (2) trở về (1)
2.2.4 Ứng dụng để tính gần đúng
Tại điểm M0 (x0; y0), sự thay đổi của Z = f(x; y) được biểu diễn bằng ΔZ và dZ, với ΔZ = dZ Do đó, chúng ta có thể sử dụng công thức này để ước lượng giá trị gần đúng của số gia toàn phần ΔZ và giá trị của hàm tại một điểm lân cận.
Phép tính này càng đúng bao nhiêu khi x ; y càng nhỏ bấy nhiêu
Ví dụ 5: 1) Tính gần đúng giá trị ln( 3 1 , 03 4 0 , 98 1 )
05 , arctg 1 = f(x o +x; y o +y), trong đó xo= y o = 1;x = 0,05;y = – 0,03 Áp dụng công thức xấp xỉ, ta có: y y y x x f x y x y f x f y y x x f
3) Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy r = 4 cm Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn Δh = Δr = 0,1 cm Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên
Ta có: V = r 2 h, V’ r = 2 rh, V’ h = r 2 Áp dụng công thức gần đúng, ta có: V(r+r;h+h) r 2 h+2 rh+ r 2 h
2.3 Đạo hàm của hàm hợp
Giả sử u = f(x;y) với x = x(s;t); y = y(s;t) Trong đó u là hàm hợp của hai hàm s, t u = f[x(s;t); y(s;t)] Tính u s
Giả thiết rằng u, x, y đều là những hàm khả vi Định lý chỉ ra rằng nếu u = f(x;y) với x = x(s;t) và y = y(s;t) thỏa mãn điều kiện rằng các biến trung gian x(s;t) và y(s;t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm (a;b), và f(x;y) khả vi tại điểm (x0;y0) với (x(a;b); y(a;b)), thì hàm hợp u = u(s;t) sẽ có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a;b) được tính theo công thức: t * (y_s * y_t * x_s * x_t) = D_y * D_x.
Ma trận Jacobi của x, y đối với t, s được định nghĩa là một ma trận chứa các đạo hàm riêng của x và y theo t và s Định thức của ma trận này được gọi là định thức Jacobi hay Jacobian của x, y đối với t, s.
Ví dụ 6: 1) Cho Z = e u sinv cho u = xy; v = x + y
2) Tính các đạo hàm riêng: u = e x lny, x = st, y = s 2 – t 2
1 đối xứng với x, y, z Do đó ta chỉ cần tính '' 2 u x Ta có:
Chú ý rằng nếu u = f(x; y) và y = y(x), thì u trở thành hàm số hợp của biến x Do đó, khái niệm đạo hàm toàn phần được đưa ra, cùng với công thức tính tương ứng.
Trường hợp đặc biệt ta có đạo hàm toàn phần như sau:
Nhƣ vậy, đạo hàm của hàm Z đƣợc gọi là đạo hàm toàn phần theo biến x Kí hiệu: dx dZ dx
Ví dụ 7: Cho Z = x 2 + yvới y = sin 2 x thì x cos x sin 2 y. 2 x 1 dx 2
2.4 Đạo hàm của hàm ẩn
Giả sử y là hàm ẩn của biến x, x xác định bởi hệ thức F(x;y) = 0 (a)
Từ (a) lấy vi phân toàn phần của hai vế: dy 0 y dx F x
0 thì từ đó ta có y
Giả sử Z là hàm ẩn của hai biến số độc lập x và y, được xác định bởi hệ thức F(x; y; z) = 0 Để tính đạo hàm riêng của hàm Z theo biến x và y, ta coi x và y là hằng số, sau đó áp dụng công thức đạo hàm của hàm ẩn một biến.
