nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10

Và trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, ba câu hỏi này được trình bày lại như sau:  Q1: Nhìn từ góc độ một tri thức toán học Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Hoài Châu, người đã tận tình hướng dẫn, động viên tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn:

PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Ái Quốc, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS

TS Claude Comiti, PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã nhiệt tình truyền đạt cho chúng tôi những kiến thức Didactic quý báu

TS Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp

Ban Giám hiệu và Thầy Cô Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, THPT Nguyễn Huệ, THTH ĐHSP, THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa, THPT Tạ Quang Bửu, THPT Nguyễn Trãi, THPT Ngô Quyền, THPT Nguyễn Văn

Cừ, THPT Lương Thế Vinh, THPT Bùi Thị Xuân, THPT Lê Qúy Đôn TP Hồ Chí Minh và THPT Hoàng Lê Kha Tây Ninh đã giúp đỡ tôi hoàn thành thực nghiệm cho luận văn này

Ban Giám hiệu trường ĐHSP TP.HCM, Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN & SĐH đã giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho chúng tôi

Các thành viên của lớp cao học Didactic khóa 16 đã động viên tôi trong quá trình nghiên cứu

Trần Thị Mỹ Dung

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT : Trung học phổ thông

SGK : Sách giáo khoa

GK9 : Sách giáo khoa toán đại số 9 – tập 2 hiện hành

GKCB : Sách giáo khoa toán đại số 10 cơ bản hiện hành

GKNC : Sách giáo khoa toán đại số 10 nâng cao hiện hành

BT9 : Sách bài tập toán đại số 9 – tập 2 hiện hành

BTCB : Sách bài tập toán đại số 10 cơ bản hiện hành

BTNC : Sách bài tập toán đại số 10 nâng cao hiện hành

GV9 : Sách giáo viên toán đại số 9 – tập 2 hiện hành

GVCB : Sách giáo viên toán đại số 10 cơ bản hiện hành

GVNC : Sách giáo viên toán đại số 10 nâng cao hiện hành TCTH : Tổ chức toán học

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và Câu hỏi xuất phát

Trong chương trình toán ở trường phổ thông, hệ phương trình tuyến tính xuất

hiện trong cả hai phạm vi đại số và hình học, trước hết với tư cách một đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách một công cụ để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau

Có những hệ thống biểu đạt khác nhau đã được sử dụng để nói về đối tượng này

Không chỉ vậy, hệ phương trình tuyến tính còn xuất hiện và giải quyết nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khoa học khác như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế, trắc địa, tin học, … và cả trong cuộc sống thường nhật Chính sự phong phú và đa dạng đó đã thúc đẩy chúng tôi tìm hiểu thật rõ về đối tượng tri thức này Câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi

tự đặt ra cho mình là:

Q1’: Nhìn từ góc độ tri thức toán học, có những phương pháp nào để giải hệ phương trình tuyến tính, cơ sở lý thuyết của các phương pháp ấy là gì ? Ưu, nhược điểm của mỗi phương pháp? Việc giải hệ phương trình tuyến tính giúp giải quyết những vấn đề gì?

Tìm và học được một tri thức cho bản thân mình quả thực có ý nghĩa, nhưng khai sáng tri thức cho nhiều người còn ý nghĩa hơn hàng vạn lần Là giáo viên giảng dạy toán, điều mà chúng tôi mong muốn nhất là có một bài giảng thật hay gắn với đối tượng tri thức nhắm đến Một bài giảng không phải là bài thuần lý thuyết mà là để sau

đó, học sinh còn có thể thấy được sự cần thiết phải học tri thức ấy, phải thấy rằng biết được tri thức ấy là hé mở ra một chân trời cho nhiều ứng dụng, ích lợi cho thực tế cuộc

sống Chính vì vậy, chúng tôi muốn nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học

Q3’: Trong thực tế dạy học, giáo viên đã giảng dạy tri thức ấy như thế nào? Có

sự khác biệt, tương đồng nào giữa tri thức toán học, tri thức trình bày trong sách giáo khoa (SGK) và tri thức được dạy?

Q4’: Những sự lựa chọn của chương trình, SGK phổ thông và của giáo viên đã ảnh hưởng như thế nào đến việc dạy, học, hiểu tri thức? Liệu có một sự lựa chọn nào tốt hơn hay không?

Để giải đáp bốn câu hỏi nêu trên, chúng tôi tiến hành tìm kiếm các công trình nghiên cứu đã có liên quan đến hệ PTTT Kết quả cho thấy, có hai luận văn thạc sỹ gắn với nội dung này Luận văn thứ nhất của tác giả Nguyễn Thị Như Hà, nghiên cứu

về “Máy tính bỏ túi trong dạy – học toán Trường hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10” Luận văn thứ hai của Nguyễn Thùy Trang, nghiên cứu về “Algorit và tham số trong dạy – học chủ đề phương trình ở trường THPT Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều

ẩn” Trong cả hai luận văn này, chưa có một luận văn nào nghiên cứu hoạt động tác

nghiệp của giáo viên Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ PTTT ở lớp 10”

 Thế nhưng, căn cứ vào đâu để đánh giá giáo viên theo hệ câu hỏi nêu trên?

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Đã từ lâu, thanh tra giáo dục thường dự giờ các tiết dạy của giáo viên, giám sát hoạt động của họ trên lớp học rồi đưa ra những nhận xét, đánh giá Ở cương vị một

giáo viên, chúng tôi cũng thường xuyên làm công việc này Chúng tôi đã dựa vào đâu

mà đánh giá? Thường là: giáo viên trình bày bảng ra sao? Sử dụng các phương tiện

dạy học như thế nào? Có quản lý tốt học sinh trên lớp hay không? Đặc biệt, về kiến thức, có sai sót gì không và về phương pháp thì giáo viên đó đã sử dụng phương pháp

gì, có phù hợp với nội dung và đối tượng dạy học hay không? Như vậy, việc đánh giá chủ yếu chỉ dựa vào hai cơ sở: về mặt pháp lý, đó là những quy định của chương trình;

về mặt cá nhân, đó là kinh nghiệm của người dự giờ Những cơ sở này dường như chưa thực sự thỏa đáng, đặc biệt là yếu tố kinh nghiệm

Chính didactic đã cung cấp những công cụ cho phép phân tích và đánh giá hoạt động tác nghiệp của giáo viên Trong những công cụ đó, chúng tôi giữ lại các khái

niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học khi tìm kiếm các yếu tố trả lời cho bốn câu

hỏi trên Các khái niệm đó là: Chuyển đổi didactic, Tổ chức toán học, Quan hệ thể

chế, Tổ chức didactic, Quan hệ cá nhân

Dưới đây chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra tính thỏa đáng cho sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình

 Chuyển đổi didactic c

Quá trình hình thành và truyền bá một tri thức toán học gồm ba mắc xích cơ bản: hình thành tri thức trong cộng động bác học sau đó biến tri thức ấy thành tri thức cần dạy và từ tri thức cần dạy này biến đổi thành tri thức được dạy Nghiên cứu thực hành

của GV là nghiên cứu ở khâu tri thức được dạy và GV đóng vai trò như một Noosphère, người thực hiện vai trò chuyển đổi trong mắc xích thứ ba này Như thế,

muốn hiểu xem sự chuyển đổi của GV có thỏa đáng hay không, đòi hỏi ta phải đối

chiếu tri thức được GV giảng dạy với tri thức cần dạy mà chương trình, SGK quy định

và tri thức toán học Chính vì vậy, ta cần vận dụng khái niệm chuyển đổi didactic

 Tổ chức toán học c

Làm thế nào để phân tích độ chênh lệch của tri thức khi nhìn từ các góc độ: tri

thức toán học, tri thức cần dạy và tri thức được dạy? Chính khái niệm tổ chức toán

học là một công cụ hiệu quả để mô hình hóa các tri thức toán học, tri thức cần dạy, tri

thức được dạy đó dưới dạng các tổ chức toán học Từ đó, tiến hành so sánh, đối chiếu

và đánh giá các tổ chức toán học này để chỉ ra sự chênh lệch (nếu có)

 Quan hệ thể chế

Theo quan điểm chuyển đổi didactic, một nghiên cứu tri thức dưới góc độ tri thức cần dạy trong chương trình, SGK chính là một tiêu chuẩn tham chiếu để xem xét, đánh giá tính thỏa đáng của tri thức được giáo viên giảng dạy Do đó, ta cần phải chỉ ra

quan hệ của thể chế I đối với đối tượng tri thức O Cụ thể, O chính là hệ PTTT và I là

thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành

Để nghiên cứu quan hệ thể chế, đòi hỏi ta phải tiếp cận từ góc độ sinh thái học

Theo cách tiếp cận này, một đối tượng tri thức O không thể tồn tại lơ lửng mà chúng phải nằm trong một thể chế I và có mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác

O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O

 Tổ chức didactic Quan hệ cá nhân

Một nghiên cứu về thực hành giảng dạy của GV đòi hỏi tất yếu phải trả lời được:

GV đã làm thế nào để truyền bá một tổ chức toán học, một tri thức toán học? Tổ chức

didactic là công cụ cho phép tìm ra các yếu tố trả lời thích đáng cho câu hỏi ấy.

Chevallar đã không nghĩ rằng mọi tổ chức toán học đều được tổ chức nghiên cứu theo một cách thức duy nhất Thế nhưng, Ông cũng nhận thấy rằng cho dù con đường nghiên cứu có khác nhau thì một số kiểu tình huống nhất thiết phải có mặt, mặc dầu

dưới những hình thức rất khác nhau Và Ông đã tìm ra được sáu thời điểm nghiên cứu

Lý thuyết này cho phép mô tả kỹ thuật cụ thể để phân tích, đánh giá và phát triển các

tổ chức didactic

Thông qua phân tích thực hành giảng dạy O của GV, chúng ta cũng sẽ phần nào

xác định được GV đó đã nghĩ gì về O, hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao, … Đó

chính là các yếu tố cấu thành nên mối quan hệ của cá nhân GV đó với đối tượng tri

thức O.

3 Mục đích nghiên cứu của luận văn

Trong khuôn khổ của luận văn này, do điều kiện về thời gian nên chúng tôi phải gác câu hỏi Q4’ lại để tập trung vào giải quyết thỏa đáng cho ba câu hỏi Q1’, Q2’, Q3’ Và trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, ba câu hỏi này được trình bày lại như sau:

 Q1: Nhìn từ góc độ một tri thức toán học

Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ thuật nẩy sinh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó mang lại thuận lợi gì?

Xét trên phương diện công cụ, có những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; sự mô hình hóa gắn với hệ PTTT đã mang lại những thuận lợi gì?

