Tài liệu giảng dạy môn toán cao cấp

Định nghĩa: Đồ thị của hàm số y = fx là tập hợp các điểm M x, fx trong hệ toạ độ  Hàm số y = fx được gọi là hàm số đơn điệu hay đơn điệu nghiêm ngặt trên EDf nếu nó tăng hoặc giảm h

Trang 1

Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp 1

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Chương bổ sung : Các trường số ……….……….… …….2

Chương 1: Hàm số - Giới hạn -Liên tục….…….……… ……….… 6

Chương 2: Đạo hàm - Vi phân -Tính tích phân hàm một biến số……….…… ……16

Bài 1: Đạo hàm - Vi phân hàm một biến số .……… ……….…… ….…… 16

Bài 2: Phép tính tích phân hàm một biến số……….……….….………… 27

Chương 3: Lý thuyết chuỗi.………… … ……… ……… 44

Chương 4: Đạo hàm, -Vi phân - Hàm nhiều biến … ……… ……… … 52

Chương 5: Ma trận - Định thức – Hệ phương trình tuyến tính………… … ………61

Bài 1: Ma trận……… …… … ………….……… 61

Bài 2: Định thức……… ………….……….…… 66

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính……… … ………….……….… … 78

Chương 6: Phương trình vi phân cơ bản……… ……… 92

Tài liệu tham khảo……… 103

Trang 2

Một số hữu tỷ bao giờ cũng viết được dưới dạng một số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn

4

3

;25,04

2 1

 Số thập phân vô hạn tuần hoàn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) sẽ biểu thị số hữu tỷ

)1010

10

(110

101010

2 1 2

2 1

m m

n m n

a a

25000,04

1



Như vậy có sự đồng nhất giữa tập số hữu tỷ và tập các số thập phân vô hạn tuần hoàn

Một số biểu diễn được dưới dạng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô

tỷ Tập các số vô tỷ kí hiệu là: I

Ví dụ:

141592653,

3

414213562,

12

 Số phức là số có dạng: z = a + ib Trong đó a, bR, i là đơn vị ảo với i2 = - 1

 Ta ký hiệu: a = Rez gọi là phần thực; b = Imz gọi là phần ảo C là tập hợp tất cả các số phức

 Mục tiêu: Sau khi học xong phần này, người học nhận dạng được kiến

thức cơ bản về các trường số

Trang 3

 Số phức z = a + ib có thể biểu diễn hình học là một điểm M(a; b) trên mp Oxy

 Số phức zaibđựoc gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + ib, hai số phức liên hợp đối xứng nhau qua Ox

2.2 Dạng lượng giác của số phức

Ta biểu diễn số phức z = a + ib bởi vectơ OM , gọi 2 2

b a OM

Từ ý nghĩa hình học, ta có arcos;brsin zrcosisin

Ví dụ: Biểu diễn số phức z = 1 + i dưới dạng lương giác

b M(a; b)

z = a + ib

r 

0 a x

-b z aib

H 1.2

Trang 4

Ta có:

n n

rr

sin5

Khoảng là tập hợp các số thực ( các điểm ) nằm giữa hai số thực ( hay hai điểm ) nào đó

Phân loại khoảng:

Trang 5

5(

i

i i

5(

)1(3 5

a) (2i)x(12i)y 14i; b) (32i)x(13i)y49i

4.2.5 Tìm dạng lượng giác của những số phức sau:

;1)(

;3)(

;2)(

;5)

4.2.8 Nếu zC, hãy chứng minh:

(a) zR  z  z (b) z thuần ảo  zz

4.2.9 Chứng minh các tính chất sau đây của số phức:

1

(

2 1 2

1

2 1 2 1

z z z

z

z z z z

(3) |z1z2||z1||z2| khi và chỉ khi các véctơ bán kính Oz1,Oz2 đồng hướng;

(4) |z1z2| (|z1||z2|)khi và chỉ khi các véctơ bán kính Oz1,Oz2 ngược hướng 4.2.10 Chứng minh rằng:

(a) Nếu |z1|1 thì |z2 zi|3;(b) Nếu |z1|2 thì 1|z2 5|9.4.2.11 Viết dưới dạng lượng giác những phần tử của tập hợp sau:

.4)

(

;1)(

;)1(28)(

;)

4.2.12 Viết dưới dạng lượng giác những phần tử của tập hợp sau:

3

4 72(1 3); ( ) 1)

Trang 6

 x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc

 X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df

 Tập Y = yR\ y f(x),xD f được gọi là miền giá trị của hàm số, kí hiệu Rf

Ví dụ : Khi nuôi một con bò, quan sát quá trình tăng trọng của bò ta có mối liên hệ giữa thời gian nuôi t (ngày) và trọng lượng m (kg) của con bò là một hàm số m = m(t)

2 Định nghĩa: Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm M( x, f(x)) trong hệ toạ độ

 Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đơn điệu ( hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên EDf nếu

nó tăng hoặc giảm ( hay tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt ) trên E

Nếu ta sử dụng thuật ngữ trên mà không nhắc đến tập E thì coi như E = Df

Ví dụ: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-, 0] và tăng nghiêm ngặt trên[0, +)

Thật vậy, giả sử x1, x2  [0, +) và x1 < x2 Khi đó ta có

f(x1) – f(x2) = x1 – x2 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) < 0  f(x1) < f(x2)

Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt trên [0, +)

Chứng minh tương tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-, 0]

3.2 Hàm số chẵn và hàm số lẻ

 Tập X được gọi là tập đối xứng qua gốc toạ độ O nếu với bất kỳ

x X thì – x  X Người ta thường gọi tắt là tập đối xứng

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có:

+ Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = f(x)

+ Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = - f(x)

3.3 Hàm số bị chặn

 Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn dưới trên tập XDf nếu tồn tại số a R sao cho f(x)

 a xX

G = M(x,f(x),xD

 Mục tiêu: Sau khi học xong bài này, người học giải được các bài tập giới hạn

dãy số và dãy hàm một biến số

Trang 7

 Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên trên tập XDf nếu tồn tại số b R sao cho f(x)

x

4 < 4

1 Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = 2

2 Các hàm số y = tgx và y = cotgx tuần hoàn với chu kỳ T = 

3 Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T =

Trang 8

Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp 8

Nếu g là hàm ngược của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df

Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường thẳng y = x

Điều kiện để hàm y = f(x) có hàm ngược là hàm f phải đơn điệu trong miền xác định của nó

 Các hàm số lượng giác: y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = cotgx

 Các hàm lượng giác ngược: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx

i y = arcsinx:

y = sinx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ]

2

;2[ 

nên cĩ hàm ngược: x = arcsiny

Hàm ngược của y = sinx )

22

(  

x là y = arcsinx, đồ thị của nĩ đối xứng với đồ thị

của hàm y = sinx )

22

iii y = arctgx: y = tgx là hàm tăng nghiêm ngặt trên )

2

; 2 (  

nên nĩ cĩ hàm ngược: x = arctgy

Hàm ngược của hàm y = tgx )

22

(  

x là y = arctgx, đồ thị của nĩ đối xứng với đồ thị

22

+ Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép tốn đại

số thơng thường ( cộng, trừ, nhân, chia với mẫu khác khơng) và phép lấy hàm hợp từ những hàm

số sơ cấp cơ bản và các hằng số

Ví dụ :

13lg

22

3)4sin(

4cos

y

x y

x x

Ví dụ:

a {xn}, với xn = a n: a, a, a…

Trang 9

lim x a hay xn  a khi n  

lim x a và a > p (hay a < q) thì tồn tại số dương N sao cho n N xn p (hay xn < q)

3 Nếu dãy {xn } có giới hạn thì nó bị chặn, tức là tồn tại số M > 0 sao cho n

Trang 10

n n

lim xx

y lim y

III GIỚI HẠN HÀM CỦA HÀM SỐ

1 Các định nghĩa: Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số được xác định trong lân cận

điểm x0, không nhất thiết phải xác định tại x0

1.1 Định nghĩa: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L nếu với mọi dãy số {xn} trong lân cận của x0 thoã: x n  x0n và

 n  0n

lim x x thì

 n n

lim f(x ) L

Kí hiệu:

0

xlim f(x)x L hay f(x)  L khi x  x0

1.2 Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x  x0 nếu với mọi ε  0cho trước ( bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thoã 0 x x 0   ta có f(x) L  

1.3 Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn phải ( trái ) của hàm số f(x) khi x  x0 nếu với mọi ε  0 cho trước ( bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thoã

Trang 11

3 Xét: x10  x1  x1 ε x1, với mọi  > 0 (bé tùy ý)

Dựa vào giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn hàm số, ta suy ra các tính chất sau

1 Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

2 Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi xx0 và L > a (hay L < a ) thì trong một lân cận nào đó của x0(không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x)<a )

3 Nếu f(x)  g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và

8 Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt, khi đó nếu hàm f(x)

là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f(x) có giới hạn khi x  -

Đặt f u  u ; u(x) = 2x(x2 + 3x – 5), ta có    x 2    

lim u(x) lim2 x 3x 5 2 5

Trang 12

1

xChú ý: Khi tính giới hạn của hàm số chúng ta thường gặp các dạng vô định như :

   Nhận xét

 Nếu hàm f(x) là một VCB khi xx0 và khác 0 thì 1

f(x)là một VCL khi xx0

Trang 13

 Nếu f(x) là một VCL khi xx0 thì 1

f(x) là một VCB khi xx0

 Một hằng số có trị tuyệt đối bé đến đâu thì cũng không được coi là hàm VCB, một hằng số

dù cótrị tuyệt đối lớn đến đâu thì nó cũng chỉ là một số lớn chứ không phải là VCL

1.2 Định nghĩa: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi xx0 Ta bảo chúng là các VCB(VCL)

so sánh được nếu tồn tại giới hạn

Ví dụ:

Khi x  0 thì 1 – cos x và x2 là hai VCB cùng cấp với nhau

Vì

2 2

1) Tổng của hai VCB là một VCB (khi x  x0 )

2) Tích của một VCB với một đại lương bị chặn là một VCB (khi x x0)

Trang 14

1.2 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f

0

x 



Với x = x – x0 gọi là số gia của đối số x

f = f(x) – f(x0) = f(x0 + x) – f(x0), gọi là số gia của hàm f(x) ứng với x tại

x0

1.3 Định nghĩa: Hàm f(x) được gọi là liên tục trái ( phải )tại điểm x0 nếu:

 Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải ) điểm x0

Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại:

+ Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số f(x) khi x dần tới

x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x), còn  =

)(lim

)

(

lim

0 0

x f x

f

x x

x

x    được gọi là bước nhảy của f(x) tại x0

Đặc biệt: Nếu lim ( ) lim ( )

0 0

x f x

f

x x x

x    được gọi là điểm gián đoạn bỏ được

+ Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là điểm gián đoạn loại hai

Ví dụ : Xét sự liên tục trái, phải của hàm số

       (x)không liên tục trái tại x = 1

Chú ý: điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x0 là hàm f(x) phải liên tục trái và liên tục phải tại x0

2 Tính liên tục của hàm số sơ cấp

- Mọi hàm số sơ cấp f(x) nếu xác định x0 và trong lân cận tại x0 thì f(x) liên tục tại x0

- Mọi hàm sơ cấp f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó

3) f(x)  x2  1 liên tục tại mọi x 1x1x1

3 Các phép tính về hàm liên tục tại cùng một điểm

1) Nếu f1(x), f2(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu (f1(x)  f2(x));

+ Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì đồ thị của nó là một đường cong liền không bị ngắt quãng nối hai điểm A(a, f(a)); B(b, f(b))

+ Những tính chất quan trọng của hàm f(x) liên tục trên [a, b]:

Trang 15

i Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó bị chặn trên [a, b]

ii Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

 Câu hỏi củng cố:

1 Hãy nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trong khoảng, trên đoạn?

Hãy cho biết tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên một đoạn?