Ví dụ 8: 1) Cho y là hàm ẩn của biến x đƣợc xác định 1 b y a x
2) Giả sử Z là một hàm ẩn của hai biến độc lập x, y đƣợc xác định bởi hệ thức:
Lấy đạo hàm toàn phần (hay vi phân) và xem y là hàm theo biến x hai vế của phương trình đã cho có: y + xy’ – e x siny – e x cosy.y’ = 0
Thay x = 1 vào phương trình hàm ẩn, nhận được y(1) – = e.siny(1)
Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm y(1) =
Lấy đạo hàm toàn phần hai vế, coi y = y(x) Ta có: 0
Lấy đạo hàm tiếp, ta có: 2yy’ 2 + y 2 y’’ = 2yy’ y y y 2 y ' ( 1 ' )
1) Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: a) z = x 2 y + 3xy 4 +4y 2 b) z = x y (x > 0) c) u x y z x 2 y 2 z 2 c) z = (sinx) xy (sinx > 0) d) x z arctg
2) Cho z = yln(x 2 – y 2 ) Chứng minh rằng: 1 z 1 z z 2 x x y y y
x Chứng minh rằng: x z 2 ' x xyz ' y yz
4) Tìm vi phân của các hàm số sau: a) ze sin y x 2 2 b) z 3 x 2 y 2 c) z = xy 2 d) x z arctg
6) Tính gần đúng giá trị của biểu thức: Aln( 1,03 3 0,98 1)
7) Cho z = e u sinv, với u = x 2 + y 2 , v = xy Tính z z x , y
9) Cho z = e x siny với x = uv, y = u + v Tính z z u , v
10) a) Cho z x 3 y trong đó y = sin 2 x Tính dz dx b) Cho z = arctg(x + y), y ln(x x 2 1) Tính dz dx , z x
11) Cho hàm z = sin 2 (x + y 2 ), trong đó x = cos 3 t, y = sin 3 t Tính dz dt
12) Cho z = x y , trong đó x = sint, y = t 2 Tính đạo hàm dz dt , x > 0
14) Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z = z(x,y) các định bởi phương trình: x 2 + y 2 + z 2 = 1
15) Tính các đạo hàm riêng của hàm z, biết: a) x 2 + z 3 – 3xyz = a 3 b) z 3 – x 3 – y 3 = a 3 c) x 3 + y 3 – z 3 = sin(xyz)
16) a) x 3 + y 3 + ln(x 2 + y 2 ) = a 2 Tính y’ b) y y sin y x x Tính dx dy c) z x z ln
y Tính dz và dx d) xe y + ye x – xe z = 1 Tính dz
17) Tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của các hàm số sau: a) z = 2x 2 y 3 ; b) z = sinx.cosy c) x y 2 z e
18) Cho hàm y z x.e x Chứng minh rằng:
Tính các đạo hàm riêng cấp hai và u (3) xyz
21) Cho y là hàm ẩn của x xác định bởi: 2 2 y ln x y arctg
22) Tính vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số: a) z = ln(x – y) b) z = (x + y)e x + y c)
BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
- Tìm đƣợc cực trị của hàm nhiều biến số (2 biến số)
- Tính đƣợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trong một miền đóng
Giả sử Z = f(x; y) là một hàm xác định và liên tục ở trong miền D, M 0 (x 0 ;y 0 )
Ta nói rằng hàm f(x; y) đạt đƣợc giá trị cực đại (cực tiểu) tại M 0 (x 0 ; y 0 ) nếu tại mọi điểm (x; y) thuộc một lân cận nào đó của M 0 (x 0 ; y 0 ) thì:
( f 0 0 0 0 với mọi x; y phải khá bé
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm f(x; y) đƣợc gọi là cực trị của hàm số
Tại M 0 (x 0 ; y 0 ) mà hàm đạt đƣợc cực trị gọi là điểm cực trị của hàm số
Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm
Nếu hàm f(x;y) liên tục trong miền nào đó chứa (x0, y 0 ) thì phương trình vi phân cấp 1 đã cho sẽ tồn tại một nghiệm y = y(x 0 ); nghiệm này nhận giá trị y 0 = y(x 0 )
Trong miền đã cho, hàm y = y(x) là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân cấp một Điều kiện để hàm này nhận giá trị y0 tại x = x0 được gọi là điều kiện đầu của phương trình vi phân cấp một, thường được ký hiệu là y(x0) = y0.