 Q2: Nhìn từ góc độ tri thức cần dạy ở lớp 10

Xét trên phương diện đối tượng, những kỹ thuật nào đã được khai thác để giải hệ? Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Tham chiếu với tri thức toán học, kỹ thuật nào đã không có cơ hội xuất hiện? Kỹ thuật nào lẽ

ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại? Tại sao? Những hệ thống biểu đạt nào đã được sử dụng và chúng có ảnh hưởng gì? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm đến hay không?

Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT đã được đưa vào? So với tri thức tham chiếu, những kiểu nhiệm vụ nào đã không được khai thác? Những kiểu nhiệm vụ nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại? Vì sao? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt được tính đến như thế nào? Vấn đề dạy học mô hình hóa được thể chế quan tâm đến như thế nào?

 Q3: Nhìn từ góc độ tri thức được dạy bởi giáo viên

Xét trên phương diện đối tượng, GV đã khai thác những kỹ thuật nào để giải hệ?

Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Vấn đề về các hệ thống biểu đạt, dạy học bằng mô hình hóa gắn với đối tượng hệ PTTT được GV quan tâm đến như thế nào?

Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT đã được GV khai thác? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; vấn đề dạy học mô hình hóa được GV tính đến như thế nào ?

Các tổ chức didactics (OD) nào đã được GV dùng để triển khai các TCTH trên ?

 So với nghiên cứu tri thức cần dạy, đã có sự khác biệt gì hay không? Vì sao?

4 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm ra những yếu tố trả lời thích đáng cho

ba câu hỏi nêu trên

 Đối với câu hỏi Q1, do không có điều kiện về tư liệu cũng như về thời gian

nên chúng tôi không thể dấn thân vào một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa trên các tài liệu lịch sử toán Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích một số giáo trình toán dùng ở các trường đại học và một số giáo trình lịch sử tìm được nhằm chỉ ra các yếu tố trả lời

cho câu hỏi này Công cụ lý thuyết mà chúng tôi sử dụng chính là mô hình Tổ chức

toán học của lý thuyết nhân chủng Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1 và đây

cũng chính là cơ sở tham chiếu cho các nghiên cứu tiếp theo

 Tham chiếu những kết quả thu được từ chương 1, chúng tôisử dụng các khái

niệm tổ chức toán học, phân tích sinh thái, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để tiến

hành phân tích chương trình toán trung học phổ thông và phân tích các sách giáo khoa toán lớp 10 hiện hành để trả lời cho câu hỏi Q2 Nghiên cứu này sẽ được trình bày

trong chương 2

 Nghiên cứu ở hai chương đầu cho phép chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn

tại trong lớp học, những điều kiện, ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học của học sinh, sự tiến triển và thời điểm quan trọng nhất của việc học, Đây

là cơ sở để tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 – tiến hành phân tích thực hành của

GV Kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày trong chương 3 Trong chương này, ngoài

việc chỉ ra các TCTH thực sự được GV dạy trong lớp học, chúng tôi cũng sẽ làm rõ tổ

chức didactic mà GV lựa chọn để triển khai các TCTH đó Cụ thể, dựa vào lý thuyết sáu thời điểm nghiên cứu trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ xác định các

thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà GV đã triển khai Ngoài ra, từ quan điểm chuyển đổi didactic, chúng tôi sẽ chỉ ra sự chênh lệch (nếu có) giữa TCTH được GV dạy trong lớp học với TCTH cần phải dạy

didactic kết hợp với những kết quả có được từ nghiên cứu hệ PTTT nhìn từ góc độ tri thức toán học, tri thức cần dạy, chúng tôi sẽ có cơ sở để phát triển tổ chức didactic

Chương 1:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH NHÌN TỪ GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC

Mở đầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này nhằm làm rõ những đặc trưng của hệ PTTT nhìn từ góc độ một tri thức toán học Cụ thể, qua nghiên cứu này, chúng tôi muốn tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1:

Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ thuật nảy sinh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó mang lại thuận lợi gì?

Xét trên phương diện công cụ, có những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; sự mô hình hóa gắn với hệ PTTT đã mang lại những thuận lợi gì?

Như đã nói trong phần mở đầu, do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu gốc trên các tài liệu lịch sử toán học Cùng với vài tài liệu lịch sử tìm được, chúng tôi sẽ tìm kiếm câu trả lời cho những câu hỏi trên trong một số giáo trình dành cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm, tổng hợp, kỹ thuật, kinh tế

Hệ PTTT là một đối tượng xuất hiện trong nhiều phân môn toán học: đại số tuyến tính, phương pháp tính và hình học Chúng tôi sẽ phải xem xét giáo trình của tất cả các phân môn này Như thế, hệ thống tư liệu tham khảo của chúng tôi gồm 4 nhóm :

 Nhóm giáo trình đại số tuyến tính: Những giáo trình sau đã được chúng tôi xem

xét :

- Nguyễn Viết Đông – Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ

(2003), Toán cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục

- Tạ Văn Hùng – Nguyễn Phi Khứ - Hà Thanh Tâm (2000), Đại số tuyến tính,

NXB Thống Kê

- Trần Văn Hãn (1996), Đại số tuyến tính trong kỹ thuật, Tủ sách trường Đại

học Đại Cương, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp

- V.V Voevôđin (1983), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và trung học

chuyên nghiệp, NXB “Mir” Hà Nội – Maxcova Bản dịch của NXB ĐH và THCN

 Nhóm giáo trình hình học: Phân môn Hình học chỉ có trong chương trình dành

cho các trường đại học sư phạm và tổng hợp Giáo trình mà chúng tôi đã tham khảo là:

- Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục

1.1 Hệ phương trình tuyến tính xét trên phương diện đối tượng

Nghiệm của hệ (1.1) là một bộ n số sắp thứ tự (c1, c2¸ , cn) sao cho khi thay

m

bbB

X = (và gọi chúng lần lượt là ma trận các hệ số của ẩn, ma trận cột hệ số tự

do, ma trận cột các ẩn), người ta có thể viết hệ phương trình (1.1) ở dạng AX = B (1.2)

ij ; 1 , 1

a

a

a A

j A B x

1

“Ta cũng bảo cột tự do B được biểu thị tuyến tính qua hệ n cột

A , A , , A1 2 ncủa A bởi tổ hợp tuyến tính x 1 A 1 + x 2 A 2 + + x n A n Như vậy, mỗi nghiệm của (1.1) cho ta một cách biểu thị tuyến tính B qua A , A , , A1 2 n Giải hệ (1.1) tương đương với quá trình đi tìm tất cả các cách biểu thị B qua

A , A , , A1 2 n

1

” (Nguyễn Viết Đông và các tác giả, tr 97) Vì không gian các ma trận cột cấp m là một không gian vectơ m chiều nên phương trình (1.3) được gọi là dạng vectơ của hệ (1.1), và giải hệ cũng có nghĩa là biểu diễn một vectơ qua hệ vectơ

đã cho

Như thế, có ít nhất là ba hệ thống biểu đạt, hay còn gọi là ba ngôn ngữ để viết

một hệ PTTT Để thuận tiện trong trình bày, chúng tôi gọi chúng lần lượt là ngôn ngữ

hệ, ngôn ngữ ma trận, ngôn ngữ vectơ

Với ngôn ngữ hệ, khi giải hệ PTTT ta phải biến đổi trực tiếp trên các phương trình (có cả hệ số và biến số) Điều đó làm cho lời giải khá cồng kềnh, đặc biệt với những hệ có số phương trình và số ẩn tương đối lớn Lịch sử đã chỉ ra rằng chính vì để khắc phục nhược điểm này mà khái niệm ma trận đã nẩy sinh từ quá trình nghiên cứu

kỹ thuật giải các hệ PTTT Có lẽ cũng vì lý do đó mà tất cả các giáo trình đại học

chúng tôi đã tham khảo đều trình bày khái niệm hệ PTTT bằng ngôn ngữ ma trận

Lúc này, việc giải một hệ PTTT tương đương với việc giải một phương trình ma trận Ở đây, người ta chỉ thực hiện biến đổi trên ma trận số Như chúng tôi sẽ chỉ ra trong phần dưới, khi làm rõ những tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ “giải hệ PTTT”, chính cách biểu đạt này đã mang lại nhiều lợi thế cho việc tìm các kỹ thuật giải quyết vấn đề

Ưu thế của cách biểu đạt hệ PTTT bằng ma trận dường như không còn giữ được với ngôn ngữ vectơ Tuy nhiên, loại ngôn ngữ thứ ba này lại cho thấy vai trò công cụ của hệ PTTT đối với bài toán “biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn vectơ” Vấn đề này sẽ được chúng tôi làm rõ hơn trong phần 1.2 (hệ PTTT trên phương diện công cụ) của chương

1.1.2 Về các kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T* “Giải hệ phương trình tuyến tính”

Luận văn Thạc sĩ “Algorith và tham số trong dạy - học chủ đề phương trình ở trường THPT Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” của tác giả Nguyễn

Thùy Trang (2005), ĐHSP Tp.HCM rất gần với vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu trong phần này Tác giả đã đề cập đến các tổ chức toán học (TCTH) gắn với hai kiểu nhiệm vụ: - giải hệ PTTT không chứa tham số và - giải hệ PTTT có chứa tham số

(R, D tương ứng là chữ cái đầu tiên của hai từ résoudre, discuter trong tiếng Pháp Ở đây hai từ này được sử dụng với nghĩa “giải” và “biện luận”) Trong bảng 1.1 và

bảng 1.2 dưới đây, chúng tôi liệt kê lại những kỹ thuật mà tác giả đã chỉ ra để giải quyết các kiểu nhiệm vụ , Hệ thống ký hiệu của tác giả được chúng tôi giữ nguyên Để tránh sự dài dòng không cần thiết, chúng tôi sẽ không nêu ở đây các yếu tố công nghệ và lý thuyết mà tác giả đã làm rõ

