Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Nguyễn Viết Minh Quân Hay viết dưới dạng ma trận AX=0 Với là ma trận hệ số là ma trận các ẩn Hay viết dưới dạng vector : Theo định lý Kronecker-Cap

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Nguyễn Viết Minh Quân

Hay viết dưới dạng ma trận AX=0

Với là ma trận hệ số

là ma trận các ẩn

Hay viết dưới dạng vector :

Theo định lý Kronecker-Capeli thì ta có:

Hệ (*) luôn có nghiệm X=0 tức đấy là nghiệm tầm thường mà ta không cần xem xét

các yếu tố khác của hệ mà vẫn cho được, ta gọi nó là nghiệm tầm thường.

+) Nếu rank(A)=n (tức bằng số ẩn) thì X=0 là nghiệm duy nhất của hệ và là nghiệm tầm thường như đã nói ở trên

+) Nếu rank(A)<n (tức nhỏ hơn số ẩn) thì Hệ (*) có vô số nghiệm (số bậc tự do = số ẩn

- số phương trình của hệ), tức có nghiệm khác nghiệm tầm thường Các nghiệm này

gọi là nghiệm không tầm thường.

Như vậy, khi ta nói giả hệ phương trình thuần nhất (*) tức ta là ta đi tìm các nghiệm không tầm thường của hệ

Đặt biệt: Khi m=n (tức số ẩn bằng số phương trình) thì hệ (*) có nghiệm không tầm

thường khi và chỉ khi A là ma trận suy biến (Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả

nghịch hay ma trận không suy biến là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận), tức là det(A)=0.

Một vài ví dụ minh họa

- Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

⟹

Chọn vậy nghiệm của hệ trên có dạng

Số bậc tự do là 1 (=3-2), bậc tự do ở đây là t.

- Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

, vậy ma trận hệ số A không suy biến, hệ có nghiệm duy nhất x=y=z=0

- Ví dụ 3: giải hệ phương trình sau

Suy ra hệ phương trình có nghiệm khác tầm thường, hay vô số nghiệm với bậc tự do bằng 1

Ta thấy

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với việc giải hệ

Đặt , hệ có vô số nghiệm với 1 bậc tự do t