Nhƣ vậy về phương diện hình học mà nói thì: nếu hàm f(x;y) và y f
liên tục ở trong miền nào đó có chứa (x 0 , y 0 ) sẽ tồn tại và duy nhất một nghiệm: y = y(x) mà đồ thị của nó luôn luôn đi qua một điểm (x 0 , y 0 ).
Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một 80 2.2 Phương trình vi phân có biến phân ly 81 2.2.1 Định nghĩa
Ta gọi nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp một có dạng y=(x,c) trong đó c là hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình ấy
Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một được xác định từ nghiệm tổng quát bằng cách gán cho tham số c giá trị cụ thể c = c0.
Ví dụ 4: Phương trình vi phân y’ = – x ycó y x c là nghiệm tổng quát; y x
Khi giải một phương trình vi phân cấp một, chúng ta thường nhận được nghiệm tổng quát không chỉ ở dạng thông thường mà còn dưới dạng ẩn.
Hàm số (x,y,c) = 0, với c là hằng số tùy ý, thể hiện mối liên hệ giữa biến độc lập x và nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một, được gọi là tích phân tổng quát Khi đặt c = c0, ta có thể xác định giá trị cụ thể từ tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp một.
(x,y,c) = 0 gọi là một tích phân riêng của phương trình vi phân cấp một
Tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp một tạo ra một họ các đường cong trong mặt phẳng, phụ thuộc vào một hằng số tùy ý c Mỗi đường cong trong họ này được gọi là một đường cong tích phân riêng.
2.2 Phương trình vi phân có biến phân ly
Phương trình vi phân có biến phân ly có dạng: M(x)dx + N(y)dy = 0 (1), trong đó M(x), N(y) là những hàm phụ thuộc x, y (x là biến độc lập; y là hàm cần tìm)
Cách giải
Từ (1) ta có: M(x)dx = – N(y)dy
Lấy tích phân hai vế:
M ( x ) dx N ( y ) dy C và do đó tích phân tổng quát của (1)
Xét phương trình vi phân cấp một M 1 (x) N 1 (y)dx + M 2 (x) N 2 (y)dy = 0
Nếu M2(x), N 1 (y) 0 thì chia hai vế cho M 2 (x), N 1 (y)
1 và do đó tích phân tổng quát của (2)
2 thì bằng cách thử trực tiếp:
y = b (khi x a) thì chúng là nghiệm
Ví dụ 6: Giải phương trình: x 2 (y + 1)dx + (x 3 – 1)(y – 1)dy = 0 (1)
Tích phân tổng quát của phương trình ) dy C
Hàm f(x;y) đƣợc gọi là hàm đẳng cấp cấp k đối với x, y nếu f(x,y)= k f(x;y);
Khi k = 0, hàm f(λx, λy) sẽ bằng f(x, y), và chúng ta gọi f(x, y) là hàm đẳng cấp cấp 0 hay đẳng cấp đối với x và y Nếu f(x, y) là hàm đẳng cấp cấp k đối với x và y, nó luôn có thể được biểu diễn dưới dạng f(x, y) = x^k φ(xy).