R D

T 

Bảng 1.1: Các kỹ thuật giải hệ PTTT không chứa tham số

(n,n) Cr

 - Kỹ thuật giải hệ Cramer

(m,n) Cr

 - Kỹ thuật đưa về hệ Cramer

G

 - Kỹ thuật Gauss

Giải trực tiếp

TGiải hệ PTTT không chứa tham số

Giải gián tiếp

Sei

 - Kỹ thuật Seidel

Bảng 1.2: Các kỹ thuật giải hệ PTTT có chứa tham số

(m,n) Cr

 - Kỹ thuật đưa về hệ Cramer

G J 

 - Kỹ thuật Gauss – Jordan

Tán thành với Nguyễn Thùy Trang, chúng tôi cũng phân kiểu nhiệm vụ T* - “giải

hệ PTTT” thành T- “giải hệ PTTT không có tham số” và - “giải hệ PTTT có chứa tham số” (ts: tham số), vì đây là cách tốt nhất để có thể làm rõ tầm ảnh hưởng của các

kỹ thuật gắn với T* Cặp (m, n) tương ứng chỉ số phương trình và số ẩn của hệ Để

thuận tiện, chúng tôi sẽ nói hệ (m, n) thay cho hệ PTTT gồm m phương trình, n ẩn

tsT

Cách gọi “kỹ thuật giải hệ Cramer” do tác giả Nguyễn Thùy Trang đề nghị có lẽ không hoàn toàn chính xác, nên chúng tôi sẽ thay bằng “kỹ thuật Cramer” Kỹ thuật

này chỉ áp dụng được cho hệ Cramer Vả lại, thực ra thì không có sự khác biệt nào

trong kỹ thuật giải giữa hệ (m, n) với m  n và hệ (n, n) nhưng không phải là hệ Cramer Rõ ràng, sự khác biệt ấy nằm ở chỗ hệ phương trình có phải là hệ Cramer hay

không Vì hai lý do này mà chúng tôi sẽ tách T thành hai kiểu nhiệm vụ con là T - C

“giải hệ phương trình Cramer không chứa tham số” và T - “giải hệ không có tham C

việc nghiên cứu sách giáo khoa cũng như p

1.1.3

không phải là hệ Crame

Đối với kiểu nhiệm vụ Tts thì thay cho kỹ thuật Cramer (bảng 1.2) chúng tôi sẽ

nói đến “kỹ thuật định thức” Cách gọi này bao trùm cả kỹ thuật Cramer Nó chỉ một

kỹ thuật có thể dùng để giải không chỉ hệ Cramer mà còn là mọi hệ (n, n) (có số phương trình và số ẩn bằng nhau) Như chúng tôi sẽ chỉ ra trong phần dưới, cách phân các hệ PTTT có chứa tham số thành hai dạng, tùy thuộc vào chỗ số phương trình và số

ẩn có bằng nhau hay không, sẽ thuận lợi hơn cho

hân tích thực hành của giáo viên sau này

Sơ đồ dưới đây trình bày cách phân loại các kiểu nhiệm vụ của chúng tôi

T*- Giải hệ PTTT

T - Giải hệ PTTT không có tham số Tts- Giải hệ PTTT có tham số

T - Giải hệ (m, n)

có tham số (m  n)

( n ,n ) ts

T - Giải hệ (n, n) có tham số

Về các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T

n gốc nẩy sinh, ưu điểm, hạn chế hay nói cách khác là đánh giá tầm ảnh hưởng của nó

Như bảng 1.1 đã chỉ ra, Nguyễn Thùy Trang phân các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T (giải hệ PTTT không có tham số) thành 2 nhóm - nhóm kỹ thuật giải trực tiếp và nhóm kỹ thuật giải gián tiếp Tác giả giải thích cơ sở cho sự phân nhóm các kỹ

thuật là: nhóm phương pháp trực tiếp (nhóm phương pháp giải đúng) có đặc điểm chung là sau một số hữu hạn phép tính sẽ có kết quả và nhóm phương pháp gián tiếp

là phương pháp giải “gần đúng” hay phương pháp lặp Nhưng thực ra các kỹ thuật Cholesky, căn bậc hai và trực giao cũng có thể cho kết quả đúng Hơn thế, về nguyên tắc thì kỹ thuật Gauss luôn cho nghiệm đúng, nhưng trong thực tế, nếu chuyển từ phân

số sang cách viết thập phân thì nó lại có thể tạo ra sai số Vì những lý do này chúng tôi

sẽ không phân biệt các kỹ thuật thành hai nhóm như bảng 1.1 Ngoài ra, do mục đích nghiên cứu có gắn với hệ PTTT xét trên phương diện công cụ và sau đó gắn với hoạt động tác nghiệp của giáo viên, chúng tôi sẽ phân tích sâu hơn kỹ thuật Gauss Cụ thể,

để thấy được sự quan tâm đến sai số trong bản thân kỹ thuật Gauss, chúng tôi phân nó thành Gauss nguyên thủy, Gauss với phép chọn bán phần, Gauss với phép chọn toàn phần Hơn thế, đối với từng kỹ thuật, chúng tôi cũng sẽ cố gắng chỉ rõ nguồ

Cần phải nói thêm rằng, do số trang hạn chế của luận văn, chúng tôi sẽ không trình bày chi tiết từng kỹ thuật Ngoài ra, vì các yếu tố công nghệ, lý thuyết của những

kỹ thuật này đều là kiến thức về hệ phương trình tương đương và ma trận nên chúng tôi cũng sẽ không nhắc lại chúng ở đây Bạn đọc có thể tìm thấy một phân tích chi tiết trong luận văn của Nguyễn Thùy Trang

1.1.3.1 Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ TC(giải hệ PTTT không có tham số

và không phải là hệ Cramer)

Như Nguyễn Thùy Trang đã chỉ ra, gắn với kiểu nhiệm vụ TC có 3 kỹ thuật có thể được sử dụng: kỹ thuật đưa về hệ Cramer Cr, kỹ thuật Gauss – Jordan G J , kỹ thuật Gauss (m,n)G

 Kỹ thuật đưa về hệ Cramer Cr

Xét hệ PTTT viết ở dạng ma trận AX = B Gọi A[A|B] là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình, có được bằng cách ghép thêm cột tự do B vào bên phải A

Kỹ thuật này gồm các bước:

 Tính các định thức con của A, A để tìm ra định thức con D(r), D(r’) khác

không có cấp cao nhất của A, A(định thức con cơ sở): rank(A) = r và rank (A) = r’

 Nếu r < r’ thì hệ phương trình vô nghiệm

 Nếu r = r’ thì hệ phương trình có nghiệm

Ta thu được hệ Cramer đối với r ẩn chính

 Giải hệ (r, r) bằng công thức Cramer j Dj

xD

 , j 1,r hoặc dùng ma trận nghịch đảo X ' A ' B'  1

 Nhận xét

Trong lịch sử, có nhiều bài toán thực tế mà lời giải bao hàm một hệ PTTT Kỹ

thuật đưa về hệ Cramer trong một thời gian dài được sử dụng vì về nguyên tắc nó cho

phép giải mọi hệ PTTT Kỹ thuật này có điểm thuận lợi về phương diện nghiên cứu lý

thuyết (công thức nghiệm đưa ra rõ ràng) nhưng lại bất tiện trên phương diện thực hành (phải tính rất nhiều định thức khi hệ phương trình có kích cỡ chỉ mới vừa đủ lớn (số phương trình hay số ẩn lớn) hay các hệ số là số lẻ). Chính vì vậy, kỹ thuật này

không được các giáo trình ứng dụng (phương pháp tính, phương pháp số) mô tả Điều

này cũng xẩy ra trong lịch sử, khi mà những câu hỏi về thiên văn và trắc địa học đã

dẫn đến các hệ phương trình với số phương trình rất lớn Hạn chế này của được khắc phục dần với kỹ thuật Gauss- Jordan và Gauss

Cr





 Kỹ thuật Gauss – Jordan G J

Ở đây người ta tìm rank(A) và rank (A) (bằng cách tính các định thức con) và

làm tương tự như kỹ thuật Riêng với trường hợp hệ phương trình có nghiệm,

sau khi đưa được về hệ Cramer đối với r ẩn chính, thay vì dùng công thức Cramer, kỹ thuật này sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hệ số các ẩn chính về

dạng chính tắc (ma trận đơn vị cấp r) Từ đó, thu được nghiệm tổng quát của hệ đã cho

 Kỹ thuật Gauss G:

Yếu điểm của hai kỹ thuật trên được khắc phục bởi kỹ thuật Gauss Bằng các phép biến đổi sơ cấp dòng song song với việc tính hạng A và A, kỹ thuật đồng thời đưa hệ đã cho về dạng đơn giản vừa cho biết hệ vô nghiệm hay không và nếu có thì

cũng dễ dàng tìm được nghiệm “Số phép tính nhân cần thực hiện theo kỹ thuật Gauss nhỏ hơn số phép tính nhân theo qui tắc Cramer là rất lớn Cũng với hệ (30,30) và cũng bằng máy tính như trước, chúng chỉ mất có 0,54 phần tỷ giây để giải bằng phương pháp Gauss thay vì 378.080 tỷ năm bằng qui tắc Cramer ” (Trần Văn Trản,

tr.181) Kỹ thuật này được mô tả như sau :

G



 Lập ma trận mở rộng A= [A|B] Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

của ma trận Ađể đưa A về dạng bậc thang dòng A'=[A’|B’]

 Căn cứ vào hạng của A’ và hạng của A'để kết luận về số nghiệm của hệ phương trình Cụ thể:

 Nếu rank(A’) < rank (A ') thì hệ vô nghiệm

 Nếu rank(A’) = rank (A ') = n thì hệ có nghiệm duy nhất

 Nếu rank(A’) = rank (A ') = r < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n – r) tham số Trường hợp này trong dạng bậc thang dòng của A’ tồn tại định thức con

cấp r, Dr0, Dr được gọi là định thức con cơ sở Tính các ẩn chính theo các tham số (ẩn tự do) ta được nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho

Ý tưởng cơ bản của kỹ thuật Gauss là khử dần các ẩn số Từ trên xuống dưới, số các ẩn chính trong các phương trình sẽ giảm dần, cho đến khi phương trình cuối (không kể các phương trình ứng với những dòng bằng không bị bỏ đi) chỉ còn đúng một ẩn chính

Tùy thuộc vào phép biến đổi sơ cấp dòng được lựa chọn để đưa ma trận mở rộng

A về dạng bậc thang dòng A' mà ta có các kỹ thuật thuộc loại Gauss nguyên thủy , Gauss với phép chọn bán phần , Gauss với phép chọn toàn phần

Nói cách khác, các kỹ thuật này chỉ khác nhau ở khâu đưa

thế, chúng tôi chỉ mô tả phép biển đổi sơ cấp mà mỗi kỹ thuật lựa chọn cho khâu này

 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy

 (giả thiết ) rồi cộng vào dòng thứ i, ta sẽ lần lượt khử được xk trong phương trình thứ i

kk

a  0



Thực hiện tối đa qua m-1 bước khử, hệ phương trình đã cho được đưa về hệ

tương đương có dạng bậc thang

 Nhận xét : “Kỹ thuật Gauss nguyên thủy có hai yếu điểm Một là, ở bước khử

nào đó, nếu phần tử trên đường chéo bằng không thì công việc bị dừng lại Hai là, nếu phần tử trên đường chéo khác không nhưng có trị tuyệt đối nhỏ hơn các phần tử khác cùng cột thì khi chia cho nó sẽ làm tăng sai số tương đối, và do đó khuếch đại sai số làm tròn số, dẫn đến lời giải bị biến dạng mạnh.” (Trần Văn Trản, tr.182) Hai nhược

