Chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYỄN THỊ THANH THU CHUỖI SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH THU

CHUỖI SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học

TS LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng, N˚ am 2018

LỜI CẢM ƠNTrước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Lê Hoàng Trí - người đã tận tình hướngdẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể cácthầy cô giáo trong khoa toán, Đại học Đà Nẵng đã dạy bảo em tận tìnhtrong suốt quá trình học tập tại khoa

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Thu

Mục lục

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI SỐ v1.1 Các định nghĩa của chuỗi số v1.2 Một số tính chất cơ bản của chuỗi số vii

2.1 Các dấu hiệu so sánh của chuỗi số dương xi2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương xiv

3 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ CÓ DẤU BẤT KỲ xxv3.1 Dấu hiệu Leibnitz xxv3.2 Dấu hiệu Dirichlet xxvii3.3 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ xxix

iii

LỜI MỞ ĐẦUTrong khóa luận này em sẽ trình bày sơ lược về lý thuyết chuỗi số,cũng như dấu hiệu để xét sự hội tụ của một chuỗi bất kỳ.

Bố cục của khóa luận gồm 3 chương:

1 Chương 1 của khóa luận là hệ thống lại các định nghĩa, tính chất

1.1 Các định nghĩa của chuỗi số.

Định nghĩa

Cho {un} là một dãy số thực

S1 = u1 , S2 = u1 + u2,

Sn = u1 + u2 + + un: được gọi là tổng riêng thứ n

Khi đó: u1 + u2 + + un+ : gọi là một chuỗi số

Gọi Sn là tổng riêng thứ n của P∞n=0qn.

3 Với q = −1 chuỗi đã cho phân kỳ vì không tồn tại giới hạn của dãy

Sn =

(

1 nếu n chẵn

0 nếu n lẻ

Như vậy chuỗi số P∞

n=1qn hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

≥ n02n0

n+1 = e−1 6= 0

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

Định lý 1.2.3 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số

Vì với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 = [log2(1

ε) + 1] sao cho với mọi

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi đã cho hội tụ

13n − 1 − 1

n=1(αan + βbn) hội tụ và có tổng αA + βB

Khi đó Sn+1 = Sn + un+1, tức là dãy tổng riêng tăng Do vậy

1 Nếu {Sn} bị chặn thì tồn tại lim

n→∞Sn = S tức là chuỗi hội tụ

2 Nếu {Sn} không bị chặn thì lim

n→∞Sn = +∞ tức là chuỗi phân kỳ.Định lý 2.1.1 Định lý so sánh thứ nhất của chuỗi dương.Cho 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ∈ N Khi đó,

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

= lim

n→∞

2n2(n + 2)2n3 + 3 = 1

Có P∞n=1 1

2n2 hội tụ ⇒ P∞

n=1

n + 22n3 + 3 hội tụ.

2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương

Định lý 2.2.1 Dấu hiệu tích phân

Cho chuỗi số dương P∞

n=1an và f (x) là hàm không âm, đơn điệu giảm

và liên tục trên đoạn [1,+∞) sao cho f (n) = an, ∀n Khi đó,

1 Nếu tồn tại giới hạn hữa hạn lim

2 Nếu giới hạn lim

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

nα 6= 0, do vậy chuỗi phân kỳ

2 α = 1 thì chuỗi điều hòa P∞

f (x) đơn điệu giảm trên [1; +∞)

√x

1 + x2dx

Chú ý rằng an =

Z

1n

0

√x

1 + x2dx ≤

Z

1n

0

√xdx = 2

3n

32

vì chuỗi P∞

n=1

23n

32

hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh chuỗi đã cho hội

tụ

Định lý 2.2.2 Dấu hiệu Cauchy

Cho chuỗi số dươngP∞n=1an, giả sử tồn tại hữu hạn hay vô hạn lim

1 Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ

2 Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

= 2 > 1

Vậy theo dấu hiệu tích phân Cauchy, chuỗi đã cho phân kỳ

Chú ý

Trong định lý trên c = 1 thì ta không kết luận được gì vì khi đó chuỗi

có thể hội tụ hoặc phân kỳ Ta có ví dụ sau để chỉ ra điều đó:

Chuỗi P∞n=1 1

n và

P∞ n=1

Nếu a 6=0, áp dụng dấu hiệu Cauchy đối với chuỗi dương (với n đủ lớn)