CM: 0 nên ta có thể chọn x 1
Nếu f(x;y) là một hàm đẳng cấp đối với x, y thì nó luôn luôn đƣợc biểu diễn f(x;y) = ( x y)
Phương trình vi phân đẳng cấp 83 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I 85 2.4.1 Định nghĩa
Định nghĩa: Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một là phương trình y’ = f(x;y) trong đó f(x;y) là một hàm đẳng cấp đối với x, y nghĩa là f(x;y) = ( x y) và do đó y’=( x y) (1)
là phương trình vi phân đẳng cấp cấp một hay y’ ) 2 x
Cách giải: y’ = ( x y) (1) Đặt x y = u với u là một hàm số nào đó của x y = u.x
dx dy = u + x dx du u + x dx du = (x) x dx du = (u) – u (2)
Nếu (u) – u 0 (luôn luôn khác 0) thì từ (2) ta có x dx u ) u ( du
do đó lấy tích phân hai vế ln x ( ( u du ) u ) + ln C = (u) + ln C
Tích phân tổng quát của (1) là x = C.e ( x y )
x y hay dx dy x y y dy x dx
ln y ln x + lnC ln y = ln Cx
Nếu (u) – u = 0 tại một số hữu hạn giá trị u = u 0 , u = u 1, , u = u n ; y = u 0 x, y = u 1 x, …, y = u n x cũng là nghiệm của phương trình
( dx x ) = ( u 1 ( 1 u 2 u ) du 2 ) + ln C ln x – ln C = ( 1 u ( 1 2 u u 2 ) ) du
= ( x y) Đặt u x y y = u x y’ = u + x dx du u + x dx du u 1 u
1 ln 1 u 2 + 1 du u 2 ln x C arctgu 2 1 ln 1 u 2
Sang hệ tọa độ cực
1.e là họ những đường xoắn ốc logarit
2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng: y’ + p(x)y = q(x) (1) Trong đó: p(x), q(x) là những hàm số liên tục của biến x
Nếu q(x) = 0 thì (1): y’ + p(x)y = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất
Nếu q(x) 0 thì (1) gọi là phương trình không thuần nhất
Ví dụ 10: y’ + 3x 2 y = 0 là phương trình thuần nhất
là phương trình không thuần nhất
2.4.2 Cách giải Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1) thì trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng: y’ + p(x)y = C (2)
Nếu y 0 p ( x ) dx y dy p ( x ) dx ln C y dy
ln y p ( x ) dx ln C ln C y p ( x ) dx
y Ce p ( x ) dx (3) là nghiệm tổng quát của (1)
Nếu y = 0, nó cũng là nghiệm và là nghiệm riêng của phương trình (1) ứng với C=0
Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của (1) dưới dạng (3) ta sẽ coi C là hằng số của biến x:
Từ (3) có: dx dy=e p ( x ) dx dx dC + C[– p(x)] e p ( x ) dx thay vào (1):
p ( x ) dx e dx dC – Cp(x) e p ( x ) dx + p(x).C e p ( x ) dx = q(x) dC = q(x) e p ( x ) dx dx C = q ( x ) e p ( x ) dx dx (4) thì (3) là nghiệm của (1)
Vậy nghiệm tổng quát của (1) sẽ là: y = [ q ( x ) e p ( x ) dx dx ] e p ( x ) dx hay y = e p ( x ) dx + q ( x ) e p ( x ) dx dx e p ( x ) dx (5)
Ví dụ 11: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y 3 x x
' 1 y (1) và tìm một nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện y(1) = 1
Ta thấy (1) là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp một Trước hết ta giải:
C; C là hằng số tùy ý là nghiệm tổng quát của phương trình y 0 x
C = 3x C’ = 3x 2+ C = x 3 + Vậy: nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: y = (x 3 + ) x
y = x 2 là một nghiệm riêng của phương trình (1) thỏa mãn y’( x= 1 ) = 1
Phương trình BECNOULLI 86 1 Định nghĩa
Phương trình Becnoulli là phương trình có dạng: y’ + p(x).y = q(x).y , trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục của x còn là một số thực bất kỳ, {0, 1}
Với giả thiết y 0 chia cả hai vế (1) cho y , y’.y + p(x).y 1 = q(x) (2) Đặt Z = Z(x) = y 1 (*)
Z’ + (1 – ).p(x) Z = (1 – ) q(x) (3) phương trình (3) là phương trình tuyến tính cấp một không thuần nhất đối với Z = Z(x) là hàm số phải tìm
Giải phương trình (3) ta sẽ nhận được nghiệm Z = Z(x) và sau đó thay Z vào Z = y 1 thì ta được nghiệm tổng quát của phương trình Becnoulli
Giải phương trình: Z’ + 2xZ = 0 (*) dx dz = – 2xZ z dz = – 2x.dx
C = – x 3 e x 2 dx = – 2 1 x 2 e x 2 d ( x 2 ) = – 2 1 [x 2 e x 2 – e x 2 ] = 2 1 e x 2 (1 – x 2 ) + do đó nghiệm tổng quát của (2) là:
1(1 – x 2 ) + e x 2 Thay Z vào (2) nghiệm tổng quát của (1) là: Z = y - 1
Phương trinh vi phân toàn phần 88 1 Định nghĩa
Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 được xác định là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của nó là vi phân toàn phần của một hàm u(x;y) nào đó trong miền D.