điểm này có thể khắc phục dần bằng thuật toán khử kết hợp với phép chọn bán phần,

Ngay từ bước 1, người ta chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trên cột 1 Nếu

phần tử đó nằm ở dòng k thì đổi vị trí dòng đó cho dòng 1 rồi thực hiện tiếp các thủ tục khử ở bước khử đầu tiên như trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy Đến bước 2,

k 1 

cũng lại chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất ở cột hai (từ dòng 2 trở xuống), làm phép đổi vị trí của dòng chứa phần tử đó với dòng 2 (nếu cần thiết) và thực hiện phép

khử ở bước khử thứ hai như trong kỹ thuật Gauss nguyên thủy Cứ như vậy, ở tất cả các bước khử ta đều thực hiện phép chọn phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất trên cột tương ứng và hoán đổi vị trí dòng trước khi tiến hành phép khử

 Phép biến đổi sơ cấp trong kỹ thuật Gauss với phép chọn toàn phần

am

a

 

rồi cộng kết quả vào dòng thứ i Bằng cách này, ta đã loại bỏ được ẩn xq ra khỏi các phương trình của hệ, trừ phương trình thứ p Loại dòng trội và cột q ra khỏi hệ phương trình vừa biến đổi, ta thu được hệ gồm m-1 phương trình Tiếp tục thực hiện

bước khử kế tiếp với hệ mới này Ta chỉ cần thực hiện tối đa là (min(m,n)-1) bước khử

sẽ có hệ phương trình bậc thang gồm các dòng trội ở các bước khử

i p  

1.1.3.2 Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ (Giải hệ Cramer không có tham số)

CT

Hệ Cramer là hệ PTTT có số phương trình bằng số ẩn và ma trận các hệ số của ẩn không suy biến (ma trận có định thức khác không) Đối với các hệ phương trình này, hai kỹ thuật Gauss – Jordan G J và Gauss  đều có thể sử dụng Thay cho kỹ thuật Gđưa về hệ Cramer Crlà kỹ thuật Cramer  , ở đó chỉ cần áp dụng công thức CrCramer để tìm nghiệm Ngoài ra, do ma trận các hệ số của ẩn không suy biến nên người ta còn có thể giải quyết kiểu nhiệm vụ bằng ba nhóm các kỹ thuật khác: nhóm kỹ thuật phân rã, nhóm các kỹ thuật trực giao và nhóm kỹ thuật lặp Chúng tôi

sẽ không trình bày chi tiết các nhóm kỹ thuật này, chỉ giới thiệu ý đồ của chúng Bạn

đọc quan tâm có thể tìm hiểu qua giáo trình tham khảo (sẽ được giới thiệu tương ứng)

CT

 Nhóm kỹ thuật phân rã  :

Nhóm kỹ thuật này ra đời từ nhu cầu giải các bài toán thực tế về công nghiệp và kinh doanh Ở đây người ta phải giải một chuỗi hệ phương trình có ma trận các hệ số của ẩn giống nhau: AX = B1, AX = B2, …, AX = Bp

Tư tưởng chung của nhóm kỹ thuật này là phân rã ma trận A thành tích hai ma trận tam giác đặc biệt S, V Sau đó, thay vì giải hệ phương trình ban đầu AX = B, ta chỉ việc giải hai hệ PTTT dạng tam giác đặc biệt : SY= B và VX = Y

Việc phân tích A thành tích S.V chỉ cần thực hiện một lần nhưng lại được dùng

để giải nhiều hệ PTTT có cùng ma trận các hệ số của ẩn Đây chính là ưu điểm của kỹ thuật này so với các kỹ thuật trước đó

Có ít nhất là ba cách phân tích ma trận A thành tích S.V như vậy Chúng được gọi là kỹ thuật Cholesky Cho , kỹ thuật phân rã LU LU, kỹ thuật căn bậc hai





 Kỹ thuật Cholesky Cho:

Phân tích: A = SV, trong đó S là ma trận tam giác dưới, và V là một ma trận tam giác trên với các phần tử chéo bằng 1 Người ta đã tìm ra công thức xác định các phần

tử của ma trận S và V và từ đó có công thức tìm nghiệm của hệ phương trình (tham khảo Nguyễn Chí Long, tr 127)

 Kỹ thuật căn bậc hai 

Đây là trường hợp đặc biệt của kỹ thuật Cholesky khi ma trận A là ma trận đối xứng, nghĩa là aija (i, j 1, nji  )

một cách dễ dàng Kết hợp tư tưởng này với tư tưởng phân rã ma trận hệ số A (nhóm

kỹ thuật phân rã), nhóm kỹ thuật trực giao tiến hành phân tích ma trận hệ số A thành tích hai ma trận đặc biệt: một ma trận là ma trận trực giao hoặc gần như là trực giao (có các cột trực giao, các hàng trực giao) và một ma trận tam giác

 Kỹ thuật trực giao hóa các cột cot:

Phân tích ma trận A thành tích hai ma trận S, V, với S là ma trận có các cột trực giao, V là ma trận tam giác trên có các phần tử chéo bằng 1 Người ta đã tìm ra công thức cho phép xác định S, V và sau đó là nghiệm của hệ phương trình (tham khảo Trần Văn Trản, tr 275)

 Kỹ thuật trực giao hóa các hàng hang:

Phân tích ma trận A thành tích hai ma trận L và S, trong đó S là ma trận có các hàng trực giao, L là ma trận tam giác dưới có các phần tử chéo bằng 1 Công thức xác định S, V và sau đó là nghiệm của hệ phương trình cũng đã được tìm thấy (tham khảo Trần Văn Trản, tr 279)

 Nhóm các kỹ thuật lặp  : 

Đối với những hệ có kích cỡ lớn hoặc hệ gần suy biến, việc giải bằng các kỹ thuật

đã nêu không tránh khỏi những sai số do làm tròn số Điều này làm cho hệ gần suy biến thành hệ suy biến (hệ gần suy biến là hệ mà ma trận hệ số của ẩn có định thức gần bằng không) hoặc nghiệm thu được không chính xác Trong thực tế, người ta vẫn chấp

nhận một khoảng sai số cho phép giữa nghiệm tìm được với nghiệm chính xác thực

sự Nhưng các kỹ thuật giải đã nêu không xác định được khoảng sai số đó trong quá trình giải Nhóm kỹ thuật lặp đáp ứng được yêu cầu ấy Kỹ thuật này còn có thể thực hiện vai trò điều chỉnh nghiệm gần đúng (có được từ việc giải bằng các phương pháp

khác) về nghiệm gần đúng thuộc khoảng sai số cho phép Bù lại, trong khi các kỹ thuật

giải đã nêu trên cho phép dự đoán trước số phép toán phải thực hiện, thì kỹ thuật lặp lại không Một qui trình lặp có thể ngưng ngay khi nghiệm gần đúng là đủ chính xác theo ý muốn Dầu vậy, các phương pháp lặp cũng có thể bị thất bại hoặc thực thi quá chậm đối với một số bài toán

Tư tưởng chung của nhóm kỹ thuật này là viết lại hệ phương trình dưới dạng X= f(X) Nghiệm gần đúng được tính bằng cách sử dụng nghiệm gần đúng trước đó Nghiệm đúng có được của hệ trong trường hợp này, về phương diện lý thuyết, là kết quả của một quá trình vô hạn bước lặp Nhưng trên thực tế, một qui trình lặp có thể ngưng ngay khi nghiệm gần đúng là đủ chính xác cho công việc thực tế (nằm trong khoảng sai số cho phép)

Về nhóm kỹ thuật lặp, bạn đọc có thể tìm thấy trong giáo trình Trần Văn Trản (tr.204-213), ở đó người ta trình bày chi tiết các kỹ thuật lặp đơn, lặp Jacobi (một trường hợp đặc biệt của kỹ thuật lặp đơn), lặp theo Seidel, lặp Gauss – Seidel (một trường hợp đặc biệt của kỹ thuật lặp theo Seidel) và các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật

1.1.4 Về kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ Tts ( ( giải hệ PTTT có tham số)

1.1.4.1 Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ (Giải hệ (m, n) có tham số, trong

đó m  n)

(m,n) ts

T

Về mặt lý thuyết, gắn với kiểu nhiêm vụ này có ba kỹ thuật giải: đưa về hệ Cramer Cr, Gauss – Jordan G J , Gauss  Các giáo trình đại học không nhấn Gmạnh sự khác biệt trong kỹ thuật giải hệ có chứa tham số và không chứa tham số Tuy nhiên, về mặt thực hành, việc vận dụng các kỹ thuật vào giải hệ có chứa tham số phức

tạp hơn khá nhiều, đôi khi khó có thể thực hiện được vì phải biện luận quá nhiều

trường hợp của tham số Trong ba kỹ thuật nêu trên thì kỹ thuật Gauss có ưu thế hơn

1.1.4.2 Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ (n,n)(Giải hệ (n, n) có tham số)

T

(n,n) ts

T

(n,n) D



 Kỹ thuật định thức (n,n)D :

Tính D = det A và các định thức Dj, j 1, n (Dj: từ D, thay cột thứ j bởi cột tự do)

- Nếu D 0  thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất X (x , x , , x ) 1 2 n , với

 

 Tóm lại, liên quan đến vấn đề giải hệ PTTT, ta có thể nhóm những kiểu nhiệm vụ trên thành các tổ chức toán học sau:

Bảng 1.3: Các tổ chức toán học liên quan đến việc giải hệ PTTT

Ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ, ta có một tổ chức toán học bộ phận (organisation

ponctuelle) Các tổ chức bộ phận (có chung một công nghệ) nhóm lại với nhau thành

tổ chức địa phương (organisation locale) Nhiều tổ chức địa phương (có chung một lý thuyết) kết hợp với nhau thành một tổ chức vùng (organisation régionnale) Yếu tố công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải hệ PTTT nêu trên có thể chia làm ba nhóm:

nhóm 1 gồm định lý Kronecker - Capelli về điều kiện có nghiệm, định lý Cramer (giải thích cho  D nhóm 2 gồm định lý Kronecker - Capelli về điều kiện có nghiệm,

