Một số bất đẳng thức xác suất và ứng dụng

Nó hỗ trợ hữu hiệu cho các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh học, y học, nông học, kinh tế học, xã hội học,… Bất đẳng thức xác suất giúp ta

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôn Thất Tú đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu cũng như hoàn thiện đề tài khóa

luận tốt nghiệp này

Em cũng chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức cho em trong suốt bốn năm đại học Đó không chỉ làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận mà còn là hành trang quí báu để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin

Cuối cùng, em kính chúc quý Thầy, Cô dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp cao quý

Đà Nẵng, ngày 28 tháng 4 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Mai Sương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 6

1.1 SƠ LƯỢC VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 6

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu và biến cố 6

1.1.2 Các phép toán trên biến cố 7

1.1.3 Định nghĩa xác suất 8

1.1.4 Các công thức tính xác suất 9

1.1.5 Khái niệm khác 11

1.2 SƠ LƯỢC VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 11

1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên 11

1.2.2 Kỳ vọng 11

1.2.3 Phương sai và độ lệch chuẩn 12

1.3 SƠ LƯỢC VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP 12

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 12

1.3.2 Bất đẳng thức Bunhiakowski 13

1.3.3 Một số bất đẳng thức khác 13

1.4 SƠ LƯỢC VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 15

1.4.1 Bất đẳng thức Markov 15

1.4.2 Bất đẳng thức Chebyshev 16

1.4.3 Bất đẳng thức Hölder 16

1.4.4 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 17

1.4.5 Bất đẳng thức Jensen 17

1.5 HÀM GAMMA 17

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG 18

2.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 18

2.1.1 Bất đẳng thức về xác suất không điều kiện 18

2.1.2 Bất đẳng thức về xác suất có điều kiện 28

2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KỲ VỌNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 33

2.2.1 Bất đẳng thức Hoeffding 33

2.2.2 Bất đẳng thức Bennett 35

2.2.3 Bất đẳng thức Bernstein 37

2.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 38

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học ra đời vào thế kỷ XVII Đến năm

1933, với sự ra đời của hệ tiên đề về lý thuyết xác suất của Kolmogorov, xác suất và thống kê toán học đã trở thành một ngành toán học phát triển mạnh

cả về lý thuyết và ứng dụng Nó hỗ trợ hữu hiệu cho các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh học, y học, nông học, kinh tế học, xã hội học,…

Bất đẳng thức xác suất giúp ta tìm mối liên hệ giữa các biến cố, xác định giới hạn trên và giới hạn dưới của xác suất của biến cố hay kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên, từ đó đánh giá khả năng xảy ra của các hiện tượng trong thực tế Ngoài ra, bất đẳng thức xác suất cũng được sử dụng nhiều trong phép chứng minh các định lý giới hạn hay giải quyết một số bài toán được đặt ra trong

thực tế Đó là lý do em chọn đề tài “Một số bất đẳng thức xác suất và ứng dụng” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Mục đích nghiên cứu: Hệ thống hóa cũng như xây dựng mới một số bất đẳng thức về xác suất và khai thác một vài ứng dụng của chúng

- Nhiệm vụ nghiên cứu:

+ Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về xác suất của biến cố, đại lượng ngẫu nhiên

+ Trình bày một số bất đẳng thức về xác suất của biến cố và của kỳ vọng + Xây dựng mới một số bất đẳng thức xác suất

+ Tìm hiểu một vài ứng dụng của bất đẳng thức xác suất

3 ĐỐI TƯỢNG PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Biến cố, xác suất của biến cố, đại lượng ngẫu nhiên

và các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bất đẳng thức về xác suất không điều kiện và xác suất có điều kiện của biến cố ; bất đẳng thức về kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên ; một vài ứng dụng của bất đẳng thức xác suất

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài sử dụng phương pháp tham khảo tài liệu kết hợp với việc sử dụng một

số biến đổi giải tích để đưa ra những bất đẳng thức về xác suất của biến cố và bất đẳng thức về kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

- Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài này là một tài liệu tham khảo cho sinh viên trong học phần Xác suất thống kê

- Ý nghĩa khoa học: Đề tài đã hệ thống lại một số bất đẳng thức xác suất cũng như xây dựng một số bất đẳng thức mới về xác suất của biến cố, kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên ; khai thác một vài ứng dụng của bất đẳng thức xác suất