2 Bài tập tự luận: Tính các giới hạn sau:

2.1 Tính: 2

x 0

1 cos xlim

1 2x

x 0lim(1 sin x)

1

m n x

x x

1lim

1

x

x x





1 1lim

1 1

x

x x

sin 3lim

ln (1 2 )

x

x x

1 1

sin( 1)lim

ln

x x

e x

4

sin coslim

2

x

x x



1 coslim

Trang 16

2.1 Định lý: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x là hàm số f(x) có đạo

hàm trái và đạo hàm phải bằng nhau

2.2 Định lý: Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó Khi đó nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0

Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại x thì chưa thể suy ra nó có đạo hàm tại x

Ví dụ 2: Hàm số f(x) = x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đây

III Ý nghĩa của đạo hàm

3 1.Ý nghĩa hình học

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), trên (C) lấy hai điểm M0(x0, y0), M(x, y) Vị trí giới hạn nếu có của các tuyến M0M khi MM0 dọc theo đồ thị (C) được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 Với x xx0 ;y  y y0 ta có tỉ số

 Mục tiêu: Sau khi học xong bài này, người học có thể

- Tính đạo hàm, vi phân hàm một biến

- Tính được tích phân tích hàm một biến

Trang 17

Khi MM0 thì x 0 và giới hạn nếu có của

x

y



 là hệ số góc của tiếp tuyến Theo định nghĩa

của đạo hàm thì f’(x0) hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M0(x0, y0)

M

(C)

Xét một chất điểm M chuyển động trên trục Ox sao cho tại thời điểm t thì S(t) là khoảng

cách đại số OM Sau khoảng thời gian t tức là tại thời điểm t +t chất điểm ở vị trí M’

với khoảng cách đại số OM = S(t +, t), khi đó quảng đường đi của chất điểm trong khoảng thời gian

t là S( t + t ) – S(t) Do đó vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian t là tỉ số

0 ' là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t

4 Qui tắc tính đạo hàm

4.1 Định lý: Giả sử f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm tại x, khi đó các hàm tổng, hiệu,

tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại x và:

h(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0 và h’(x0) = h’(u0).u’(x0)

4.3 Định lý: Giả sử hàm y = f(x) có hàm ngược là f –1(x) Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0

và f'(x0)0 thì f –1(x) có đạo hàm tại y0 = f(x0) và  

) (

1 ) (

0 ' 0 ' 1

x f y

f 

Trang 18

BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP

x a

u

log

'

1 u 0; sin , sinx u cos ,x ucosu

cos , cosx u sin ,x usinu

n , tan

x

2cos

1

;' 2

ucos x

n , tan

cota x co u

x

2sin

1

' 2

usin x



arcsin , arcsinx u

21

Trang 19

trong đó A là đại lượng không phụ thộc vào x và ( x ) là vô cùng bé bậc cao hơn x ( nghĩa

là (x)0 khix0 ) thì ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 và đại lượng Ax được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0 Kí hiệu: dy = Ax

Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra ydy( x ) hay ydy( x ) Vậy nếu f(x) khả vi thì số gia của hàm số sai khác vi phân một lượng vô cùng bé không đáng kể Do đó ta có:

+ Vi phân cấp hai của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp một, kí hiệu: d2f(x) Vi phân cấp

n của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp n - 1 của hàm f(x), kí hiệu: dnf(x)

Ta có:

2 Mối quan hệ giữa đạo hàm và vi phân

+ Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x0 là f(x) có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0

Chú ý: Vi phân của hàm f(x) thường được viết dưói dạng df f (x ) x' 0 

+ Giả sử y =f(u) và u = u(x) là những hàm số khả vi, khi đó ta có

df[u(x)] = f ‘[u(x)] = f ‘(u).u ‘(x).dx = f ‘(u).du

3

1)(

x x

f(x   x) f(x ) f (x ) x 

27

1 ).