định lý về hệ phương trình tương đương (giải thích cho G J

1.2 Hệ PTTT xét trên phương diện công cụ

Trong mọi lĩnh vực của cuộc sống, mọi ngành khoa học, ta đều có thể gặp những bài toán mà việc giải quyết dẫn đến một hệ PTTT Bởi thế, không thể kể hết các kiểu nhiệm vụ mà hệ PTTT can thiệp với tư cách một công cụ Trong phần dưới đây, chúng

tôi sẽ chỉ đề cập đến hai kiểu nhiệm vụ thường gặp trong hình học và, như chúng tôi sẽ chỉ ra ở chương 2, cũng là hai kiểu nhiệm vụ được nghiên cứu trong chương trình môn toán ở trường phổ thông

1.2.1 TCTH g n với kiểu nhiệm vụ “biểu thị tuyến tính một ve tơ qua một hệ hữu hạn các ve tơ”

 Kiểu nhiệm vụ Tvt: Trong  n, cho m vectơ ai= (ai1, ai2, …, ain), (i 1, m) và vectơ = (bB 1, b2, …, bn) Hãy biểu thị tuyến tính B

 Lý thuyết  vt : Lý thuyết vectơ, lý thuyết hệ PTTT

1.2.2 TCTH iên quan đến v n đề tương gia giữa các phẳng

1.2.2.1 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ “Xét vị trí tương đối của 2 cái phẳng”

 Kiểu nhiệm vụ T 2p : Nghiên cứu vị trí tương đối giữa p – phẳng Ap (có phương

Vp) và q- phẳng Aq (cóphương Vq) có phương trình cho trước

 Kỹ thuật  2p :

 Bước 1: Lập hệ PTTT (*) bao gồm tất cả các phương trình của p – phẳng

Ap và q- phẳng Aq

 Bước 2: Dùng kỹ thuật Gauss đưa (*) về dạng bậc thang, xác định

phương chung VpVq và số điểm chung ApAq Đặt d =dim V p  V q   p q rank(*),

s là số điểm chung ApAq và cũng chính là số nghiệm của (*)

 Bước 3: Kết luận về vị trí tương đối của p – phẳng và q- phẳng:

thì

 Nếu d = 0:

- và s > 0 A , Ap qcó 1 điểm chung duy nhất

- và s 0  thì A , Ap q gọi là chéo nhau (hoàn toàn)

A A ta có vị trí tương đối c hai cái phẳng đó

ý thuyết HH : Lý thuyết hình học afin, lý th

i j

aa

 Kỹ thuật  2p :

 Lập hệ PTTT gồm tất cả các phương trình của các phẳng

hì các phẳng giao nhau tại một điểm có tọa độ là

m thì các phẳng này không có điểm chung

- Nếu hệ vô nghiệ

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì kết luận các phẳng này giao n

phẳng có PT là hệ sau khi thu gọn, với k = n - số PT của hệ sau khi thu gọn Công nghệ và lý thuyết giải thích cho kỹ thuật này cũng chính là công nghệ và lý

t của tổ chức toán học xét vị trí tương đối giữa hai phẳng {T2p, 2p, 2p, 2p}

K

Kết quả các

ề đặc trưng của hệ PTTT nhìn từ góc độ một tri thức toán học

1.3.1 Xét về sự chuyển đổi phạm vi v hệ thống biểu đạt

ra ba hệ thống biểu đạt (regi

toán học, ta thấy một hệ PTTT lại có thể d

Trong phần 1.1 của chương này, chúng tôi đã chỉ

stre) của hệ PTTT mà chúng tôi gọi là ba ngôn ngữ biểu đạt: ngôn ngữ hệ, ngôn ngữ ma trận, ngôn ngữ vectơ Kết quả nghiên cứu của chương này cho thấy các giáo

trình đại học đã khai thác tốt ba ngôn ngữ đó Chính hệ thống biểu đạt một hệ PTTT

đã tạo điều kiện thuận lợi cho sự ra đời của các kỹ thuật giải hệ Với ngôn ngữ hệ, kỹ thuật giải hệ sơ khai chỉ là các phép biến đổi tương đương phương trình Khi đó, chỉ cần hệ có kích cỡ hơi lớn lời giải cũng đã khá cồng kềnh Với ngôn ngữ ma trận, việc giải hệ trở nên vô cùng sáng sủa, hàng loạt các kỹ thuật giải hệ ra đời Kỹ thuật đưa về

hệ Cramer gắn liền với định thức của ma trận, kỹ thuật Gauss gắn liền với phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, kỹ thuật Gauss – Jordan là bước chuyển dần từ kỹ thuật đưa về

hệ Cramer sang kỹ thuật Gauss (thay dần việc tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp ma trận) Kỹ thuật phân rã gắn liền với ma trận tam giác Kỹ thuật trực giao gắn liền với ma trận trực giao Cũng khai thác cách biểu diễn theo ma trận, kỹ thuật lặp sử dụng thêm cách viết dưới dạng đẳng thức X = f(X) thuận lợi cho việc lặp nghiệm Như vậy, tất cả các kỹ thuật đều sử dụng công cụ, hệ thống biểu đạt ma trận Hay ngôn ngữ

ma trận là một trong những điều kiện sinh thái tốt cho sự ra đời của nhiều kỹ thuật giải

hệ PTTT Ngôn ngữ hệ và ngôn ngữ vectơ thì lại cho phép khai thác phương diện hệ

PTTT - công cụ đại số trong việc giải quyết nhiều bài toán hình học Sức mạnh của đại

số, của các công cụ đại số đã được khẳng định

Khi xét hệ PTTT với tư cách một công cụ

ùng để biểu diễn cho một phẳng hoặc giao của các phẳng (trường hợp đặc biệt là siêu phẳng) Chính điều đó đã mở rộng giá trị công cụ của hệ PTTT vào việc giải các bài toán liên quan đến sự tương giao của các phẳng (vốn khó hoặc không thể giải

quyết bằng các công cụ của hình học (trực quan) trong không gian từ 3 chiều trở lên) Thế nhưng khi không gian có số chiều không vượt quá 3 thì, một cách biện chứng, ta

có thể lật ngược lại vấn đề: các phẳng, đặc biệt là các siêu phẳng, lại có thể xem như một hệ thống biểu đạt khác cho những hệ PTTT có số ẩn không vượt quá 3 Chúng tôi

gọi đây là hệ thống biểu đạt hình học của hệ PTTT Lúc này, ta lại có thêm một kỹ

thuật khác để giải hệ PTTT: chuyển về xét tương giao các phẳng bằng công cụ của hình học Ưu điểm của hình học, của các công cụ hình học có thể được khai thác khi giải hệ PTTT Như chúng tôi đã nói, kỹ thuật này không xuất hiện trong các giáo trình đại học, bởi đối tượng nghiên cứu ở đó là những hệ PTTT có số ẩn tùy ý Nhưng chắc

là cơ hội xuất hiện kỹ thuật này trong chương trình toán học phổ thông thì không phải

là ít, bởi ở đây các không gian được xét là không gian vật lý, có số chiều tối đa là 3, và các hệ PTTT cũng chỉ có không quá 3 ẩn Đây là vùng sống mà các công cụ đại số có thể tồn tại, phát triển, khẳng định sức mạnh đối với nghiên cứu hình học, và ngược lại, các yếu tố của hình học trực quan cũng có thể thể hiện lợi thế của mình trong nghiên cứu đại số, giải tích Sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt (cadre et registre) giữa đại số, giải tích, hình học luôn mang lại những lợi ích quan trọng cho việc học toán (và

cả cho việc nghiên cứu toán, như Douady đã nói) Vấn đề này sẽ được chúng tôi quan tâm đến khi phân tích quan hệ thể chế với đối tượng hệ PTTT và khi quan sát thực hành của giáo viên

1.3.2 Xét tr n phương diện kỹ thuật giải hệ PTTT



Như chúng tôi đã phân tích ở trên, kỹ thuật đưa về hệ Cramer mang lại thuận lợi

phươ

Tầm ảnh hưởng của mỗi kỹ thuật

ương diện nghiên cứu lý thuyết nhưng

ng trình có các hệ số là số lẻ hay có kích cỡ lớn vì ở đó ta phải tính rất nhiều định

thức Kỹ thuật Gauss - Jordan không đòi hỏi phải tính định thức khi hệ có nghiệm

Tuy nhiên, điều này vẫn phải thực hiện ở bước xác định rank(A) và rank(A) Yếu

điểm của hai kỹ thuật trên được khắc phục bởi nhóm kỹ thuật Gauss Bằng các phép

biến đổi sơ cấp dòng song song với việc tính hạng A và A, nhóm kỹ thuật này cho phép đưa hệ đã cho về dạng đơn giản đồng thời cho biết hệ vô nghiệm hay không và

nếu có thì cũng dễ dàng tìm được nghiệm Nhưng trong th c hành, nó có thể dẫn tới

sai số khá lớn mà ta không đánh giá được sai số đó Nhóm kỹ thuật lặp đáp ứng được

yêu cầu ấy, nghĩa là nó cho phép tìm nghiệm gần đúng với một sai số xác định Thế nhưng, khác với các kỹ thuật trên, nó lại không cho phép dự đoán trước số phép toán

phải thực hiện Nhóm kỹ thuật phân rã cho phép giải cùng lúc nhiều hệ PTTT có cùng

ma trận các hệ số của ẩn, thường gặp trong bài toán thực tế về công nghiệp và kinh

doanh Nhóm kỹ thuật trực giao được xây dựng trên cơ sở kết hợp ưu điểm của nhóm

kỹ thuật phân rã và kỹ thuật Cramer, lại tận dụng thêm được tính chất đặc trưng của

ma trận trực giao

 Phân loại kỹ thuật

ự

Xét về khía cạnh sai số, tất cả các kỹ thuật được chia làm 3 nhóm: nhóm không quan

giải tích

tâm đến sai số, nhóm hạn chế tối đa sai số (do làm tròn số) khi tìm nghiệm, nhóm

ước lượng được khoảng sai số của nghiệm gần đúng khi tìm nghiệm Nhóm thứ nhất gồm 3 kỹ thuật: kỹ thuật đưa về hệ Cramer, kỹ thuật Gauss – Jordan và Gauss nguyên thủy Nhóm thứ ba gồm các kỹ thuật lặp Nhóm thứ hai gồm các kỹ thuật còn lại

Ta cũng có thể phân loại các kỹ thuật tùy theo các đặc trưng đại số, hình học,

Chúng tôi nói một kỹ thuật thuộc vào nhóm đại số nếu nó chỉ gồm những tính toán đại số, thuộc nhóm kỹ thuật giải tích hay hình học nếu nó có sử dụng kiến thức của các ngành toán học này Tất cả những kỹ thuật giải hệ PTTT được mô tả ở trên

đều có thể xếp vào nhóm đại số, trừ các kỹ thuật lặp có bản chất giải tích (vì muốn tìm