6 CẤU TRÚC ĐỀ TÀI

Nội dung khóa luận được chia thành hai chương:

- Chương I : Kiến thức cơ bản

- Chương II: Một số bất đẳng thức xác suất và ứng dụng

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 SƠ LƯỢC VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu và biến cố

a) Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là thí nghiệm thỏa mãn 2 điều kiện:

+ Có thể lặp lại vô hạn lần

+ Không thể biết được chính xác kết quả sẽ xảy ra trong mỗi lần thực hiện

b) Không gian mẫu

Không gian mẫu là tập hợp tất cả những kết quả có thể xảy ra đối với một phép thử

Ký hiệu: 

c) Biến cố

Định nghĩa

Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố

Ta nói “biến cố A xảy ra” khi thực hiện phép thử nếu kết quả phép thử rơi vào A

Mỗi phần tử của không gian mẫu cũng là một biến cố và được gọi là biến cố sơ cấp

Các loại biến cố

+ Biến cố chắc chắn là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện một phép thử + Biến cố không thể là biến cố chắc chắn không xảy ra khi thực hiện một phép thử

+ Biến cố ngẫu nhiên là biến cố không thể biết trước có thể xảy ra hay không trong một phép thử

Chú ý: Việc đưa khái niệm biến cố chắc chắn và biến cố không thể chỉ để

hoàn thiện về mặt lý thuyết, thực tế ta chỉ quan tâm về biến cố ngẫu nhiên Từ đây, khi nói đến biến cố, ta hiểu đó là biến cố ngẫu nhiên

1.1.2 Các phép toán trên biến cố

Cho A và B là hai biến cố trong không gian mẫu 

Biến cốA B xảy ra khi và chỉ khi biến cố A xảy ra và biến \

cố B không xảy ra

Biến cố A B xảy ra khi và chỉ khi biến cố A xảy ra và biến cố

B không xảy ra hoặc biến cố B xảy ra và biến cố A không xảy

1.1.3 Định nghĩa xác suất

a) Theo quan điểm cổ điển

Cho không gian mẫu   1, 2, ,n,    n , trong đó các biến cố sơ cấp i có khả năng xảy ra nhƣ nhau, A  là một biến cố Xác suất của biến

Một hàm tập hợp P:  đƣợc gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều

kiện sau đây:

n n

Nhận xét: Xác suất là một độ đo nên có đầy đủ các tính chất của độ đo Bây giờ,

ta sẽ nhắc lại hai tính chất quan trọng sau:

(i) Cho dãy biến cố  A n thỏa mãn A1 A2   A n  , khi đó:

Giả sử biến cố B có xác suất khác không Xác suất của biến cố A dưới điều

kiện B ký hiệu , P A B  , được định nghĩa như sau:

Hệ quả (Công thức nhân xác suất)

Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập nếu P AB P A P B    

Nhận xét: Nếu P A 0, P B 0 thì hai biến cố A và B độc lập khi và

d) Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hệ đầy đủ: Một họ hữu hạn các biến cố E E1, 2, ,E đƣợc gọi là hệ đầy n

đủ (phân hoạch) của không gian mẫu  nếu thỏa mãn hai điều kiện:

(i) E iE j   với mọi i j;

(ii) E1E2   E n  

Công thức xác suất toàn phần

Cho không gian xác suất ; ;P , E E1, 2, ,E n là một hệ đầy đủ với

e) Công thức hiệu đối xứng

Cho ,A B là các biến cố, khi đó: P A B   P A P B 2P AB 

1.1.5 Khái niệm khác

Hầu khắp nơi

Trong một không gian X bất kỳ cho một  đại số và một độ đo  trên

Ta nói một điều kiện  x đƣợc thỏa mãn với hầu hết mọi xA, hay đƣợc thỏa

mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A, nếu có một tập BA sao cho  B 0 và

 x

 đƣợc thỏa mãn với mọi xA B\

1.2 SƠ LƢỢC VỀ ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN

1.2.1 Đại lƣợng ngẫu nhiên

Cho không gian xác suất ; ;P Ánh xạ X :  đƣợc gọi là đại lƣợng ngẫu nhiên nếu với mọi a ,,X   a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1x2   x n

n

n n

i i

n a

Ta có thể chứng minh bất đẳng thức (1) bằng quy nạp lùi như sau:

+ Với n1, 1  đúng hiển nhiên (kể cả kết luận về dấu “=”)

Suy ra  1 đúng cho trường hợp n2 kể cả kết luận về dấu “=”

+ Giả sử  1 đúng cho trường hợp n số kể cả kết luận về dấu “=” (Với n2 nào đó)

Xét tùy ý một dãy  2  

1 0;1 ,

n

i i

a   ta sẽ chứng minh  1 kể cả kết luận về dấu

“=” cũng đúng cho trường hợp 2n số Thật vậy, sử dụng kết quả của trường hợp

i i

n a

i i

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2   a n

1.4 SƠ LƢỢC VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG VỀ ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG

2.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.1.1 Bất đẳng thức về xác suất không điều kiện

i i

Vậy từ (i) và (ii), suy ra với mọi k1, 2, ,n, ta có:

i i

Theo nguyên lý quy nạp, ta có:

f) Tính chất 2.1.1.6 (Chặn dưới của xác suất hợp các biến cố)

Cho A A1, 2, ,A là n n biến cố, khi đó:

 

2 1

1

.2

n

i n

i

khi A X

2.1.2 Bất đẳng thức về xác suất có điều kiện

2 2

2

14

i i

1

n i n

i

i i

n x

1 1

1

n j

1

n i n

i

i i

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi P A 1 P A 2   P A n

Trong kết quả trên, thay A bởi i A i, ta có

 

2 1 1

1

n i n

i

i i

n

n n

i i

n a

2

1 1

n n

i i

i i

P A A B  P B A B     (đpcm)

2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KỲ VỌNG CỦA ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN

u

p p e u

s S ES st

2 1

8 1 8

i i

n

i i i

s b a n

st i s

b a st

2 2

n n

n t n

i i

s

e c

c sX

s n t i

2 1

at c

at n



Thay các kết quả trên vào (19) ta thu đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh

2.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Bất đẳng thức xác suất cho ta nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học

lý thuyết và cả thực tế như: ước lượng xác suất, chứng minh bất đẳng thức,… Sau đây sẽ là một số bài toán giúp ta thấy được một vài ứng dụng của bất đẳng thức xác suất

Bài tập 2.3.1 Cho đại lƣợng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson  

 



     (đpcm)

Bài tập 2.3.2 Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất n lần độc lập Gọi S là

số lần xuất hiện mặt 1 chấm Chứng minh 31

n

 

 

 

Bài tập 2.3.4 Cho x y i i, ,i 1,n là các số thực tùy ý Khi đó, với p1 và 1

Gọi X là đại lƣợng có phân phối nhị thức X ~B n p , ,p 0;1 Khi đó E X np Var X,  np1 p

1

11

11

- Hệ thống hóa một số bất đẳng thức kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

- Trình bày một vài ứng dụng của bất đẳng thức xác suất

Đề tài mở ra hướng nghiên cứu tiếp theo:

- Tìm tòi thêm những bất đẳng thức đẹp về xác suất của biến cố và của kỳ vọng đối với đại lượng ngẫu nhiên

- Tiếp tục mở rộng phạm vi nghiên cứu về bất đẳng thức xác suất cho các đại lượng ngẫu nhiên

- Tiếp tục khai thác thêm nhiều ứng dụng của bất đẳng thức xác suất

Cuối cùng, dù đã có nhiều cố gắng nhưng khóa luận không thể tránh được những sai sót Rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Zhengyan Lin, Zhidong Bai (2010), Probability Inequalities, Science

Press Beijing

[2] Hoeffding, Wassily (1963), Probability inequalities for sums of

bounded random variables, Journal of the American Statistical

Association 58 (301): 13–30

[3] Jimmy Jin, James Wilson and Andrew Nobel Chernoff (2014),

Höeffding’s and Bennett’s Inequalities, UNC-Chapel Hill

[4] Phạm Văn Kiều (1993), Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, NXB

ĐHSP Hà Nội

[5] Đinh Văn Gắng (2000), Lý thuyết xác suất và thống kê, NXB Giáo Dục [6] Đào Hữu Hồ (2007), Xác suất Thống kê, NXB ĐHQG Hà Nội