1 ( ) 1 ( ) 27

1 1

f f

f   



27

1.3

1127

11

Trang 20

27

1327

1.3

11328

5 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân

+ Hàm số f(x) đạt cực đại ( hay cực tiểu) tại điểm x0(a, b)Df nếu tồn tại một lân cận của điểm x0 sao cho với mọi x thuộc lân cận đó ta có:

f(x)f(x ) ( hay f(x)f(x ) )Điểm x0 gọi là điểm cực đại ( hay cực tiểu) của hàm số, điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị hàm số tại điểm cực đại ( hay cực tiểu) gọi là giá trị cực đại ( hay cực tiểu) và gọi chung là giá trị cực trị

)

(

'

b a x

x

g    thì tồn tại ít nhất một điểm c(a, b) sao cho

' '

k 0

   gọi là đa thức Taylor

Khi x0 = 0 thì công thức Taylor có dạng

(k) n

k n

!1(

)()

R ), gọi là công thức Maclaurin

5.6 Một số công thức khai triển Maclaurin

Trang 21

1(

ln)

n

a a

1(4

32)

1

4 3 2

x R n

x x

x x x

1()

x x

Trang 22

180

!31801

Trang 23

1)

3

x 0

xlim

x sin x

  ; 2)

n x x

xlime

6 1 Hãy dùng sơ đồ chữ T phân biệt mối quan hệ giữa đạo hàm và vi phân

6 2 Hãy viết biểu thức vi phân toàn phần và công thức tính xấp xĩ

1 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số

+ Giả sử hàm số f(x) khả vi trên (a, b), điều kiện cần và đủ để f(x) tăng ( hay giảm) trên khoảng (a, b) là f (x)' 0 ( hay f (x)' 0) với mọi x(a, b)

f (x) 0 Điểm tới hạn loại f (x)'  0 còn gọi là điểm dừng của hàm số

2.3 Định lý: ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị )

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của điểm x0, có đạo hàm trong lân cận đó ( có thể trừ điểm x0 ) Nếu x0 là điểm tới hạn của hàm số và f (x) đổi dấu từ dương sang âm ( từ âm 'sang dương ) khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại ( cực tiểu )

2.4 Định lý: ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị )

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp hai trong lân cận của điểm x0 và '

Giải:

 Miền xác định Df = [-1,1]

Trang 24



2

20

1

21)(

3 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

Để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ta thực hiện các bước sau:

a Tìm các điểm tới hạn của hàm số f(x) trong khoảng (a, b)

b Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên và tính f(a), f(b)

c Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 – 3x + 4 trên [-3, 2]

Giải: Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của lon Ta có:

Diện tích toàn phần của lon là: S = S2 đáy + Sxq =

x

x S

y y x x

V x + 0 -

V(x) CĐ

Trang 25

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi

Giải:Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là kích thuớc cạnh đáy và chiều cao của thùng Ta có:

Vậy V đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 3

V  y = 3

V

Ví dụ: Giả sử AB là một đoạn thẳng trên bờ biển và L là một đảo nhỏ ở ngoài khơi (AL vuông góc với AB), người ta muốn mắc một đường dây cáp từ L đến B Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB sao cho tổng giá tiền cáp ( tính trên đơn vị ngàn đồng ) là nhỏ nhất ? Biết rằng: Phần cáp dưới nước giá 500 ngàn đồng/km, phần cáp trên bờ giá 300 ngàn đồng/km, AL = 5

(

2 2

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau:

1 Tìm miền xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp 1 để từ đó suy ra tính đơn điệu, cực trị của hàm số

2 Tính đạo hàm cấp 2 để khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị

 Độ thị hàm số y = f(x) gọi là lõm ( hay lồi ) nếu f '(x)0(hay f '(x)0)

Trang 26

 Điểm (x0, f(x0)) gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

i Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiếp tuyến tại x0

ii Tính lồi, lõm của hàm số trái ngược nhau ở hai phía của x0

3 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thông qua các giới hạn đặc biệt

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có bao nhiêu bước?