được nghiệm chính xác phải qua phép lấy giới hạn) Tuy nhiên, trong thực hành, kỹ thuật lặp cũng đã được đại số hóa, bỏ qua phép lấy giới hạn và chỉ xét trong hữu hạn bước, xấp xỉ nghiệm trong khoảng sai số cho phép Kỹ thuật hình học hoàn toàn vắng bóng Điều này có thể giải thích được, bởi khi số phương trình hay số ẩn khá lớn thì ta phải nói đến những p-phẳng của không gian nhiều chiều, mà đối với những không gian

có số chiều vượt quá ba thì rõ ràng là hệ thống biểu đạt hình học (registre géométrique) không thể phát huy ảnh hưởng

1.3.3 Xét về phương diện công cụ Sự mô hình hóa.

hạm vi hình học có chịu sự tác động

ười ta có nói đến dạy học mô hình hóa và dạy học bằng

mô h

ngắn gọn về quá trình

Mô hình là một đối tượng cụ thể nào đó dùng thay thế cho một nguyên bản tươn

là một mô hình biểu diễn toán học của những mặt chủ yếu của một

Chúng tôi đã chỉ ra những kiểu nhiệm vụ thuộc p

của hệ PTTT Không chỉ thế, công cụ này có mặt ở khắp nơi và việc thống kê các kiểu nhiệm vụ là không thể Chúng tôi dùng thuật ngữ “giải bài toán thực tế” để nói về tất cả những kiểu nhiệm vụ mà lời giải đòi hỏi phải có sự can thiệp của hệ PTTT Kiểu nhiệm vụ có trong cuộc sống, trong các khoa học vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế, xã hội, v.v… Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, ta phải thực hiện việc mô hình hóa (modélisation)

Trong didactic toán, ng

ình hóa Điều này là một trong những mối quan tâm của chúng tôi khi nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa và thực hành giảng dạy của giáo viên

Chính vì vậy, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày ở đây một cách

mô hình hóa để sử dụng công cụ toán học vào giải quyết một vấn đề của thực tiễn hay của các khoa học khác và sau đó là vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa

g xứng để có thể giải quyết một nhiệm vụ nhất định trên cơ sở sự đồng dạng về cấu trúc và chức năng

Mô hình toán học

nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong một phạm vi giới hạn, với một độ chính xác vừa đủ và trong dạng thích hợp cho sử dụng Cụ thể hơn mô hình toán học là các công thức để tính toán các quá trình hóa học, vật lý, sinh học, … được mô phỏng

từ hệ thống thực (Theo

http://www.hcmier.edu.vn/vie/IER-DeptGeoinfo/GeoInfo-Modeling.htm)

Quá trình mô hình hóa toán học được minh họa bằng sơ đồ sau:

Tham khảo sơ đồ - quy trình mô hình hóa một hệ ngoài toán học, Coulange (1997)

ước (1): Tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống, tình huống cquyết (bài toán có nội dung thực tiễn) để đưa về một bài toán phỏng thực tiễn (BTPTT) bằng cách:

Loại bỏ những ch

ên dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ thống Rút ra những mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi của hệ thống

Bước (2)

hệ thống biểu đạt, công cụ toán học

Bước (3): Tìm và áp dụng các công c

Bước (4): Nhìn lại các thao tác đã làm ở bước 2 để chuyển ng

a BTTH sang câu trả lời cho BTPTT

Bước (5): Phân tích kết quả thu được t

chuyển từ câu trả lời của BTPTT sang câu trả lời cho bài toán có nội dung thực tiễn

N

ết hợp với sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt Điều đó đã tạo nên thế

Bài toán phỏng thực tế (BTPTT)

Bài toán toán học (BTTH)

vi và

hệ thống biểu đạt

mạnh của quá trình mô hình hóa toán học: giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp, đa dạng trong nhiều phạm vi ngoài toán học

Vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa đã được tác giả Lê Văn

Tiến trình bày trong giáo trình “Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông”

(2005) Dạy học mô hình hóa là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của

thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Từ đó, một

quy trình dạy học tương ứng có thể là: Dạy học tri thức toán học lý thuyết Vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn và do đó vào việc xây dựng

mô hình của thực tiễn Tuy nhiên, quy trình này làm mất đi vai trò động cơ của các bài

toán thực tiễn và do đó làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học: tri thức toán học không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn Quan

niệm “dạy học bằng mô hình hóa” cho phép khắc phục khiếm khuyết này Theo quan

niệm này, vấn đề là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hóa Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn Quy

trình dạy học tương ứng có thể là: Bài toán thực tiễn Xây dựng mô hình toán học Câu trả lời cho bài toán thực tiễn Tri thức cần giảng dạy Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn





 Những kết quả đạt được ở chương này sẽ là một cơ sở tham chiếu cho phân

tích thể chế ở chương 2, giúp chúng tôi xác định trong thể chế toán phổ thông hiện hành, những gì trên đây có để lại vết (đậm, mờ nhạt, …), TCTH nào không tồn tại, TCTH nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không được thể chế xây dựng Kết quả trên cũng hỗ trợ cho việc quan sát, phân tích thực hành giảng dạy của GV và phát triển tổ chức didactic

Chương 2:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH NHÌN TỪ GÓC ĐỘ TRI THỨC CẦN DẠY

Mở đầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này nhằm làm rõ những lựa chọn của thể chế gắn

với hệ PTTT nhìn từ góc độ tri thức cần dạy ở lớp 10 hiện hành Cụ thể, chúng tôi sẽ

chỉ ra các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q2 Câu hỏi này đề cập đến các vấn đề sau:

- Những kỹ thuật nào đã được khai thác để giải hệ PTTT và các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho chúng

- Những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT đã được đưa vào

- Tham chiếu với tri thức toán học, những gì đã không có cơ hội xuất hiện, những gì lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại và lý do tại sao

- Những hệ thống biểu đạt nào đã được sử dụng và nó có ảnh hưởng gì

- Vấn đề dạy học mô hình hóa và bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm đến hay không

Mỗi đối tượng tri thức không thể tồn tại độc lập trong một thể chế, mà nó được sinh ra rồi tồn tại, phát triển trong mối quan hệ với nhiều tri thức khác Hơn thế, việc dạy học một tri thức thường được phân thành nhiều giai đoạn, và hiển nhiên các giai đoạn đó không thể hoàn toàn độc lập với nhau Chính vì thế, việc nghiên cứu quan hệ thể chế với một tri thức cần phải được tiếp cận từ góc độ sinh thái học Theo cách tiếp

cận này, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chương trình toán hiện hành để xác định các

điều kiện và ràng buộc sinh thái gắn với đối tượng O tại thời điểm cần nghiên cứu thực

hành Phân tích này nhằm vạch rõ vị trí, vai trò của O trong I, những gì gắn với O

được dạy trước và sau thời điểm đó Từ cách tiếp cận sinh thái và tham chiếu nghiên

cứu ở chương 1, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích hệ PTTT trong SGK đại số 10 (cơ

bản, và nâng cao) hiện hành

Để phục vụ cho nghiên cứu này, chúng tôi sẽ sử dụng các tài liệu tham khảo sau: chương trình toán phổ thông (2006), các sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên

của các lớp 9, 10, 12 (cơ bản, nâng cao) hiện hành và một số tài liệu tham khảo khác

Để thuận tiện khi trình bày, chúng tôi quy ước một số ký hiệu sau: GK9, GV9, BT9;

GKNC, GVNC, BTNC; GKCB, GVCB, BTCB lần lượt là sách giáo khoa (SGK), sách giáo viên (SGV), sách bài tập (SBT) của các lớp 9, 10 nâng cao và 10 cơ bản hiện hành

2.1 Hệ PTTT trong chương trình toán phổ thông hiện hành

Một trong những mục tiêu của chương trình toán phổ thông hiện hành là giúp học

sinh đạt được những kiến thức cơ bản về hệ phương trình bậc nhất, những kỹ năng cơ bản về giải hệ phương trình, giải toán và vận dụng kiến thức toán học trong học tập và đời sống

Với mục tiêu đó, hệ PTTT được bố trí chủ yếu trong chương trình đại số của hai lớp 9, 10 và hình học của hai lớp 10, 12 Nó xuất hiện trước tiên với tư cách một đối

tượng nghiên cứu và sau đó là công cụ giải một số bài toán đố (vết của các bài toán thực tế), bài toán biểu thị tuyến tính của vectơ (vết của T vt ) và bài toán về sự tương giao của các phẳng (vết của T 2p , ) Do mục đích là nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV phần “hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” ở lớp 10, nên chúng tôi chọn thời điểm này làm mốc để xét các điều kiện và ràng buộc sinh thái

2p T

2.1.1 Điều Điều kiện sinh thái kiện sinh thái cho sự xuất hiện và phát triển của cho sự xuất hiện và phát triển của 0 0

Ngay từ cấp 1 và trải dài đến lớp 8, chương trình môn toán đã đưa vào các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân để giải các bài toán tìm x Đây là cơ sở để hợp thức các phép biến đổi trong kỹ thuật cộng, thế khi giải hệ (2,2) Cũng trong đại số 8, các bài

toán đố mà việc giải đòi hỏi phải lập phương trình bậc nhất một ẩn đã được đưa vào nghiên cứu Đây là một vùng sống của sự mô hình hóa toán học và cũng chính là một nấc thang chuyển tiếp đến các bài toán được giải bằng cách lập hệ phương trình Hệ phương trình thì bao gồm nhiều phương trình nên việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cũng sẽ được làm tương tự

Đến lớp 9, hàm số bậc nhất y = ax + b (a0) cùng đồ thị của nó đã được đề cập Trên cơ sở này, người ta trình bày các yếu tố của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by

= c: nghiệm, tập nghiệm, minh họa hình học tập nghiệm “Khái niệm đường thẳng xác định bởi (hay biểu diễn tập nghiệm của) phương trình ax + by = c được xây dựng dựa vào đồ thị của hàm số bậc nhất” Cách vẽ đường thẳng ax + by = c cũng được xem

xét Những tri thức này là tiền đề để đưa vào hệ (2,2) với cả ngôn ngữ hệ lẫn ngôn ngữ hình học Và từ đó, các kỹ thuật đại số (vết của kỹ thuật Gauss), kỹ thuật hình học để giải hệ (2,2) và việc áp dụng các kỹ thuật này để giải các bài toán về vị trí tương đối

của đường thẳng có điều kiện xuất hiện Thêm vào đó, gắn với nội dung hàm số bậc nhất, cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cũng đã được đúc kết: hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a’x + b’ (a’ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b b’; trùng nhau khi và chỉ khi a = a’, b = b’; cắt nhau khi a a’ Đây

chính là các yếu tố nền tảng cho kỹ thuật hình học: căn cứ vào tỷ lệ các hệ số

a b c

, ,

a ' b' c' để đoán nhận số nghiệm của hệ (2,2)