Vậy theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ

Định lý 2.2.3 Dấu hiệu D’Alembert

Cho chuỗi số dương P∞

n=1an, giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vôhạn lim

n→∞

an+1

an

= d, khi đó:

1 Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ

2 Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

Như vậy an < an0qn−n0, ∀n > n0, mặt khác do 0 < q < 1 nênchuỗi P∞n=n

0 +1an0q−n0.qn hội tụ, theo dấu hiệu so sánh ta có chuỗi

khi đó chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ Đặc biệt nếu lim

Đinh lý 2.2.4 Dấu hiệu Raabe

Cho chuỗi số dương P∞

n=1an, giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vôhạn

lim

n→∞Rn = lim

n→∞n.( an

an+1 − 1) = R.Khi đó:

1 Nếu R > 1 thì chuỗi đã cho hội tụ

2 Nếu R < 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ

3 Nếu R = 1 và Rn ≤ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi đã cho phân kỳ

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí



= (6n + 5)n(2n + 1)2

3

2 > 1

Theo dấu hiệu Raabe chuỗi đã cho hội tụ

Định lý 2.2.5 Dấu hiệu Gauss

Cho chuỗi số dương P∞n=1an, giả sử an

1 Nếu λ > 1 thì chuỗi hội tụ

2 Nếu λ < 1 thì chuỗi phân kỳ

3 Nếu λ = 1 và µ > 1 thì chuỗi hội tụ

4 Nếu λ = 1 và µ ≤ 1 thì chuỗi phân kỳ

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

Chuỗi đã cho phân kỳ khi |q|≥ 1.

Chuỗi hội tụ khi |q| < 1 ⇔ 21−α < 1 ⇔ 1 − α < 0 ⇔ α > 1

3.1 Dấu hiệu Leibnitz

Định lý 3.1.1 Dấu hiệu Leibnitz

Nếu dãy {an} giảm và lim

n→∞an = 0 thì chuỗi P∞

n=1(−1)n−1 · an hội tụ.Chứng minh

Do dãy {an} giảm và dần về 0 nên an ≥ 0, ∀n ∈ N∗ và ta có

n và n→∞lim an = 0 nhưng dãy không đơn điệu giảm,

do vậy không áp dụng được dấu hiệu Leibnitz

Khi đóP∞

n=1(−1)n−1.2

n hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz, còn chuỗi

P∞ n=1

1n

phân kỳ Do vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

3.2 Dấu hiệu Dirichlet

Định lý 3.2.1 Dấu hiệu Dirichlet

Giả sử chuỗi P∞n=1anbn thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

Vậy với mọi ε > 0 tồn tại n0 > 0 sao cho ∀n > n0, ∀p > 0 ta có

Mặt khác, dễ thấy dãy bn = 1

nα đơn điệu giảm dần về 0

Vậy theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi P∞

2 Dãy{bn} đơn điệu và bị chặn

Khi đó chuỗi P∞n=1anbn hội tụ

Chứng minh

Do P∞

n=1an hội tụ nên nó dãy tổng riêng An bị chặn

Dãy {bn} đơn điệu và bị chặn nên tồn tại lim

n→∞bn = b.Đặt αn = b − bn, khi đó {αn} là dãy đơn điệu và lim

n→∞αn = 0.Theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi P∞

n=1anαn hội tụ

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hoàng Trí

Dễ thấy dãy an = sin √ π

n2 + 1 đơn điệu giảm dần về 0, theo dấu hiệu

n + 1 đơn điệu tăng và bị chặn bởi 1.

Theo dấu hiệu Abel ta có chuỗi P∞n=1 n

n + 1 sin(π

√

n2 + 1) hội tụ

3.3 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

Định nghĩa 3.3.1 ChuỗiP∞n=1unđược gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

Do P∞n=1|un| hội tụ ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0, ∀ ∈ N.

(−1)n−1.1

n

= P∞ n=1

1n

phân kỳ

Định nghĩa 3.3.3 Nếu P∞

n=1an hội tụ nhưng P∞

n=1|an| phân kỳ thìchuỗi P∞

n=1an được gọi là bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện

(−1)ncos(π

n!)

n2

...

n=1an hội tụ P∞

n=1|an| phân kỳ th? ?chuỗi P∞

n=1an gọi bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện... tiết tính chất bảncủa chuỗi số

2 Đưa ví dụ cụ thể cho tính chất

Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều nên cịn

có hạn chế, em mong nhận góp ý q thầy vàbạn đọc

i=0an−ibi hội tụ có tổng AB.