2 Hãy cho biết bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên đoạn [ a; b] gồm những bước nào?

2xarcsin

1 x , x < 1 h) y = 2

lncos xcos x

a.) y = x3.e sin2x x2 b) y = 3

3 2)5(

1.)2(

5) Tính các đạo hàm cấp cao :

Trang 27

(

'

b a x x f x

Ví dụ:

Hàm

3)

(

3

x x

F  là nguyên hàm của hàm f(x) = x2x với mọi x vì F'(x) f(x)x

1 Định lý: Nếu hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x)trên khoảng (a, b) thì (F(x) + C)

cũng là nguyên hàm của hàm f(x) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) đều

có thể biểu diễn dưới dạng (F(x) + C)

+ Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) Kí hiệu: f(x)dx

Theo định lý 1 nếu hàm f(x) có nguyên hàm là F(x) thì f(x)dxF(x) C

Ví dụ: x dx x C

3

3 2

2 Định lý: Cho f(x) và g(x) là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng (a,b), khi đó:

x dx x

3

21

2

Bảng các tích phân

 Mục tiêu: Sau khi học xong bài này, người học tính được tích

phân hàm một biến và ứng dụng được độ đo

Trang 28

II Các phương pháp tính tích phân

1 Phương pháp đổi biến số

Định lý: Nếu f(x)dxF(x)C thì  f (t)'(t)dt F (t) C với (t)là hàm số có đạo hàm liên tục

Dạng 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x), nếu hàm số hợp f[u(x)] với u(x) là hàm khả vi thì fu(x)u'(x)dx f(u)du F(u)C F[u(x)]C

Ví du:

1.sin x.cosxdx sin x.sinxdxsin xd(sinx) sin4 x C

4 3

' 3

(coscos

3 2

x

dx a

dx a x a x a a x

dx

2

11

12

12 2

a x

a x a C a x a x a a

x

a x d a

x

a x d

ln2

1)()(21

C a

x arctg a a

x a

x d

a a

x a

dx a

2 2 2 2

x d

a x

dx a

x a

dx

arcsin1

1

2 2

Dạng 2: Cho f(x)dx, giả sử x = x(t) khả vi và có hàm ngược

Nếu f x(t).x'(t) có nguyên hàm là hàm F(t) thì

'f(x)dx f x(t) x (t)dt F(t) C F t(x)      C



Trang 29

Ta có I =  xd x4  x4 xx4d x   x4lnxx3dx

4

1)(lnln

4

1)(ln41

III Tích phân của các hàm số đơn giản

1 Tích phân của hàm số hữu tỷ

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1  

)(1

b ax

dx I

)(



b ax

b ax d a b ax

dx

)(

)(1)

C n

b ax a b ax d b ax a b ax

dx I

n n

1 1

1 2

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1   

12

1

x x

dx

442 2

x x

dx

12

3 23

x x

dx I



udvuv vdu

Dạng 1:   n

b ax

dx

)( trong đó a, b là các hằng số và n = 1, 2, 3…

Dạng 2: x2 dx axb trong đó a, b là các hằng số và n = 1, 2, 3…

Trang 30

Giải

1

12

d x dx

13)(

1(

11

23

1

B x

A x

x x

1

03

)3()1()13(1

B

A

B A

B A B

A x B A x

B x

1)

13(4

3)

1(4

11

31

4 3 4

1 3

x

dx x

dx dx

x x

dx x

x I

x

x C

1ln4

11

3ln1ln41

x x

B Ax

2 trong đó A, B, a, b là các hằng số, n = 1, 2,…

và a2– 4b < 0

Trang 31

12

31ln

x x

dx I

x x x

x x

I     

)1)(

1(

12 2 2

Giải

x

C Bx x

A x

2

1)