Hệ PTTT được trình bày chính thức trong GK9 nhằm mục tiêu “cung cấp phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng các ứng dụng trong việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” (GV9 tr.3) Với mục tiêu này,

kỹ thuật cộng, thế để giải hệ (2,2), kỹ thuật giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

là những nội dung được chú trọng

Và sau đó, trong phân môn hình học lớp 10, học sinh được nghiên cứu mặt phẳng

tọa độ, tọa độ của vectơ Ngôn ngữ vectơ xuất hiện trong một số bài toán về sự biểu thị tuyến tính vectơ Còn trong phân môn đại số 10, các nội dung về hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất hai ẩn một lần nữa lại được nhắc đến (tương tự như đại số 9)

trước khi O được đưa vào Tuy nhiên, có một sự khác biệt nhỏ là có đưa thêm vào phần mệnh đề tương đương Sự khác biệt này đã tạo tính hợp thức toán học cho các kỹ thuật cộng và thế để giải hệ PTTT

 Như vậy, tại thời điểm nghiên cứu O, các hệ thống biểu đạt hệ PTTT như

ngôn ngữ hệ, ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ hình học cùng các kỹ thuật giải hệ (2,2) như

kỹ thuật cộng, thế và cả kỹ thuật hình học đều đã được đưa vào trước đó Các kiểu nhiệm vụ giúp khẳng định chức năng công cụ của hệ PTTT đã phần nào được xem xét

và hoàn toàn có điều kiện để phát triển và hoàn thiện

2.1.2 Ràng buộc sinh thái cho sự xuất hiện và phát triển của 0 Ràng buộc sinh thái cho sự xuất hiện và phát triển của 0

Sau khi “hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” được dạy chính thức trong đại số

lớp 10, chức năng công cụ của hệ PTTT được tiếp tục mở rộng khai thác trong hình

học 10, 12 Cụ thể, trong chương “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở hình học lớp 10, “phương pháp tọa độ trong không gian” ở lớp 12, phương trình của đường

thẳng và phương trình của mặt phẳng đã được định nghĩa tường minh Ở đây, hệ PTTT được dùng để giải nhiều bài toán về sự tương giao của đường thẳng, mặt phẳng, về sự

biểu thị tuyến tính của vectơ như: xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian tọa độ, xét sự tương giao giữa các đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, biểu thị tuyến tính 1 vectơ qua hệ vectơ trong không gian tọa độ Đây là mảnh đất mà

công cụ hệ PTTT có thể sống, hoạt động và phát triển

 Trong chương trình chỉnh lý hợp nhất, hệ PTTT là công cụ chiếm ưu thế trong

việc giải các bài toán liên quan đến sự tương giao giữa mặt phẳng, đường thẳng Trong chương trình hiện hành, ưu thế đó đã giảm tuy nhiên vẫn tồn tại Một số dạng toán hình học giải tích ở lớp 10, 12 và nhiều bài toán của vật lý, hóa học thuộc chương trình các lớp 9, 10, 11, 12 chỉ được giải bằng cách đưa về hệ (2,2), hệ (3,3) Ở đây, người ta cũng đòi hỏi học sinh phải biết giải và giải nhanh các hệ này Và vì vậy nên trước đó, các kỹ thuật giải hệ (2, 2), (3, 3) đã phải được đưa vào nghiên cứu trong SGK Tóm

lại, chính những giá trị công cụ đã nêu là ràng buộc sinh thái khiến tri thức hệ PTTT

tất yếu không thể vắng mặt và tạo điều kiện cho sự xuất hiện của máy tính bỏ túi (đưa

nhanh ra nghiệm của hệ) trong chương trình toán phổ thông hiện hành

2.2 Hệ PTTT trong các SGK toán phổ thông hiện hành

Chương trình toán cấp 3 hiện hành gồm hai chương trình nâng cao và cơ bản Chương trình nâng cao được soạn ra để dành riêng cho ban khoa học tự nhiên Trong chương trình này, tri thức môn toán được dạy nâng cao hơn so với chương trình cơ

bản Chính vì vậy, chúng tôi lựa chọn phân tích SGK toán lớp 10 nâng cao trước rồi từ

đó mới phân tích SGK toán lớp 10 cơ bản trên cơ sở so sánh đối chiếu với SGK 10 nâng cao Mục tiêu khi phân tích mỗi SGK là tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q2.Trong việc phân tích từng SGK, chúng tôi gần như sẽ giữ nguyên bố cục, thứ tự

trình bày như ở chương 1: Hệ PTTT trên phương diện đối tượng, Hệ PTTT trên phương diện công cụ Điều này giúp chúng tôi dễ dàng lấy kết quả ở chương 1 làm

tham chiếu để phân tích quan hệ thể chế Đồng thời, bên cạnh việc đảm bảo theo thứ

tự đó, chúng tôi sẽ theo tiến trình của SGK nhằm phục vụ tốt cho việc quan sát và phân tích thực hành của giáo viên ở chương 3 Vì hệ được xét trong chương trình phổ thông thường là hệ (2,2), (3,3) nên các chỉ số này sẽ được dùng làm chỉ số trên trong

ký hiệu các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật, … Ví dụ như T(2,2)ký hiệu kiểu nhiệm vụ giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn không chứa tham số

Hệ PTTT được đưa vào tường minh trong đại số 9 Do đó, muốn phân tích tốt hệ

PTTT trong SGK đại số 10 thì việc nhìn lại cuộc sống của nó trong quá khứ để thấy

những gì đã được xây dựng, những gì đã làm được và những gì lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không được đưa vào là điều thật sự cần thiết Cụ thể, chúng tôi đã tiến hành

phân tích SGK đại số 9, nhưng vì đây không phải là thời điểm gắn với nghiên cứu

thực hành của GV nên chúng tôi chỉ trình bày tóm tắt các kết quả đạt được

Khái niệm hệ PTTT được đưa vào trực tiếp mà không xuất phát từ bất kỳ một

động cơ nào Cụ thể, GK9 đã không giới thiệu dù chỉ là một bài toán để thấy được nhu

cầu phải nghiên cứu đối tượng này Việc minh họa hình học tập nghiệm của hệ (2,2), các kiểu nhiệm vụ đoán nhận số nghiệm của hệ (2,2), giải hệ (2,2) và giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lần lượt được xem xét trong phần lý thuyết và bài tập

GK9 đã khai thác ngôn ngữ biểu đạt hình học trong việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng từ đó kết luận số nghiệm của hệ Việc xét vị trí tương đối này được thực hiện bằng một trong hai cách: vẽ 2 đường thẳng có phương trình lần lượt là hai phương trình trong hệ hoặc dựa vào tỉ lệ các hệ số a b c, ,

a ' b' c' của hai phương trình Hệ (2,2) cũng được giải bằng kỹ thuật hình học (vẽ hai đường thẳng) nhưng GK9 chủ yếu nhấn mạnh hai kỹ thuật mang bản chất đại số (cộng, thế) Gắn với vấn đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, xét tất cả các tình huống trong ví dụ, bài tập mà GK9,

BT9 đưa ra cho thấy chúng có chung các đặc điểm sau: Dữ liệu bài toán vừa đủ, không thừa, không thiếu;hai ẩn số cần chọn là hai yếu tố cần tìm trong câu hỏi của bài toán;

hệ phương trình được lập luôn có một nghiệm duy nhất; sau khi giải hệ, nghiệm của

hệ cũng chính là nghiệm của bài toán đố (thực tế) ban đầu Từ đó, năm bước của quá

trình mô hình hóa đã không có điều kiện để thực hiện đầy đủ, đúng nghĩa

Kết quả phân tích cũng cho thấy, có những điều mà GK 9 đã không làm được mặc dù hoàn toàn có triển vọng thực hiện GK9 đưa vào kiểu nhiệm vụ đoán nhận

số nghiệm của hệ trước nhằm để hỗ trợ việc giải hệ (2,2), tức là đoán số nghiệm rồi mới giải hệ (2,2) Tuy nhiên, ý đồ đó đã không thành công Hai kiểu nhiệm vụ ấy còn

đứng khá độc lập, chưa kết dính với nhau Không có bất kỳ một bài tập hay tình huống nào trong GK9 và cả BT9 minh họa cho điều này Các kỹ thuật hình học đã được khai thác dù khá mờ nhạt so với các kỹ thuật đại số và từ khi hai kỹ thuật đại số (cộng, thế)

xuất hiện thì chúng đã lấn át luôn các kỹ thuật hình học Nếu như ở chương 1, kỹ thuật

Gauss với phép chọn bán phần, toàn phần đã chọn các hệ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất khi chia nhằm giảm sai số thì trong SGK lớp 9 lại chọn các số có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất vì thuận lợi cho việc viết dưới dạng phân số và vì ở lớp 9, việc tìm nghiệm

gần đúng hoàn toàn không xuất hiện Phân tích GK9 cho thấy đã không có một tình

huống nào giúp bộc lộ tường minh ưu, khuyết điểm của từng kỹ thuật Đây cũng

chính là điều mà chúng tôi nghĩ hoàn toàn có thể làm được trong GK9 Cụ thể, có thể

đưa ra những ví dụ về hệ (2,2) vô nghiệm hay vô số nghiệm mà việc dùng các kỹ thuật hình học để đoán nhận số nghiệm có thể kết luận ngay được tập nghiệm, trong khi dùng kỹ thuật đại số lại gặp khó khăn; hoặc với kiểu tình huống xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (có phương trình cho trước) thuộc phạm vi hình học được giải bằng cách chuyển về bài toán đoán nhận số nghiệm của hệ (2,2) mà không cần giải hệ

Lúc đó, ưu thế của kỹ thuật hình học có thể được HS nhận ra Hoặc có thể đưa ra một

số ví dụ, bài tập yêu cầu giải hệ bằng nhiều kỹ thuật, trong đó, có những hệ phương trình chỉ thuận lợi cho việc dùng kỹ thuật này hoặc chỉ thuận lợi cho kỹ thuật kia, …sẽ giúp HS tự nhận thấy được ưu – khuyết điểm của từng kỹ thuật một cách tường minh Việc khắc phục tính không chính xác của kỹ thuật hình học (vẽ đường thẳng) có thể