2.6.2 Cách giải Để nhận biết phương trình (1) có phải là phương trình vi phân toàn phần hay không và tìm cách giải nó ta xét định lý sau:
Nếu P(x;y) và Q(x;y) là các hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một trong miền D, thì điều kiện cần và đủ để P(x;y)dx + Q(x;y)dy trở thành vi phân toàn phần của một hàm (x;y) nào đó trong D là tại mọi điểm (x;y) thuộc D.
Vậy: (x;y)D rõ ràng nếu P(x;y)dx + Q(x;y)dy là vi phân từng phần của hàm u(x;y) trong miền D
chứng minh Pdx + Qdy = du
Với u(x;y) trong miền D u(M) = u(x;y) = Pdx Qdy C với A(x 0 , y 0 ) là điểm cố định tùy ý trong miền D M(x;y) là điểm chạy tùy ý nằm trong miền D, C là hằng số tùy ý
Thật vậy: Trước hết do điều kiện (x;y)D: y
là điều kiện cần và đủ để
Pdx không phụ thuộc vào đường tích phân, cho phép chúng ta chọn đường tích phân là đường gấp khúc ALM hoặc ANM với các cạnh song song với các trục tọa độ Ví dụ, chúng ta có thể chọn đường tích phân là đường gấp khúc ALM.
Q + C (2) Tương tự như vậy nếu ta chọn đường lấy tích phân là ANM thì: u(x;y) =
P(x;y)dx + Q(x;y)dy là vi phân từng phần của một hàm u(x;y) mà u(x;y) đƣợc xác định bởi (2) hoặc (3)
nghiệm tổng quát của (1) là u(x;y) = đƣợc xác định bởi (2) hoặc (3)
1 Giải phương trình 2x.y dx + x 2 dy = 0 (1)
Q = x 2 liên tục cùng với các đạo hàm riêng của trong R 2
= 2x (1) là phương trình vi phân toàn phần
nghiệm tổng quát của (1) là: u(x;y) = C trong đó u xác địn bởi (2) hoặc (3) u(x;y) = x x 0
2 Giải phương trình: e x (2 + 2x – y 2 )dx – 2ye x dy = 0 (2)
(2) là phương trình vi phân toàn phần
nghiệm tổng quát của (1) là: u = (x;y) = C trong đó (x;y) đƣợc xác định bởi: u(x;y) = x x
1) Giải các phương trình sau: a) x(1 + y 2 )dx – y(1 + x 2 )dy = 0 b) x 1 y 2 dx y 1x 2 dy 0 c) Tìm nghiệm riêng của phương trình: (1 + x 2 )dy = xydx, biết rằng y(1) = 2 d) (x 2 + 2xy)dx + xydy = 0 e) (x + y)dx + (2x + 2y + 1) = 0
1y = 0 b) Tìm nghiệm của phương trình y’ + ycotgx = 5.e cosx biết: y(
) = – 4 c) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y’+ x
1y = 3x và tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1) = 1
3) Giải các phương trình sau: a) y’ – y = xy 5 b) y’ – x y