Tài liệu học tập độ đo và tích phân

ĐỘ ĐO DƯƠNG – HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.1 Tập hợp đo được: Định nghĩa 1.1.1: Cho M là một họ các tập con của một tập khác rỗng X Ta nói M là một _ đại số trong X nếu M có các tính chất sau: i XM ii X A\ M  A M. iii n 1 A n   A n

Ví dụ 1.1.1: Cho X là một tập khác rỗng Khi đó    X (tập các tập con của X) và   , X  là các 

Nếu trong một tập hợp X tồn tại một -đại số M, thì X được xem là một không gian đo được, và các phần tử của M được gọi là các tập đo được.

Ví dụ 1.1.2: Cho   , M  là một không gian đo được Cho A A 1 , 2 , ,A m M Đặt

  Chứng minh A là một tập con M- đo được trong 

Giải ,M là một không gian đo được Suy ra M là một _ đại số trong 

  là một tập con M- đo được trong 

Ví dụ 1.1.3: Cho   , M  là một không gian đo được Cho A B, M Chứng minh AB là một tập con M- đo được trong 

A∩B là một tập con M-đo được trong không gian đo được Ω Định nghĩa 1.1.3 nêu rõ rằng, cho X là một không gian đo được với σ-đại số M và μ là ánh xạ từ M vào [0,∞), thì μ được coi là một độ đo dương trên M nếu nó thỏa mãn các tính chất nhất định Cụ thể, nếu {A_n} là một dãy các phần tử rời nhau trong M, thì tổng độ đo của chúng được xác định theo quy tắc cụ thể.

   ii Có một B trong M sao cho    B  

Ta cũng gọi   , M,  là một không gian đo được

Ví dụ 1.1.4: Cho  là một tập hợp Lebesgue đo được khác trống trong  n Đặt N   A  M : A    và v A       A   A N Chứng minh v là một độ đo dương trong không gian đo được   , N 

Giải i Gọi   A n là một dãy các phần tử rời nhau trong N.

Suy ra   A n là một dãy các phần tử rời nhau trong M

      ii Vì  là một độ đo dương trên   n , M 

Nên tồn tại B  M :    B   Đặt B  B sao cho B   

Đo lường là một khái niệm quan trọng trong không gian đo được   , N  Định nghĩa 1.1.4 nêu rõ rằng, cho X là một không gian đo được với một  - đại số, hàm :MC được gọi là độ đo phức trên M nếu nó thỏa mãn các tính chất nhất định.

Không gian đo được được định nghĩa là một bộ ba gồm không gian X, -đại số M và hàm đo , trong đó hàm đo có thể là dương hoặc phức Khi đó, bộ ba  X,M, được gọi là không gian đo (measure space).

(i) Với độ đo phức, chuỗi  

 hội tụ với mọi dãy   A j rời nhau như trên, là hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu  là một độ đo dương và nếu ,A BM và AB thì   A   B

(iii) Cũng vậy, nếu A j M,j1, 2, và A 1  A 2 A 3  , thì  

(iv) Tương tự , nếu A j M, j1, 2, và A 1 A 2  A 3  , thì  

(v) Nếu  là một độ đo dương và nếu A j M,j1, 2, 3, thì  

   Định nghĩa 1.1.6: Cho ( ,X M, ) là một không gian đo Đặt:

M M sao cho AEB và  B A\ 0} Ta đặt  *   E   A Định lí 1.1.1:  X , M * ,  *  là một không gian đo

Chứng minh: Trước hết ta kiểm tra lại rằng  * được xác định tốt với mọi EM *

Giả sử rằng AEB A, 1 EB 1 và  B A\  B 1\A 1 , với A B A B, , 1 , 1 M

Do đó ta có:  A A\ 1 0, do đó   A  AA 1  A A\ 1  AA 1 

Tiếp theo, kiểm tra rằng M * thỏa 3 tính chất của một  - đại số

(ii) Giả sử rằng AEB, khi đó X B\ X E\ X A\ Vậy EM * dẫn đến

Vì hội đếm được các tập có độ đo 0 cũng là tập có độ đo 0, do đó    

Cuối cùng, nếu các tập E i M * là rời nhau từng đôi một như trong bước (iii), thì các tập A i cũng rời nhau từng đôi một giống như vậy

Vậy chứng tỏ rằng  * cộng đếm được trên M * Định nghĩa 1.1.7:  X , M * ,  * được gọi là đầy đủ hóa của  X,M, Nếu M * M thì ta gọi  là một độ đo đầy đủ

1.2 Ánh xạ đo được: Định nghĩa 1.2.1: Cho  X,M là một không gian đo được,  A 1 ; A 2 ; ;A m  là một họ hữu hạn trong M và   1 ; 2 ; ; m  là một họ hữu hạn trong  và k k   k 1 f ( ) x m x A

Ta nói f là một ánh xạ đơn (simple function) trên  X,M

Ví dụ 1.2.1: Chứng minh rằng: a)  A B    A B

Nếu  A C 1 thì xA Do đó,  A   x 0Nếu  A C 0 thì xA Do đó,  A   x 1Vậy  A C  1  A

8 Định nghĩa 1.2.2: Cho  X,M là một không gian đo được và f là một ánh xạ từ X vào  ; 

Ánh xạ f được coi là thực đo được trên không gian đo  X,M nếu và chỉ nếu ảnh ngược của f đối với mọi số thực a nằm trong M Định nghĩa 1.2.3 chỉ ra rằng, trong không gian đo  X,M, nếu u và v là các ánh xạ từ X vào , và f được xác định bằng tổng u và v, thì f sẽ là một ánh xạ phức đo được nếu u và v cũng là các ánh xạ đo được trên  X,M.

1.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi”:

Giả sử (X, M, μ) là một không gian độ đo với M là một σ-đại số Tính chất P(x) được coi là thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A nếu tồn tại một tập B thuộc M với μ(B) = 0, và P(x) thỏa mãn cho mọi x thuộc A\B Để chỉ rõ độ đo μ khi đang xem xét nhiều độ đo khác nhau, chúng ta có thể sử dụng thuật ngữ “μ-h.k.n” thay cho “h.k.n”.

1) Hàm f :A là hữu hạn h.k.n trên A nếu ( )f x  với mọi xA ngoại trừ trên một tập B A mà BB 0 và B 0 0

2) Dãy   f n n các hàm xác định trên A là hội tụ h.k.n trên A về hàm f nếu có tập BA sao cho

3) Hai hàm ,f g xác định trên A là hội tụ h.k.n trên A nếu  x  A f x : ( )  g x ( )   B với  B 0 Hai hàm bằng nhau h.k.n trên A được gọi là tương đương trên A và thường ký hiệu là f g Chý ý rằng quan hệ  là một quan hệ tương đương trên lớp các hàm xác định trên A Định lí 1.3.1: Nếu  là độ đo đủ thì mọi hàm số g tương đương với một hàm f đo được trên A cũng đo được trên A

Từ định nghĩa hàm tương đương, ta có thể suy ra rằng hai tập hợp A_f[