được thực hiện bằng cách dùng các phần mềm toán học Vấn đề dạy học bằng mô

hình hóa đã không được tính đến khi đưa vào khái niệm hệ PTTT Mặc dù kiểu

nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách giải hệ (2,2) được nhấn mạnh nhưng vấn đề

dạy học mô hình hóa gắn với hệ PTTT chưa có một vùng sống thực sự hay nói đúng

hơn là còn khá hạn chế vì nhiều ràng buộc Trong khi đó, thực tế thì lẽ ra khái niệm hệ

có thể được đưa vào từ nhu cầu giải quyết bài toán thực tế, bài toán hình học, … Với

cách tiếp cận này, HS sẽ thấy được động cơ, nhu cầu thực tiễn, … của việc nghiên cứu

hệ PTTT Và cũng có thể tạo ra vùng sống rộng hơn cho vấn đề dạy học mô hình hóa

 Tuy nhiên, tất cả những điều chưa làm được ở lớp 9 cũng không thể nói đó là

sự thiếu xót vì lớp 10 mới là lớp cuối cùng mà hệ PTTT được dạy chính thức Có thể những điều đó sẽ được bổ sung trong chương trình lớp 10 hiện hành

2.2.1 Hệ Hệ PTTT trong SGK toán lớp 10 nâng cao hiện hành [GK PTTT trong SGK toán lớp 10 nâng cao hiện hành [GK NC NC ] ]

Hệ PTTT được đưa vào trong chương 3 với mục tiêu:

- Về kiến thức: Nắm vững khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, tập nghiệm và ý nghĩa hình học của nó; nắm được công thức giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức cấp hai

- Về kỹ năng: Giải thành thạo hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn với hệ số bằng số; lập và tính thành thạo các định thức cấp hai D, D x , D y từ một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước; biết cách giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số (Theo GVNC , tr.125)

Nội dung này được triển khai cụ thể trong bài “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” (3 tiết), Bài đọc thêm “Giải hệ phương trình bậc nhất bằng máy tính Casio fx-

500 MS” và phần “Luyện tập” (2 tiết)

2.2.1.1 Hệ PTTT trên phương diện đối tượng

Trong cả bài “Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn” lẫn bài đọc thêm “Giải hệ phương trình bậc nhất bằng máy tính Casio fx- 500 MS”, GKNC đều đề cập đến các

nội dung gắn với hệ (2,2) trước và sau đó là hệ (3,3)

A Hệ (2,2)

Khái niệm hệ (2,2) và kiểu nhiệm vụ T(2,2)xuất hiện trực tiếp mà không xuất phát

từ động cơ nào

 Khái niệm

Sau khi nhắc lại kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm của nó

thì hệ (2,2) được đưa vào dưới dạng ngôn ngữ hệ: “Cho hai phương trình bậc nhất hai

ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ (tức là a2b2  và 0 a '2b'2 0

'

) Khi đó, ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sau: c

c

ax by(I)

1 Hệ (I) có nghiệm duy nhất  (d) và (d’) cắt nhau;

2 Hệ (I) vô nghiệm  (d) và (d’) song song với nhau;

3 Hệ (I) có vô số nghiệm  (d) và (d’) trùng nhau.” (GKNC, tr.88)

 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ T(2,2): Giải hệ (2,2)

GKNC đưa ra các kỹ thuật thế, cộng đại số, kỹ thuật định thức và kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi

 Kỹ thuật cộng và thế (vết của kỹ thuật Gauss ở chương 1)

“Ở lớp dưới, học sinh đã làm quen với các phương pháp cộng đại số và phương pháp thế để giải hệ (2,2) Do đó, nói chung trong bài này chỉ cần cho học sinh làm một vài bài tập để ôn lại hai phương pháp này (xem H1)” (GVNC tr.125)

Hoạt động H1 được triển khai cụ thể trong GKNC (tr.87) như sau:

Giải các hệ phương trình sau:

Ba hệ (2, 2) được cho ở trên bao hàm đủ ba trường hợp: cĩ nghiệm duy nhất, vơ

nghiệm, vơ số nghiệm Các yếu tố cơng nghệ, lý thuyết của kỹ thuật thế, cộng đại số

đã khơng được nhắc lại Xét phần bài tập trong GKNC và GVNC thì hai kỹ thuật này là một trong ba kỹ thuật được lựa chọn khi giải các bài tốn được chuyển về hệ (2,2)

 Kỹ thuật định thức (vết của D ở chương 1) được đưa vào một cách tường minh, khơng xuất phát từ nhu cầu nào cả Sau đĩ là các ví dụ minh họa việc dùng kỹ

thuật này để giải hệ (2,2) cĩ hoặc khơng cĩ tham số Cụ thể:

“ 2 Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Đối với hệ (II), ta xét các trường hợp sau đây:

i D 0, lúc này hệ (II) cĩ nghiệm duy nhất   Dx D y

Ta thấy đây cũng là nghiệm của hệ (I)

H2: Hãy thử lại rằng (5) là một nghiệm của hệ (I) để khẳng định kết luận trên

ii D=0, lúc này hệ (II) trở thành x

y

0x D0y D







 Nếu Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ (II) vơ nghiệm nên hệ (I) vơ nghiệm

 Nếu Dx Dy 0 thì hệ (II) cĩ vơ số nghiệm Tuy nhiên muốn tìm nghiệm của hệ (I), ta phải trở về hệ (I) (do (II)) chỉ là hệ phương trình hệ quả)

Theo giả thiết, hai số a và b khơng cùng bằng 0 nên ta cĩ thể giả sử a 0  (trường

Vì là trọng tâm cần nhắm đến nên kỹ thuật này được xây dựng rất rõ ràng dựa trên kỹ thuật cộng đại số và một số kiến thức về phương trình hệ quả, phép biến đổi

tương đương đã biết (yếu tố lý thuyết)

Đoạn trích dẫn trên cho thấy, công thức được xây dựng có thể áp dụng cho tất cả

những hệ thỏa điều kiện có ít nhất một trong hai phương trình phải là phương trình

bậc nhất hai ẩn (gọi tắt là điều kiện (1,2) ) Nhưng kết quả tóm tắt dưới đây lại cho thấy,

GKNC (tr.90) đã thể chế hóa với phạm vi sử dụng hẹp hơn - chỉ được sử dụng khi

hệ đó phải thỏa điều kiện

Định thức cấp hai được đưa vào như một ký hiệu thuận tiện, dễ nhớ cho việc tính

D, Dx, Dy Từ đó, GKNC minh họa việc vận dụng định thức cùng kết quả nêu trên để giải hệ (2,2) không chứa tham số và có chứa tham số Hai hệ (2,2) không chứa tham số lần lượt được nêu trong ví dụ 1 và hoạt động H4 đã không nêu bật được sự cần thiết của kỹ thuật mới được sự xây dựng Vì ta có thể dễ dàng giải chúng bằng các kỹ thuật cộng, thế đã có ở lớp 9 Nhưng, đến ví dụ 2 (một bài toán yêu cầu giải và biện luận hệ

phương trình có chứa tham số) thì đã phần nào thấy được sự cần thiết này Và mặc dù cả

ba bài toán vừa được xét đều dùng định thức và áp dụng kết quả trên để giải, nhưng bước kiểm tra điều kiện (2,2) đã hoàn toàn không được thực hiện Điều này có thể do mục tiêu chủ yếu cần nhắm đến là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn tức hệ đã thỏa điều kiện (2,2) Việc thể chế hóa kết quả tóm tắt ở trên cùng việc bỏ hẳn bước kiểm

tra điều kiện (2,2) tất yếu sẽ dẫn tới sự ra đời kỹ thuật (2,2)

 Nếu kết luận hệ có vô số nghiệm (x,y) thỏa một phương trình của hệ …

D

0

 ta có thể kết luận ngay hệ có vô

số nghiệm, trong khi đó, theo (2,2)

 Thế nhưng, lời giải trong

ví dụ 2 đã sử dụng kỹ thuật (2,2)chứ không phải

(2,2) ts

 ; thể chế hóa yếu tố công nghệ

cho ; triển khai kỹ thuật giải cụ thể

θ

Nhưng tại sao lại thể chế hóa mà không thể chế hóa một kết quả đúng với phạm vi hợp thức

(rộng hơn) đã chứng minh được? Tại sao thể chế hóa nhưng lại triển khai

(2,2) D'

thỏa điều kiện (1;2) Ví dụ như phương trình thứ 2 của hệ x my 1

39, GKNC) có các hệ số trước x và y (m và -3m) có thể đồng thời bằng 0 khi m=0 Và

mặc dù với những hệ thỏa điều kiện (1,2) thì cả (2,2)

nó rộng hơn Và có thể đó là lý do mà Noosphère sử dụng Tuy nhiên, tại

sao lại thể chế hóa và liệu

(2,2) '

'

D

 có được cho phép sử dụng hay không?

 Xem phần hướng dẫn giải các dạng bài tập (trong GVNC,tr.131) liên quan đến

hệ chứa tham số như với giá trị nào của tham số thì hệ phương trình có nghiệm, hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau) cho thấy kỹ thuật (2,2)

'

D

 đã được sử

dụng:“Hệ có vô số nghiệm, tức là D=D x =D y =0”, “(d 1 ) và (d 2 ) trùng nhau 

D=D x =D y =0” và điều kiện (2,2) đã hoàn toàn không được xét đến Như vậy, trong

trường hợp này xem như thể chế đã chấp nhận (2,2)

'

D



mới này Kỹ thuật đã được nêu tường minh ngay từ đầu mà không cần xây dựng:

“Để giải hệ

(2,2) mt

 , ta phải vào chương trình tương ứng bằng cách ấn liên

tiếp các phím MODE MODE 1 2 Sau đó, nhập từng hệ số a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 bằng

cách ấn phím tương ứng với mỗi hệ số đó và phím =” Các yếu tố công nghệ, lý

thuyết hoàn toàn vắng mặt

Kỹ thuật này được minh họa qua 4 ví dụ Trong đó, các hệ phương trình được cho

có các đặc trưng riêng biệt: hệ 1 (ở ví dụ 1) có hệ số và nghiệm là số nguyên; hệ 2 cho kết quả nghiệm gần đúng (chín chữ số thập phân) và chuyển được về nghiệm hữu tỉ;

hệ 3 có hệ số và nghiệm là số vô tỉ, cho kết quả là nghiệm gần đúng có chín chữ số

thập phân nhưng không chuyển được về nghiệm hữu tỉ; hệ 4 khi bấm máy tính thì xuất

hiện dòng chữ Math error Đối với hệ 4, GKNC chỉ kết luận: “điều đó có nghĩa là hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định … ” tức là chưa giải được hệ Vì thực ra, không đưa ra được kết quả khi hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm, nhưng điều này

đã không được GK NC phát biểu tường minh

(2,2) mt

 Thể chế đã không nói gì đến việc khai

thác ưu điểm của kỹ thuật này trong việc giải các bài toán thực tế đưa về hệ (2,2), các bài toán mà khâu giải hệ chỉ đóng vai trò trung gian và chỉ cần đưa ra kết quả nhanh chóng