1(1

1 0 0

C B A A

C

B A

)1)(

1(

1

2 2

C Bx x

A x

x x

))(

1()1(

2

C Bx x

x x A x



C A x C B A x B A x

111

C B A

C A

C B A

B A

C Bx Ax

x không là nghiệm của phương trình Ax2+Bx+C = 0

Trang 32

C x

x

dx x

x

dx x

x

x x d

11

)1(

1ln3

dx

)( 2 2 trong đó m là hằng số và n = 1, 2,…

Dạng 1: R(sinx,cosx)dx trong đó R(sinx, cosx) là hàm hữu tỷ theo sinx, cosx

Ta sẽ hữu tỷ hoá tích phân bằng cách đặt t tanx

2

 , khi đó

2 2

1

2

;1

1cos

;1

2sin

t

dt dx

t

t x t

t x

Trang 33

Ví dụ: Tính  

x

dx I

cos53

2 1

dx

cos3sin

x x

x

dx I

2sincos

sin2 22

2 2

1

;1sin

;1

1cos

t

dt dx t

t x t

33

dt I

t

C t

t

x

C x

x x x

x

dx I

cossin2cos

cos 1

sin

Giải

Đặt t = cosx  dt = - sinxdx

Dạng 2:  R (sin x , cos x ) dx, ta xét các trường hợp sau

Trường hợp 1: Nếu R(sinx, cosx) = R(- sinx, - cosx) thì ta đặt t = tanx

Trường hợp 2: Nếu R(sinx, cosx) = -R(- sinx, cosx) thì ta đặt t = cosx

Trang 34

dx I

1(

)1()

1(cos

sin

cos

t

dt t

dt dt

t t

dt x

x

dx I

C x x

x C

t t

dt t

1

1ln2

t x

2 3

31

dt t

2

31

1131

Ví dụ : Tính  

)1(3

x x

t x

5 6

B Ax c

bx ax dx

 2   ;  2  

Trang 35

522 1

x x

dx I

2   

2 2

1 x x

dx I

3     dx

x x

x I

104

352 3

Giải

1

x d x

)1(4

1

2 2

x

x d x

2 1 2

2 5 2 1 2

2 1 4

5 2

x x x

)12(

12

121

t

t t dx t

t x

dt t

t t

dt t

t t

dt t

t

t t x

x x

3 2

2 2

)12(412)

12(

3312)

12(

)1(

21

t t

t d t

)12(4

3)12(

)12(8

x x x

2

14

3112

2ln2

31ln

2

2 2

4

ac b

a

b x a c bx

2 2

2

2 2

4

;4

4

;

ac b

n a

ac b

m a

b x

Dạng 3: R(x, ax2 bxc)dx

Trang 36

Khi đó tích phân trên được đưa về các dạng:

2

ln22

a

x a

x dx x

22

2 2 2 2

2

Trang 37

 Câu hỏi củng cố:

1 Theo bạn hiểu thế nào là tích phân ?

2 Tích phân bất định là gì ? Bạn hiểu thế nào về hằng số C trong kết quả của tích phân bất định ?

3 Mục đích đổi biến số là gì ? Làm sao bạn biết đặt biến mới là đúng hay sai ?

4 Bạn hiểu nghĩa ” tích phân từng phần” là như thế nào ? Và cho biết vấn đề chính trong tích phân từng phần là gì ?

5 Theo bạn có bao nhiêu phương pháp tính tích phân? Và phương pháp nào thường hay ứng dụng nhiều nhất ?

6 Theo bạn có cần quan tâm đến tích phân các dạng khác hay không ? Tại sao ?

7 Bài tập tự luận: Tìm nguyên hàm của tích phân sau:

Trang 38

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

I Định nghĩa tích phân xác định

1 Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu và không âm trên đoạn [a, b] Xét hình thang ABCD được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b, trục ox và đường cong y = f(x)

Ta chia đoạn [a, b] một cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

b x x

x x

    ( chính là diện tích hình bậc thang như hình vẽ H 3.1)

Nhận xét: Diện tích của hình bậc thang gần bằng diện tích của hình thang cong ABCD khi

n càng lớn và các đoạn được chia càng nhỏ Do đó diện tích S của hình thang ABCD đã cho là:

Tăng điểm chia lên vô hạn ( n) sao cho d 0, nếu trong quá trình đó I n I( hữu hạn ) mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b]

và cách lấy điểm i thì I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a, b]

b a

x f dx

x f I

1

lim)

(  ; Khi đó ta nói hàm f(x) khả tích trên [a, b]

Nhận xét:

i b

a

dx x

f( ) nếu có thì chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) và hai cận a, b không phụ thuộc vào

biến số, tức là  

b a

b a dt t f dx x

ii Khi định nghĩa tích phân xác định ta coi a < b Nếu a > b thì  

b a

b a dx x f dx x

và khi a = b thì   

b a

a a dx x f dx x

Trang 39

iii Theo định nghĩa tích phân xác định thì diện tích hình thang cong là: 

a

dx x f

S ( )

vi Từ định nghĩa trên người ta chứng minh được các định lý sau:

3 Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a, b]đều khả tích trên đoạn đó

4 Định lý: Nếu trên đoạn [a, b], hàm số f(x) bị chặn và chỉ có một số điểm gián đoạn thì

a b

3 f x dx f x dx f x dx

b c c

a b

5   b

a b

a

dx x f dx x

6 Nếu m f(x)M x a,b thì m(b a) f(x)dx M(b a)

b a





7 ( Định lý giá trị trung bình của hàm số )

Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] và m f(x)M x a,b thì tồn tại số

f( ) 1 ( ) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x)

Kí hiệu: f

8 Công thức cơ bản của tích phân xác định

Trang 40

Giả sử hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b], khi đó f(x) cũng khả tích trên đoạn [a, x] [a, b] Nghĩa là tồn tại tích phân x

a dt t

f( ) và nó là một hàm số theo biến x

Kí hiệu: x

a

dt t f x

F( ) ( ) Khi đó hàm F(x) có các tính chất sau:

1/ Nếu hàm f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì F(x) liên tục trên đoạn đó

2/ Nếu hàm f(x) liên tục tại x thì hàm F(x) có đạo hàm tại x và F'(x) f(x)

+ Công thức Newton-Leibniz:

Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của nó thì

Nhận xét: Công thức này cho phép tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm f(x) mà không cần sử dụng định nghĩa, về nguyên tắc ta có thể tích được tích phân xác định

9 Ứng dụng của tích phân xác định

a Tính diện tích hình phẳng

 Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a ; x = b ; y = 0 được tính theo công thức:

 Nếu các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của các hàm số y = f(x) ; y = g(x) và các đường thẳng x = a ; x = b được tính theo công thức:

 Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng x( y), ( y)liên tục trên đoạn

[a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x( y); y = a ; y = b và x = 0 được tính theo công thức:

 Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số

)(

t y

t x





thì công thức 

b a dx x f

thành 2

1

)()

t

dt t

t 

 trong đó t1, t2 lần lượt là nghiệm của các phương trình

)(,

)

(t b t

t t

 là các hàm số liên tục trên đoạn [t1, t2]

Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a

x f khi dx x f

x f khi dx x f dx x f S

0)()

(

0)()

()

)()()()

(x dx F x F b F a

b a







Định dạng
Số trang	103
Dung lượng	1,96 MB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
[1] Toán cao cấp Tập II, Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí, Nhà xuất bản giáo dục,1999	Khác
[2] Toán cao cấp PII, Lê Văn Hốt, Tủ sách Đại học Kinh tế, 2004	Khác
[3] Vi tích phân B,Lê Phương Quân, Đại học Cần Thơ, 2002	Khác
[4] Toán cao cấp B vá C, Nguyễn Viết Đông- Trần Ngọc Hội, Đại học mở bán công TPHCM, 2005. TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀ NGHỊ CHO HỌC VIÊN	Khác
[2] Phép tính vi phân tập 1 và 2, Phan Quốc Khánh, NXB Giáo dục, 1997	Khác
[3] Đại số tuyến tính, Trần Văn Hạo, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997. [4] WWW.ebook.edu.vn	Khác